【新步步高】2018版高考数学(理)一轮复习选修系列第十四章14.1第2课时参数方程

§14.1

坐标系与参数方程第2课时参数方程根底知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引根底知识自主学习(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以

_____________从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么

就是曲线的参数方程.1.参数方程和普通方程的互化知识梳理通过消去参数2.常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)________________________圆_________椭圆————————————x2＋y2＝r2抛物线y2＝2px(p>0)考点自测将直线l的参数方程化为普通方程为解答y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.解答直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.∵l1与l2垂直，3.点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，求|PF|的值.解答将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，那么焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|＝3－(－1)＝4.4.(2016·北京东城区模拟)曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)，求直线l与曲线C相交所截的弦长.曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝1，直线l的普通方程为3x－4y＋3＝0.解答题型分类深度剖析例1

(1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程.题型一参数方程与普通方程的互化解答解答直线l的普通方程为x＋y＝2，曲线C的普通方程为y＝(x－2)2(y≥0)，思维升华消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.跟踪训练1

(1)求直线

(t为参数)与曲线

(α为参数)的交点个数.解答因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点.直线l的普通方程为x－y－a＝0，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，假设直线l过(3,0)，那么3－a＝0，∴a＝3.解答例2直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数).解答直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.题型二参数方程的应用(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)假设直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.解答因为直线l与圆C有公共点，思维升华圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等.跟踪训练2

解答曲线C1的普通方程为x2＋y2＝5(x≥0，y≥0).曲线C2的普通方程为x－y－1＝0.∴曲线C1与C2的交点坐标为(2,1).题型三极坐标方程和参数方程的综合应用(1)求C2与C3交点的直角坐标；解答(2)假设C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.解答思维升华在对坐标系与参数方程的考查中，最能表达坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原那么，充分表达了转化与化归的数学思想.解答(1)求圆心的极坐标；即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.∴圆心坐标为(1，－1)，解答课时作业解答12345678910∴x＝0或x＝1.∴所截得的弦长为2.12345678910直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，解答123456789103.直角坐标系xOy中，直线l的参数方程：(t为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程.解答∴以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.12345678910解答123456789101234567891012345678910解答123456789106.(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；解答由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.12345678910解答12345678910在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.12345678910(1)写出⊙C的直角坐标方程；解答12345678910解答(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.故当t＝0时，PC取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0).12345678910解答(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.12345678910(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，假设曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组解答假设ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a＝1.12345678910解答1234567891012345678910123456789