10-2024年山东省威海市中考数学试卷

2024年山东省威海市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）1．（3分）一批食品，标准质量为每袋454g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（）A．+7 B．﹣5 C．﹣3 D．102．（3分）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（）A．1×10﹣5 B．1×10﹣6 C．1×10﹣7 D．1×10﹣83．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣（﹣2） C．﹣ D．﹣4．（3分）下列运算正确的是（）A．x5+x5＝x10 B．m+n2•＝ C．a6÷a2＝a4 D．（﹣a2）3＝﹣a55．（3分）下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A． B． C． D．6．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（）A． B． C． D．7．（3分）定义新运算：①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移|b|个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作（﹣2，1）．②加法运算法则：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d为实数．若{3，5}+{m，n}＝{﹣1，2}，则下列结论正确的是（）A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣4，n＝﹣3 C．m＝4，n＝3 D．m＝﹣4，n＝38．（3分）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（）A．若＝，则EF∥BD B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD C．若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC D．若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD10．（3分）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（）A．甲车行驶h与乙车相遇 B．A，C两地相距220km C．甲车的速度是70km/h D．乙车中途休息36分钟二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）11．（3分）计算：﹣×＝．12．（3分）因式分解：（x+2）（x+4）+1＝．13．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG＝20°，则∠ABI＝.14．（3分）计算：+＝．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2＝（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围．16．（3分）将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E．若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（6分）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦•时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦•时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦•时．求一盏A型节能灯每年的用电量．18．（8分）为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）．表1：2月份测试成绩统计表个数0136810人数484121表2：本学期测试成绩统计表平均数/个众数/个中位数/个合格率2月2.6a120%3月3.13425%4月44535%5月4.555540%6月b86c请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；（2）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果；（3）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数．19．（8分）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．课题测量某护堤石坝与地平面的倾斜角成员组长：×××ㅤㅤ组员：×××，×××，×××测量工具竹竿，米尺测量示意图说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角测量数据…………（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α的一种三角函数值的推导过程．（3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为．20．（9分）感悟ㅤ如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB＝AE，BC＝DE．求证：∠BAC＝∠EAD．应用ㅤ（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不写作法，保留作图痕迹）．21．（9分）定义ㅤ我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a﹣b（a≥b）．特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a﹣0．当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0﹣a．应用ㅤ如图，在数轴上，动点A从表示﹣3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BE＝2，CE＝4，求AF的长．23．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10cm，∠ABC＝60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF＝60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为ycm2，点E的运动时间为x秒．（1）求证：BE＝EF；（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求x为何值时，线段DF的长度最短．24．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．（1）若抛物线y1＝x2+bx+c+1（b＜0）与x轴交点的坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断下列每组数据的大小（填写＜、＝或＞）：①x1+x2x3+x4；②x1﹣x3x2﹣x4；③x2+x3x1+x4．（2）若x1＝1，2＜x2＜3，求b的取值范围；（3）当0≤x≤1时，y＝x2+bx+c（b＜0）最大值与最小值的差为，求b的值．

2024年山东省威海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）1．（3分）一批食品，标准质量为每袋454g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（）A．+7 B．﹣5 C．﹣3 D．10【分析】根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值后比较大小即可．【解答】解：各数的绝对值分别为7，5，3，10，∵3＜5＜7＜10，∴最接近标准质量的是﹣3，故选：C．【点评】本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键．2．（3分）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（）A．1×10﹣5 B．1×10﹣6 C．1×10﹣7 D．1×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：百万分之一＝0.000001＝1×10﹣6．故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣（﹣2） C．﹣ D．﹣【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．【解答】解：∵﹣（﹣2）＝2，∴﹣2＜﹣＜﹣＜2，∴﹣2＜＜＜﹣（﹣2），∴最小的数是：﹣2．故选：A．【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．4．（3分）下列运算正确的是（）A．x5+x5＝x10 B．m+n2•＝ C．a6÷a2＝a4 D．（﹣a2）3＝﹣a5【分析】A．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可；B．根据分式的乘法法则，先算等号左边的算式，然后进行判断即可；C．根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；D．根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可．【解答】解：A．∵x5+x5＝2x5，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；C．∵a6÷a2＝a4，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；D．∵（﹣a2）3＝﹣a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握合并同类项法则、同底数幂相除法则、积的乘方和幂的乘方法则．5．（3分）下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A． B． C． D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：选项A的三视图均不相同，主视图底层是两个正方形，上层是两个正方形；主视图是一列两个正方形；俯视图是一行两个正方形，故选项A不符合题意；选项B的主视图和俯视图相同，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，左视图的底层是两个正方形，上层的右边是一个正方形，故选项B不符合题意；选项C的主视图和俯视图相同，底层是两个正方形，上层的右边是一个正方形，左视图的底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，故选项C不符合题意；选项D的三视图相同，均为底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，故选项D合题意；故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．6．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（）A． B． C． D．【分析】设⊙O的半径为r，先利用余弦的定义求出∠COE＝60°，则∠BOE＝30°，再证明四边形OCED为矩形得到S△OCE＝S△ODE，所以阴影部分的面积＝S扇形BOE＝，然后根据几何概率的求法得到点P落在阴影部分的概率＝．【解答】解：设⊙O的半径为r，∵CE⊥AO，∴∠OCE＝90°，∵点C是AO的中点，∴OC＝OA＝OE，在Rt△OCE中，∵cos∠COE＝＝，∴∠COE＝60°，∴∠BOE＝∠AOB﹣∠COE＝30°，∵ED⊥OB，∴∠ODE＝90°，∵∠COD＝∠OCE＝90°，∴四边形OCED为矩形，∴S△OCE＝S△ODE，∴阴影部分的面积＝S扇形BOE＝，∴点P落在阴影部分的概率＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率＝该事件所占有的面积与总面积之比．利用面积和差用扇形的面积表示阴影部分的面积是解决问题的关键．7．（3分）定义新运算：①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移|b|个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作（﹣2，1）．②加法运算法则：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d为实数．若{3，5}+{m，n}＝{﹣1，2}，则下列结论正确的是（）A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣4，n＝﹣3 C．m＝4，n＝3 D．m＝﹣4，n＝3【分析】根据题中所给定义，建立关于m和n方程即可解决问题．【解答】解：由题知，3+m＝﹣1，5+n＝2，解得m＝﹣4，n＝﹣3．故选：B．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移及实数的运算，理解题中所定义的新运算，并能建立关于m和n的方程是解题的关键．8．（3分）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是（）A． B． C． D．【分析】根据“将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺，∴﹣y＝4；∵将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺，∴﹣y＝1．∴根据题意可列方程组．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（）A．若＝，则EF∥BD B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD C．若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC D．若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD【分析】根据相似三角形的性质与判定即可判断A；根据题意可得四边形CA是∠BCD的角平分线，进而判断四边形ABCD是菱形，证明Rt△ACE≌Rt△AFC可得CE＝CF，则AC垂直平分EF，即可判断B选项；证明四边形ABCD是菱形，即可判断C选项；D选项给的条件，若加上BE＝DF，则成立，据此，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，A．若，即，又∵∠ECF＝∠BCD，∴△CEF∽△CBD，∴∠CEF＝∠CBD，∴EF∥BD，故A选项正确；B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，∴CA是∠BCD的角平分线，∴∠ACB＝∠ACD，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝DC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△ACE和Rt△AFC中，，∴Rt△ACE≌Rt△AFC（HL），∴CE＝CF，又∵AE＝AF，∴AC⊥EF∴EF∥BD，故B选项正确；C．∵CE＝CF，∴∠CFE＝∠CEF，∵EF∥BD，∴∠CBD＝∠CEF，∠CDB＝∠CFE，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵EF∥BD，∴AC⊥EF，∵CE＝CF，∴AC垂直平分EF，∴AE＝AF，∴∠EAC＝∠FAC，故C选项正确；D．若AB＝AD，则四边形ABCD是菱形，当AE＝AF，且BE＝DF时，可得AC垂直平分EF，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，故D选项不正确，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理与相似三角形的判定定理．10．（3分）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（）A．甲车行驶h与乙车相遇 B．A，C两地相距220km C．甲车的速度是70km/h D．乙车中途休息36分钟【分析】根据函数图象推导出E点的意义是两车相遇，F点意义是乙车休息后再出发，据此判断D；乙车休息后两者同时到达C地，则甲车的速度比乙车的速度慢，据此推导甲，乙两车速度与AC的距离，从而判断B，C；设x小时两辆车相遇，依题意得：60x＝2×70+20，解答即可判断A．【解答】解：根据函数图象可得AB两地之间的距离为40﹣20＝20（km），两车行驶了4小时，同时到达C地，如图所示，在1﹣2小时，两侧同向运动，在第2小时，即点D时，两者距离发生改变，此时乙车休息，E点的意义是两车相遇，F点意义是乙车休息后再出发，∴乙车休息了1小时，故D不正确，不符合题意；设甲车的速度为ckm/h，乙车的速度为bkm/h，根据题意，乙车休息后两者同时到达C地，则甲车的速度比乙车的速度慢，a＜b，∵2b+20﹣2a＝40，即b﹣a＝10，在DE﹣EF时，乙车不动，则甲车的速度是＝60（km/h），∴乙车速度为60+10＝70km/h，故C不正确，不符合题意；∴AC的距离为4×60＝240（千米），故B不正确，不符合题意；设x小时两辆车相遇，依题意得：60x＝2×70+20，解得：x＝，即小时时，两车相遇，故A正确，符合题意；故选：A．【点评】本题考查了一次函数的实际应用，观察函数图象结合数量关系，列式计算是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）11．（3分）计算：﹣×＝．【分析】先根据二次根式的乘法法则计算乘法，再把二次根式化简，最后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则和如何把二次根式化成最简形式．12．（3分）因式分解：（x+2）（x+4）+1＝（x+3）2．【分析】将原式展开整理后进行因式分解即可．【解答】解：原式＝x2+4x+2x+8+1＝x2+6x+9＝（x+3）2，故答案为：（x+3）2．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．13．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I．若∠EFG＝20°，则∠ABI＝50°.【分析】根据题意利用多边形的内角和即可求得∠AFE，∠BAF的度数，继而求得∠AFG的度数，再根据平行线的性质求得∠FAH的度数，继而求得∠BAI的度数，最后根据直角三角形的两锐角互余即可求得答案．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AFE＝∠BAF＝＝120°，∵∠EFG＝20°，∴∠AFG＝120°﹣20°＝100°，∵AH∥FG，∴∠FAH＝180°﹣100°＝80°，∴∠BAI＝120°﹣80°＝40°，∵BI⊥AH，∴∠ABI＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50°．【点评】本题主要考查多边形的内角和及平行线的性质，结合已知条件求得∠FAH的度数是解题的关键．14．（3分）计算：+＝﹣x﹣2．【分析】首先通分，然后根据同分母分式加减法法则计算即可．【解答】解：+＝﹣＝＝﹣x﹣2故答案为：﹣x﹣2．【点评】此题主要考查了分式加减法的运算方法，要熟练掌握同分母、异分母分式加减法法则．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2＝（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围﹣1≤x＜0或x≥2．【分析】根据两个函数的图象及两个交点坐标的横坐标直接写出不等式的解集即可．【解答】解：由两个函数图象及交点坐标的横坐标可知：当y1≤y2时，x的取值范围为：﹣1≤x＜0或x≥2．故答案为：﹣1≤x＜0或x≥2．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合是解答本题的关键．16．（3分）将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E．若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝．【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出C′M＝CM＝5，然后证明△BC′M≌△AEC′，得到BC'＝AE＝4，MC'＝CE＝5，即可得到DE＝4，D′E＝2，然后在Rt△D′EF中，利用NE2＝D'E2+D'N2解题即可．【解答】解：在RtΔC'BM中，，由折叠可得C′M＝CM＝5，∠D'C'M＝∠D'＝∠D＝∠C＝90°，又∵ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠BC'M+∠AC'E＝∠AEC'+∠AC'E＝90°，∴∠BC′M＝∠AEC′，又∵AC′＝BM＝3，∴△BC'M≌△AEC'（AAS），∴BC'＝AE＝4，MC'＝CE＝5，∴AB＝CD＝C′D′＝7，BC＝AD＝BM+CM＝3+5＝8，∴DE＝AD﹣AE＝8﹣4＝4，DE＝C′D′﹣C′E＝7﹣5＝2，设DN＝DN＝α，则EN＝4﹣α，在Rt△D′EF中，NE2＝D'E2+D'N2，即（4﹣a）2＝a2+22，解得：．故答案为：【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（6分）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦•时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦•时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦•时．求一盏A型节能灯每年的用电量．【分析】设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦•时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x﹣32）千瓦•时，利用安装节能灯的数量＝一年的用电量÷一盏节能灯每年的用电量，结合安装的A，B型节能灯数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值（即一盏B型节能灯每年的用电量），再将其代入（2x﹣32）中，即可求出一盏A型节能灯每年的用电量．【解答】解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦•时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x﹣32）千瓦•时，根据题意得：＝，解得：x＝96，经检验，x＝96是所列方程的解，且符合题意，∴2x﹣32＝2×96﹣32＝160（千瓦•时）．答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦•时．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18．（8分）为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）．表1：2月份测试成绩统计表个数0136810人数484121表2：本学期测试成绩统计表平均数/个众数/个中位数/个合格率2月2.6a120%3月3.13425%4月44535%5月4.555540%6月b86c请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；（2）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果；（3）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数．【分析】（1）根据总人数减去引体向上为其他个数的人数，进而补充条形统计图，根据题意求得合格率c，补充折线统计图，根据平均数，众数的定义，即可得出a和b的值；（2）根据平均数，众数，中位数，合格率，分析；（3）根据样本估计总体即可求解．【解答】解：（1）6月测试成绩中，引体向上3个的人数为20﹣4﹣1﹣6﹣4＝5（人），补充统计图如下：c＝×100%＝55%，根据表2可得a＝1，b＝（4×1+5×3+1×6+6×8+4×10）＝5.65，（2）本次引体向上训练活动的效果明显，理由如下：从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加，从中位数看，引体向上个数逐月增加，从众数看，引体向上的个数越来越大（答案不唯一，合理即可）；（3）400×55%＝220（人），答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数约220人．【点评】本题考查了条形统计图，折线统计图，统计表，样本估计总体，以及求平均数，众数，中位数的意义；掌握相关的统计量的意义是解题的关键．19．（8分）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．课题测量某护堤石坝与地平面的倾斜角成员组长：×××ㅤㅤ组员：×××，×××，×××测量工具竹竿，米尺测量示意图说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角测量数据…………（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α的一种三角函数值的推导过程．（3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为①．【分析】（1）根据题意选择需要的数据即可；（2）过点A作AM⊥CB于点M，可得△CDE∽ΔCAM，得到，即得，得到，再根据正弦的定义即可求解；（3）根据（2）的结果即可求解．【解答】解：（1）需要的数据为：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f；（2）过点A作AM⊥CB于点M，则∠AMB＝90°，∵DE⊥CB，∴DE∥AM，∴△CDE∽△CAM，∴，即，∴，∴；（3）∵，∴按键顺序为2ndF，sin，0，•，8，6，＝，故答案为：①．【点评】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．20．（9分）感悟ㅤ如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB＝AE，BC＝DE．求证：∠BAC＝∠EAD．应用ㅤ（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】感悟：根据等腰三角形的性质证明；应用：（1）已A为圆心，分别以AB，AC的长为半径作圆交BC于点D，E即可；（2）延长AC到D，使CD＝AC，再作∠CDE＝∠BAC即可．【解答】感悟：过点A作AH⊥BE于点H，∵AB＝AE，BC＝DE，∴∠BAH＝∠EAH，∠CAH＝∠DAH，∴∠BAC＝∠DAE；应用：（1）解：如图2：点D，E即为所求；（2）点D，E即为所求．【点评】本题考查了基本作图，掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键．21．（9分）定义ㅤ我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a﹣b（a≥b）．特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a﹣0．当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0﹣a．应用ㅤ如图，在数轴上，动点A从表示﹣3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．【分析】（1）根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解；（2）先表示点A，B到原点距离之和，再分类讨论求出最小值．【解答】解：（1）设经过x秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度，则：|（﹣3+x）﹣（12﹣2x）|＝3，解得：x＝4或x＝6，答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；（2）设经过x秒，点A，B到原点距离之和为y，则y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|，当x≤3时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝3﹣x+12﹣2x＝﹣3x+15，当x＝3时，y值最小，为6，当3＜x≤6时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝﹣3+x+12﹣2x＝﹣x+9，当x＝6时，y值最小，为3，当x＞6时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝﹣3+x﹣12+2x＝3x﹣15，当x＝6时，y有极小值，为3，综上所述，点A，B到原点距离之和的最小值为3．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴和绝对值，找到相等关系是解题的关键．22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BE＝2，CE＝4，求AF的长．【分析】（1）根据角平分线的定义，等腰三角形的性质，圆周角定理得出OC∥AF，再根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得出∠F＝2∠H＝90°，进而得到OC⊥EF，由切线的判定方法即可得出结论；（2）根据相似三角形的判定和性质求出AB，再根据直角三角形的边角关系求出AC，BC，再根据相似三角形的性质即可求出答案．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BC＝CD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AF，∵EH平分∠FEG，∴∠FEH＝∠GEH，∵∠GEH＝∠H+∠BAC，∠FEH＝∠F+∠BAF，∴2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，∴∠BAF＝2∠BAC，∴∠F＝2∠H＝90°，∴∠OCE＝∠F＝90°，即OC⊥EF，∵OC是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠OCB+∠BCE＝90°，∴∠OBC+∠BAC＝90°，又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BCE＝∠EAC，∵∠CEB＝∠CAE，∴△BCE∽△CAE，∴＝＝＝＝，∴CE2＝BE•AE，即16＝2AE，解得AE＝8，∴AB＝8﹣2＝6，在Rt△ABC中，AB＝6，＝，∴BC＝，AC＝，∵∠F＝∠ACB＝90°，∠FAC＝∠BAC，∴△FAC∽△CAB，∴＝，∴AF＝＝．【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质和判断方法，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键．23．（10分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10cm，∠ABC＝60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF＝60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为ycm2，点E的运动时间为x秒．（1）求证：BE＝EF；（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求x为何值时，线段DF的长度最短．【分析】（1）设CD与EF相交于点M，证明△BCE≌△DCE（SAS），可得∠CBE＝∠CDE，BE＝DE，利用三角形外角性质可得∠CDE＝∠CFE，即得∠CBE＝∠CFE，即可求证；（2）过点E作EN⊥BC于N，解直角三角形得到EN＝CE•sin60°，CN＝CE•cos60°，可得BN＝BC﹣CN，由等腰三角形三线合一可得BF，即可由三角形面积公式得到y与x的函数表达式，最后由0＜2x≤10，可得自变量x的取值范围；（3）证明△DEF为等边三角形，可得BE＝DF，可知线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时，BE取最短，又由菱形的性质可得△ABC为等边三角形，利用三线合一求出CE即可求解；【解答】（1）证明：设CD与EF相交于点M，∵四边形ABCD为菱形，∴BC﹣＝DC，∠BCE＝∠DCE，AB∥CD，∵∠ABC＝60°，∴∠DCF＝60°，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE＝∠CDE，BE＝DE，∵∠DMF＝∠DEF+∠CDE＝∠DCF+∠CFE，又∵∠DEF＝∠DCF＝60°，∴∠CDE＝∠CFE，∴∠CBE＝∠CFE，∴BE＝EF；（2）解：过点