八年级数学寒假班讲义二9讲：八年级开学备考复习（一）

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号：年级：八年级课时数：3

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

授课类型开学备考复习（一）

授课日期及时段

教学内容

知识点总结:

一、二次根式的定义和性质

1.二次根式的定义：代数式右,（。20）叫做二次根式，仍然读作“根号其中，a是被开方数。

2.二次根式有意义的条件：被开方数20

二次根式无意义的条件：被开方数＜0

（常见题型:VA,J—A,JA?,,丁彳+，二］何时有意义.）

a{a>0)

a(a>0)

3.二次根式的性质：①』/=同=＜=|a|=<0(〃=0))

-a(a<0)

-a(a<0)

=a,a>0

\a\=-a,a<0

②("I)?=a(a>0)

③，=A-4b(a>0,h>0)；

\[ah=y[a0,/?>0)

\[ah=V-^,((7<0,Z?<0)

'=亲。20力＞。）

④

[as[a

厂为,(a>0,/?>0)

)

,(a<0.b<0)

4.化简二次根式：把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称

为“化简二次根式”.

二、最简二次根式和同类二次根式

（1）被开方数中各因式的指数都为1

1.被开方数同事符合则称该二次根式为“最简二次根式

、（2）被开方数不含分母

2.几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.

一元二次方程:

L一兀二次方程的

定义及取形式

—一次项嘉

次二一人次力即次项系

方的八大•念

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上元次方程的加

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一元二次方程程的判别式g”7“及件硕

1.只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

2.任何一个关于x的一元二次方程都可以化成办2+乐+。=0,（。。（））的形式.这种形式简称一元二次方程的一般

式.其中，以2叫做二次项，。是二次项系数：法叫做一次项，6是一次项系数；C叫做常数项.

3.一元二次方程根的判别式

一元二次方程加+Z?x+c=O（a0O）,

当八=^-4数、>0时，方程有两个不相等的实数根;

当△=^-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当A=-4ac<0时，方程没有实数根.

上述判断反过来也是正确的，即

当方程有两个不相等的实数根时，△>0；

当方程有两个相等的实数根时，A=0；

当方程没有实数根时，△＜（）.

4.一元二次方程在二次三项式中的应用:

二次三项式。f+bx+c（〃工o）因式分解的一般方法:

①观察是否可以用十字相乘、公式法等直接分解因式;

②若不能直接因式分解，求出一元二次方程。尢2+〃工+。=（）（々工0）的两个实数根：

―/?+4ac―b7b24ac

；（廿一4。。20）

Xi2aX22a

③写出分解式：a^+bx+c=a(x-xi)(x-x2)-

注：若。2一4。。＜0,则。f+"+cmw0）在实数范围内不能分解因式.

正比例、反比例函数:

函数的概念:

1.变量、常量

2.函数

3.函数解析式

4.自变量

5.自变量的取值范围和函数值

二、正比例函数

（-）定义:

1.两个变量成正比例

2.解析式形如y=履,供工0）的函数叫做正比例函数.

3.k是比例系数

（二）图像

1.正比例函数的图像是一条过原点的直线.

2.k成斜率，其定向作用

网越大，正比例函数的图像倾斜程度越大.

（三）性质

函数解析式y=Ax,（左w0）

k>0左<0

图像所过象限、--二、四

y随x的变化情况y随x的增大而增大y随x的增大而减小

y随x的减小而减小y随x的减小而增大

自变量取值范围X取任意实数

二、反比例函数

（一）定义：

1.形如y=K,女工0的函数称为反比例函数.

X

2.k称为比例系数.

（­）图像：

1.反比例函数的图像是双曲线.双曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形.对称中心为坐标原点，对称轴为

直线y=x,y=-x.

2.4的几何意义：过双曲线上一点做两轴的垂线，垂线与两轴围成的二角形的面积等于网.

（三）性质:

函数解析式

k>0k<0

一三象限二四象限

在每一象限内y随x的增大（减小）在每一象限内y随x的增大（减小）

而减小（增大）而增大（减小）

二次根式的概念和性质:

1、下列根式中，是最简二次根工t的是()

A.，0.2。B.J⑵一12bc.D.N5ab2

2.已知下列运算中，正确的是()

正・正^+

A.V7+VT8=V25=5B.17^1==1=—4

d孙

C.yjx2+y2=x+yD.当a<0时，化简:J_a3b——ad-ab

3.在二次根式:"、712J技、强中，与JI是同类二次根式的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.分母有理化：厂=—___________;

V2-1

5.已知xKl,化简，%2一4%+4=-------------

6、如果最简二次根式J3x+1下□J5x—7是同类二次根式，那么x=__________.

7.aJ—字化简二次根式号后

彳的结果是_________.

Va

8.已知孙〉0,化简二次根式X的正确结果为_________.

9、-Jx+1-Jx-l的有理化因式是_______.

10、〃/,“都是实数，且满足J/?―9+,9-+6°*Ym-n

m=

'〃-3

11、x,y分别为8—扪的整娄匕部分和小数部分，则2打一/=一.

二次根式的运算：

°313m2-3"・(3,)X1~~—(a>0)

V-2^-2va2vm-n

求(|x回+/g)-(x#-5xg)的值.

2.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,

后

3.已知f—3%+1=0,求、幺+5一2的值。^

X2-2X2-2

4、已知y=+2,求的值。

V5x-4V4-5%

5、已知，25-f-=2,求，25-f+Ji5-x2的值。

已知x二华斗，y二华平,求x3-xy1

6.的值.

V3-V2V3+V2x4y+2x3y2+x2y3

一元二次方程的概念:

1、已知关于X的一元一二次方程（加―后12+31+机2-2=0的一个根为0,则机的值为（)

A.V2B.-72C.+V2D.不能确定

2.关于工的方程。舞-1）/+（m+1）工+3机+2=0,当团,时，为一元一次方程;

当m时为一元二次方程。

3.如果一元二次方程-\-bx+c=0（。*0）的系数满足。+b+c=0,那么方程必有一个根为

4、关于x的方程/+/姒+〃=（）的两根中只有一个等于o,则下列条件中正确的是（）

AM=0,n=0B.m=0,/?/0C.tn^Ofn=0D.〃#0,〃和

一元二次方程的解法:

1.方程（X-Ip-4=0的解为:

2.下列关于x的方程一定有实数解的是()

A.%2+2=0B.x1-mx-1=0C.x2-2x+2=0D.x2+x-m=0^

3.若函数y=正的图像过(1,2)点，则关于X的方程正"—Sx—6=0根的情况是()

A.有两个相等的实数根B.有两个实数根

C.有两个不相等的实数根D.没有实数根

4.方程x(x—1)=3(》—1)的解是；

5.关于光的方程幺+2缶—1=0有实数根，则Z的取值范围是.

6.若关于x的方程2/+x+3m=0有一根是1，则，〃=；

7、配方：x2-3x+=(x-________5-

8.若实数尤、y满足(斤7+2)(而7—1)=(),则后3的值为:

9、若二次三项式。》一1是一个完全平方式，则系数。=

10.解方程：

(2x-3)2=x2x2+5x-14=0

(X+2)2—10(X+2)+9=0M丁)=X+4

11.a>b、c满足Ja'-2a+1+|b++(c+3)2=0,求方程af+〃尤+0=。的根;

12.已知关于x的方程(左一l)/+2(Z-7)x+攵+2=0.当女为何值时，方程有两个实数根.

13.关于x的方程2/—（。一2）%—4=0,（a为实数）.

（1）。为何值时，此方程有两个相等的实数根？（2）当a=3时，解此方程.

一元二次方程的应用：

1.某商品原价为100元，经过两次涨价后，现价为169元，求平均每次涨价百分率？若设每次涨价的百分率是x,

可列方程；

2.用100厘米长的铅丝弯折成一个面积为525平方厘米的长方形，若设长方形的一边长为x厘米，则可列出方

程：.

3.下列关于％的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（）

A.x2-x+1B.x1—mx+1C.x2-mx-1D.x1-xy+y2

4.为了美化环境，加大对绿化的投资.2008年用于绿化投资20万元，2010年用于绿化投资25万元，求这两年

绿化投资的年平均增长率.设这两年绿化投资的年平均增长率为X,根据题意所列方程为（）

A.20/=25B.20（l+x）=25

C.20（1+x）+20（1+x）2=25D.20（1+4=25

5、在实数范围内分解因式：2X2—4X_2=。

6、若二次三项式2X2+WX+6是完全平方式，则„!=o

7、某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元,求

3月份到5月份营业额的平均月增长率.

8、芜湖百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“十・一”

国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童

装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价

多少?

题型1:考查目自数的概念和图像及性质：

1：函数y=Jl--3%的定义域为_______________•

7Y-u3

2：如果y(x)=那么〃2)=________

3：正比例函数.y=5(%#0)的图像过点(一1,2),则图像位于第_______象限.

k

4：若反比例函寸攵y=?(k翔)，当尤＞0时，y随X的增大而增大，则人的取值范围是________.

X

2

5：函数y=3x4号函数y二一一在同一坐标系中的大致图像是()

X

叵JL上工

7

r7rITA

ABCD

题型2：考查目总数的几何应用

31

1：如图，过y车由上任意一点尸，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=--和旷=一的图像交于A点和3点，

XX

若点C为x轴上任意一点，联结AC、BC,则Z\ABC的面积为_____.

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鼠AP匚

CX

1L

2：已知：如图，彳在平面直角坐标系中,正比例函数y=的图像与反比例函数y=；的图像交于点A(4,m),过