专题04 角平分线模型（原卷版）（人教版）

专题04角平分线模型的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线则AD的长是.【变式训练1】如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD平分7ABC，27ACD＝7ABC+7BAC，已知7CAD＝43O，则7BDC=.【变式训练2】已知：AD是△ABC的角平分线，且ADTBC.（1）如图1，求证：AB=AC；（2）如图2，7ABC=30O，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且7ABG=7ACF，连接FG.①求证：7AFG=7AFC；②若S△ABG:S△ACF=2:3，且AG=2，求AC的长.【变式训练3】在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,a)，点B的坐标(b,0)且a，b满足（1）求A、B两点的坐标；（2）如图（1点C为x轴负半轴一动点，OC<OB，BD丄AC于D，交y轴于点E，求证：OD平分上CDB.（3）如图（2点F为AB的中点，点G为x正半轴点B右侧的一动点，过点F作FG的垂线FH，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，S△AFH-S△FBG的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果.类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形例．已知：ΔABC中，D为BC的中点，AG平分上BAC,CG丄AG于G，连结DG，若AB=6,AC=4，求DG的长.【变式训练1】已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°;AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD.求证：【变式训练2】如图，在△ABC中，∠C=90°,BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短例．如图，在ΔABC中，AB>AC，AD平分上BAC交BC于D，求证：AB-AC>BD-CD.【变式训练1】如图所示，在ΔABC中，上ACB=60。，AE,BD是ΔABC的角平分线，AE,BD【变式训练2】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC中，∠A=90°,AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°,AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°,AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.【变式训练3】如图，已知B（-1，0C（1，0A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC.（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数.【变式训练4】如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分上ACB(3)在（1）中，过D作DF丄AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点如图3当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足上GDH=上GDO+上FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明.课后训练1．如图，在ΔABC中，上B=60。，AD、CE分别是上BAC、上ACB的平分线，AD、CE相交于点F，试判断FE和FD之间的数量关系.2．如图，在ΔABC中，上ABC=2上C，BE平分上ABC，交AC于E，AD丄BE于D，求证：4．如图1，在△ABC中，CM是AB边的中线，上BCN=上BCM交AB延长线于点N，2CM=CN.（1）求证AC=BN；（2）如图2，NP平分上ANC交CM于点P，交BC于求的值.5．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是7BAD的角平分线，点F为AE上一点，(1)求证：BF平分7ABE；(2)连接CF交AD于点G，若S▽ABF=S▽CBF，求证：7AFC=90O；(3)在（2）的条件下，当BE=3，AG=4.5时，求线段AB的长.6．已知△ABC中，BE平分7ABC，BE交AC于点E，CD平分7ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O.(2)如图2，连接OA，求