高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版必修第二册)第八章立体几何初步单元综合测试卷(原卷版+解析)

第八章立体几何初步单元综合测试卷一、单选题1．（2023·广东·铁一中学高一阶段练习）如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．2．（2023·福建·永泰县三中高一阶段练习）下列命题正确的是（）A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形3．（2023·重庆市杨家坪中学高一阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．2 B．1 C．高 D．考4．（2023·山西·大同市平城中学校高一阶段练习）在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．（2023·重庆市清华中学校高一阶段练习）设，表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是（）A．若，.，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则6．（2023·广东·深圳市宝安中学（集团）高一期中）已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且，，则直线FH与直线EG（）A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直7．（2023·江苏省镇江中学高一期末）点是等腰三角形所在平面外一点，平面，，在三角形中，底边，，则到的距离为（）．A． B． C． D．8．（2023·湖南·长沙市明德中学高一期中）正方体的棱长为，、，分别为，，的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是（）①直线与平面平行；②平面截正方体所得的截面面积为；③直线与直线所成的角的余弦值为；④点与点到平面的距离相等.A．①④ B．①② C．①②④ D．①②③④二、多选题9．（2023·黑龙江·大庆二中高一期末）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若m∥n，m∥α，则n∥αC．若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线10．（2023·全国·高一课时练习）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）A．AC⊥B1EB．B1C∥平面A1BDC．三棱锥C1﹣B1CE的体积为D．异面直线B1C与BD所成的角为45°11．（2023·全国·高一课时练习）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF12．（2023·全国·高一课时练习）正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则()A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等三、填空题13．（2023·全国·高一课时练习）已知四棱锥的底面是矩形，其中，侧棱底面，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为___________.14．（2023·全国·高一课时练习）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.15．（2023·全国·高一课时练习）已知圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，记圆锥和球体的体积分别为，，则的值为______．16．（2023·浙江·高一课时练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，，为的中点，为内的动点(含边界)，且．当在上时，____，点的轨迹的长度为____．四、解答题17．（2023·全国·高一课时练习）如图，平面平面，平面平面，平面，为垂足.（1）求证：平面;（2）当为△的垂心时，求证：△是直角三角形.18．（2023·广西岑溪·高一期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求证：平面PBD；（2）若，直线与平面所成的角为45°，求四棱锥的体积.19．（2023·浙江·嘉兴市第五高级中学高一期中）如图所示，在三棱柱ABC­中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）E∥平面BCHG.20．（2023·福建·莆田二中高一期末）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.(1)求证：平面；(2)求与平面所成的角；(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21．（2023·重庆市江津中学校高一阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.22．（2023·河北张家口·高一期末）在梯形中，，E是线段上一点，，，，，把沿折起至，连接，，使得平面平面.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成的角；（3）求点A到平面的距离.第八章立体几何初步单元综合测试卷一、单选题1．（2023·广东·铁一中学高一阶段练习）如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．答案：C【解析】根据斜二测画法求解.【详解】直观图如图所示：由图知：原图形的周长为,故选：C2．（2023·福建·永泰县三中高一阶段练习）下列命题正确的是（）A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形答案：B【解析】根据棱柱的特点一一分析即可得解.【详解】对于A，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正确；对于B，面最少的就是三棱柱，共有五个面，B正确；对于C，长方体是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正确；对于D，斜棱柱的侧面可以不是矩形，D错误.3．（2023·重庆市杨家坪中学高一阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．2 B．1 C．高 D．考答案：C【解析】将展开图还原为正方体，结合图形即可得解；【详解】解：将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”，故选:C.4．（2023·山西·大同市平城中学校高一阶段练习）在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°答案：A【解析】分析：如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线所成角大小.【详解】设正方体的棱长为，连接，，，因为，故或其补角为直线与直线所成角.而，，，故，所以，所以，因为为锐角，故，故选：A.5．（2023·重庆市清华中学校高一阶段练习）设，表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是（）A．若，.，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则答案：D【解析】利用线面平行的位置关系可判断A；根据线面之间的位置关系可判断B、C；利用面面垂直的判定定理可判断D.【详解】A错，∵线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面，B错，∵与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行，C错，∵两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；D对，∵线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直，故选：D.6．（2023·广东·深圳市宝安中学（集团）高一期中）已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且，，则直线FH与直线EG（）A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直答案：B【解析】由已知为三角形的中位线，从而且，由，得在四边形中，，即，，，四点共面，且，由此能得出结论．【详解】如图所示，连接EF,GH.四边形是空间四边形，、分别是、的中点，为三角形的中位线且又，，且，在四边形中，即，，，四点共面，且，四边形是梯形，直线与直线相交，故选：B【点睛】方法点睛：证明两直线相交，首先要证明两直线共面，再证明它们不平行.所以本题先证明，，，四点共面，再证明直线与直线不平行.7．（2023·江苏省镇江中学高一期末）点是等腰三角形所在平面外一点，平面，，在三角形中，底边，，则到的距离为（）．A． B． C． D．答案：A【解析】分析：首先取的中点，连接，，易证平面，从而得到，再计算的长度即可.【详解】取的中点，连接，，如图所示：因为，为中点，所以，又因为平面，平面，所以.又因为，所以平面.又因为平面，所以.因为，所以.故选：A8．（2023·湖南·长沙市明德中学高一期中）正方体的棱长为，、，分别为，，的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是（）①直线与平面平行；②平面截正方体所得的截面面积为；③直线与直线所成的角的余弦值为；④点与点到平面的距离相等.A．①④ B．①② C．①②④ D．①②③④答案：C【解析】分析：由已知得四边形为等腰梯形，即为正方体的截面，由线面平行的判定定理可判断①；做于，求出等腰梯形的高由梯形的面积公式可判断②；由，得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，由余弦定理得可判断③；点与点在平面的两侧，且线段的中点在平面内，可判断④.【详解】连接，因为、，分别为，的中点，正方体的棱长为，所以，且，所以四边形为梯形，即为正方体的截面，且面，因为为的中点，所以，平面，平面，所以平面，即直线与平面平行，所以①正确；因为，，所以，四边形为等腰梯形，做于，，所以梯形的面积为，所以平面截正方体所得的截面面积为，所以②正确；因为，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为或其补角，连接，，，在中，由余弦定理得，由于直线与直线所成的角的范围在，所以直线与直线所成的角的余弦值为，所以③错误；因为点与点在平面的两侧，且线段的中点在平面内，所以点与点到平面的距离相等，所以④正确，故选：C.二、多选题9．（2023·黑龙江·大庆二中高一期末）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若m∥n，m∥α，则n∥αC．若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线答案：AD【解析】分析：利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可.【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得：对于A，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；对于B，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故B错误；对于C，若m⊂α，n⊂β，则m，n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线，故D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质，线面平行的判定和面面平行的性质.10．（2023·全国·高一课时练习）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（）A．AC⊥B1EB．B1C∥平面A1BDC．三棱锥C1﹣B1CE的体积为D．异面直线B1C与BD所成的角为45°答案：AB【解析】分析：对于A，由已知可得AC⊥平面BB1D1D，从而可得AC⊥B1E；对于B，利用线面平行的判定定理可判断；对于C，由进行求解即可；对于D，由于BD∥B1D1，所以∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，从而可得结果【详解】解：如图，∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确；∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正确；三棱锥C1﹣B1CE的体积为，故C错误；∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形，∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误.故选：AB.【点睛】此题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线所成的角以及体积的计算等知识，考查推理能力，属于中档题11．（2023·全国·高一课时练习）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEH D．HG⊥平面AEF答案：BC【解析】分析：由题意可得，AH⊥HE，AH⊥HF，HF⊥HE，从而利用线面垂直的判定定理可得AH⊥平面EFH，HF⊥平面AHE，进而可得答案【详解】解：由题意可得：AH⊥HE，AH⊥HF.∴AH⊥平面EFH，而AG与平面EFH不垂直.∴B正确，A不正确.又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正确.HG与AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正确.D不正确.故选：BC.【点睛】此题考查线面垂直的判定，考查折叠问题，属于基础题12．（2023·全国·高一课时练习）正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则()A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等答案：BC【解析】分析：对于A，利用线线平行，将与的位置关系转换为判断与的位置关系；对于B，作出辅助线：取的中点，连接、，然后利用面面平行判断；对于C，把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积判断；对于D，利用反证法判断．【详解】对于A，因为，若，则，从图中可以看出，与相交，但不垂直，所以A错误；对于B，如图所示，取的中点，连接、，则有，，∵，，∴平面∥平面．又∵平面，∴∥平面，故选项B正确；对于C，如图所示，连接，，延长，交于点，∵，分别为，的中点，∴，∴、、、四点共面，∴截面即为梯形．∵，∴，即，∴又，∴即，，∴等腰△的高，梯形的高为，∴梯形的面积为，故选项C正确；对于D，假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故D错．故选：BC﹒三、填空题13．（2023·全国·高一课时练习）已知四棱锥的底面是矩形，其中，侧棱底面，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为___________.答案：【解析】分析：利用异面直线所成的角可求的长度，将四棱锥补成长方体后可求外接球的直径，从而可求外接球的表面积.【详解】如图，因为，故或其补角为异面直线与所成的角，因为平面，平面，故，故为锐角，故，故，故.将该四棱锥补成如图所示的长方体：则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，其直径为，故表面积为.故答案为：.14．（2023·全国·高一课时练习）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.答案：【解析】分析：先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为圆柱体积为所求几何体体积为故答案为：【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.15．（2023·全国·高一课时练习）已知圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，记圆锥和球体的体积分别为，，则的值为______．答案：【解析】分析：设圆锥底面半径为，圆锥的内切球半径为，由题意画出圆锥轴截面图，进而可得、圆锥高，即可得解.【详解】设圆锥底面半径为，圆锥的内切球半径为，由题意知，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，球的大圆为该正三角形的内切圆，如图，，圆锥高，．故答案为：.【点睛】本题考查了圆锥几何特征的应用及其内切圆相关问题的求解，属于基础题.16．（2023·浙江·高一课时练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，，为的中点，为内的动点(含边界)，且．当在上时，____，点的轨迹的长度为____．答案：255##255【解析】分析：取的中点，可得，根据已知条件可证明面面，再由面面垂直的性质定理可得，可得；过点作，垂足为，可证明面，得到点的轨迹，进而可得轨迹的长度.【详解】取的中点，连接，则，因为，所以，因为平面，面，所以面面，因为面面，，面，所以面，因为面，所以，，过点作，垂足为，则面，即点在线段上运动时，所以点的轨迹为线段，则，故答案为：；.四、解答题17．（2023·全国·高一课时练习）如图，平面平面，平面平面，平面，为垂足.（1）求证：平面;（2）当为△的垂心时，求证：△是直角三角形.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）面内一点D作、，根据面面、线面垂直的性质可得、，即可证平面.（2）由射影的性质可得，根据线面垂直的判定可证面，再由线面垂直的性质有，结论得证.【详解】（1）面内一点D作，又面面，面面，∴面，面，则，面内过D作，同理得，又面，∴面.（2）由为△的垂心，即，又面，∴是在面上的射影，则，由（1）且面，有，又，∴面，又面，故，即△是直角三角形，得证.18．（2023·广西岑溪·高一期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求证：平面PBD；（2）若，直线与平面所成的角为45°，求四棱锥的体积.答案：（1）证明见解析；（2）【解析】分析：（1）通过AC⊥BD与PD⊥AC可得平面；（2）由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，则可先求出菱形ABCD的面积，进而可得四棱锥P-ABCD的体积.【详解】解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥AC，又，故AC⊥平面PBD；（2）因为PD⊥平面ABCD，所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，于是∠PBD=45°，因此BD=PD=2.又AB=AD=2，所以菱形ABCD的面积为，故四棱锥P-ABCD的体积.19．（2023·浙江·嘉兴市第五高级中学高一期中）如图所示，在三棱柱ABC­中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）E∥平面BCHG.答案：（1）证明见详解；（2）证明见详解；【解析】（1）由中点知为中位线，即有，结合三棱柱的性质可证，即四点共面.（2）由三棱柱的性质以及中点性质有平行且相等，即有，结合线面平行的判定即可证面.【详解】（1）∵G，H分别是，的中点，∴，而，∴，即B，C，H，G四点共面.（2）∵E，G分别是AB，的中点，∴平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，∴面，20．（2023·福建·莆田二中高一期末）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.(1)求证：平面；(2)求与平面所成的角；(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.答案：(1)证明见解析；(2)30°；(3)存在，.【解析】分析：(1)首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明平面，再证明即可求解；(2)根据(1)中结论找出所求角，再结合已知条件即可求解；(3)首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解.【详解】(1)因为，是的中点，所以，故四边形是菱形，从而，所以沿着翻折成后，，,又因为，所以平面，由题意，易知，，所以四边形是平行四边形，故，所以平面；(2)因为平面，所以与平面所成的角为，由已知条件，可知，，所以是正三角形，所以，所以与平面所成的角为30°；(3)假设线段上是存在点，使得平面，过点作交于，连结，，如下图：所以，所以，，，四点共面，又因为平面，所以，所以四边形为平行四边形，故，所以为中点，故在线段上存在点，使得平面，且.21．（2023·重庆市江津中学校高一阶段练习）如图，在四棱锥P-ABC