辽宁省沈阳市2024-2025学年高三数学适应性测试二

高三数学考生留意：1．本试卷共150分，考试时间120分钟．分四大题，22小题，共6页2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）1.欧拉恒等式（i为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇异的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．依据欧拉公式，复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据欧拉公式得到复数的代数形式，结合诱导公式计算即可得答案.【详解】，则虚部为．故选：C．2.魔方又叫鲁比克方块（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克･艾尔内于1974年独创的机械益智玩具，与华容道､独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力嬉戏界的三大不行思议.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从全部的小正方体中任取一个，恰好抽到中心方块的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】沿等分线把正方体切开，共有27个同样大小的小正方体，然后数出1面有色、2面有色和3面有色的小正方体的个数，可通过古典概型运算公式求得答案.【详解】沿等分线把正方体切开，得到27个同样大小的小正方体，1面有色的小正方体有6个，2面有色的小正方体有12个，3面有色的小正方体有8个，所以恰好抽到的是中心方块的概率是．故选：A.3.已知为椭圆上不同的三点，直线，直线交于点，直线交于点，若，则（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据三角形面积公式及或得，再应用相交弦长公式列方程，即可求.【详解】由，则，由图知：当位置变更时，或，故，所以，而直线、斜率存在且不为0，故，，所以，即或，当，化简得.当时，，明显，无解.所以.故选：B.4.在计算机尚未普及的年头，人们在计算三角函数时经常须要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追测到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知的正弦值为0.0384，的正弦值为0.5135，等等.则依据该表，416．5°的余弦值为（）0'6'12'18'24'30'36'42'48'54'60'0°0.000000170035005200700087010501220140015701751°017501920209022702440262027902970314033203492°03490366038404010419043604540471048805060523……30°0.5000501550305045506050755090510551205135515031°5150516551805195521052255240525552705284529932°5299531453295344535853735388540254175432544633°5446546154765490550555195534554855635577559234°55925606562156355650566456785693570757215736………………A.0.5461 B.0.5519 C.0.5505 D.0.5736【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式进行化简，然后查表即可得到结果.【详解】由题意，，查表可．故选：B.5.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数与函数的单调性证得在上单调递增，从而证得，进而由对数函数的单调性得到.【详解】因为，，，故令，则，因为，所以，故恒成立，所以在上单调递增，因为，所以，即，故，又因为在上单调递增，所以，即.故选：B.6.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，设，则，明显有，，，因此，，在，，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故选：B【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得的值，依据离心率的定义求解离心率；②齐次式法，由已知条件得出关于二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特别值法：通过取特别值或特别位置，求出离心率.7.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得，进而可得在上恒成立，构造函数，利用导数探讨函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】等价于．令函数，则，故是增函数．等价于，即．令函数，则．当时，，单调递增：当时，，单调递减．.故实数a的取值范围为．故选：C.8.已知正方体棱长为2，P为空间中一点.下列论述正确的是（）A.若，则异面直线BP与所成角的余弦值为B.若，三棱锥的体积不是定值C.若，有且仅有一个点P，使得平面D.若，则异面直线BP和所成角取值范围是【答案】D【解析】【分析】A：为中点，连接，若分别是中点，连接，找到异面直线BP与所成角为或其补角，求其余弦值；B：在（含端点）上移动，△面积恒定，到面的距离恒定，即可推断；C：若分别是中点，在（含端点）上移动，证明面，易知要使面，则必在面内，即可推断；D构建空间直角坐标系，设，应用向量夹角的坐标表示求，进而推断夹角的范围.【详解】A：由，即为中点，连接，若分别是中点，连接，则，又且，即为平行四边形，所以，所以异面直线BP与所成角，即为或其补角，而，，，故，错误；B：由知：在（含端点）上移动，如下图示，△面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，错误；C：若分别是中点，由知：在（含端点）上移动，由面，面，则面面，由，面面，面，所以面，面，则，同理可证：，由，、面，故面，而面面，要使面，则必在面内，明显面，故错误；D：由知：在（含端点）上移动，如下图建系，，，则，设，则，所以，令，当，即时，，此时直线和所成角是；当，即时，则，当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，正确.故选：D【点睛】关键点点睛：依据向量的线性关系推断的位置，结合异面直线夹角的定义、锥体体积公式、线面垂直的判定及向量夹角的坐标求法，证明或求解线面垂直、体积、异面直线夹角范围等.二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9.十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=”作为等号运用，后来英国数学家哈利奥特首次运用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（）A.若，则B.若，则有最小值C.若，则D.若，则有最大值1【答案】ABD【解析】【分析】利用不等式性质推断A；利用“1”的妙用计算推断B；确定b的取值范围，求出范围作答；利用均值不等式计算推断D作答.【详解】对于A，，则，即，A正确；对于B，，，则，当且仅当，即时取等号，B正确；对于C，，由得：，有，则，C不正确；对于D，，，则，当且仅当时取等号，D正确.故选：ABD10.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而著名于海内外．阅历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民宠爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团聚共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（）图1图2A.若，则 B.若，则C. D.【答案】ABD【解析】【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设，可得，由，结合题中条件可推断A,B;表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可推断C，D.【详解】如图，作,分别以为x,y轴建立平面直角坐标系，则,设，则,由可得，且，若，则，解得，（负值舍去），故，A正确；若，则，，故B正确；，由于，故，故，故C错误；由于，故，而，故，故D正确，故选：ABD11.意大利著名数学家斐波那契在探讨兔子的繁殖问题时，发觉有这样的一列数：，，，，，，.该数列的特点如下：前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以所得余数按原依次构成的数列记为，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】写出的前几项，通过视察可得数列的周期，进而结合数列的性质以及的定义，可推断A、B项；因为，可推得，逐项代入即可得到C项；由，可得，逐项代入即可得到，从而得到D项错误.【详解】因为，，，，，，依据数列的性质以及的定义可得，，，，，，.同理可推得，当时，有，，，，，，所以是以为周期的周期数列，所以，所以A项错误；由周期性可知，，，故B正确；因为，可推得，逐项代入，可得，所以C正确；因为，所以D错误故选：BC．12.已知函数，若有6个不同的零点分别为，且，则下列说法正确的是（）A.当时，B.的取值范围为C.当时，的取值范围为D.当时，的取值范围为【答案】AC【解析】【分析】对A选项，对求导，得到其最值即可推断，对B选项，将看成整体解出或，通过图像找到所在位置，依据，假设通过消元解出范围，再通过数形结合求出的范围，两者比较即可，对C,D通过削减变量，将式子化为，然后转化为的范围进行分类探讨即可推断.【详解】当时，，此时，令，解得，令，解得，可得在上单调递减，在上单调递增，且，∴当时，，故A正确；作出如图所示图像：由有6个不同的零点，等价于有6个不同的实数根，解得或，∵，∴若，可得，而当时，，可得，而；当时，，可得而，故的范围为的子集，的取值范围不行能为，故B选项错误；该方程有6个根，且，知且，当时，，，联立解得，，故C正确；当时，，，联立解得，．故D错误.故选：AC.【点睛】关键点睛：本题的关键点是对的理解，将看成一个，解出其值，然后通过图像分析，转化为直线与图像的交点状况，对于C,D选项式子，我们谨记要削减变量，将其转化为一个或两个变量的相关式子，常见的如，有两根，则，如一元二次方程存在实数解，则.三、填空题（每题5分，共20分）13.古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从点走向点，先走完总路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的二分之一”要走，这个人恒久走不到终点，因古代人们对无限相识的局限性，所以芝诺得到了错误的结论．设，这个人走的第段距离为，则满意这个人走的前段距离的总和的的一个值可以为__________．【答案】7（7、8、9，只需写出一个答案即可）【解析】【分析】依据题意知数列是公比为，首项为的等比数列，求出前n项和，列出不等式即可求正整数n的取值.【详解】由题意得且，当时，，所以，化简得，由等比数列定义知数列是公比为，首项为的等比数列，所以，因为，所以，即，所以，又，所以的取值可以为7、8、9.故答案：7（7、8、9，只需写出一个答案即可）14.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1焦点重合，离心率互为倒数，设F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上随意一点，则的最小值为________．【答案】8【解析】【分析】求出椭圆的离心率和焦点，从而得双曲线的离心率，双曲线的实半轴长，可得，由双曲线的定义得PF1＝PF2＋2，这样就可表示为的函数，于是可利用基本不等式求得最小值【详解】设椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c，则c＝＝＝2，故椭圆的离心率e1＝＝，从而双曲线的离心率，可得a＝1，依据双曲线的定义有PF1－PF2＝2a，即PF1＝PF2＋2，故＝＝＝PF2＋＋4，由双曲线的范围可得PF2≥c－a＝1，依据基本不等式可得PF2＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当PF2＝，即PF2＝2时取“＝”，所以的最小值为8.故答案为：8．【点睛】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查双曲线的定义，解题关键是由双曲线定义得PF1＝PF2＋2，把表示为的函数．15.我们经常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为的个球的口袋中取出个球，共有种取法.在种取法中，不取号球有种取法；取号球有种取法.所以.试运用此方法，写出如下等式的结果：___________.【答案】【解析】【分析】将等式看作是从编号为个球中，取出个球，其中第个球的编号依次为的状况，利用分类加法计数原理得到的结果；再由从编号为个球中，取出个球，有种取法，即可得到结果.【详解】从编号为个球中，取出个球，记所选取的六个小球的编号分别为，且，当时，分三步完成本次选取：第一步，从编号为的球中选取2个；其次步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中任选个，故选取的方法数为；当时，分三步完成本次选取：第一步，从编号为的球中选取2个；其次步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中任选个，故选取的方法数为；……；当时，分三步完成本次选取：第一步，从编号为的球中选取2个；其次步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中选个，故选取的方法数为；至此，完成了从编号为个球中，选取个球，第个球的编号确定时的全部状况，另外，从编号为个球中，取出个球，有种取法，所以.故答案为：.16.当a＞0时，若不等式恒成立，则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】先将不等式转化为，进而转化为的图像恒在图像的下方，求出两个函数的零点，比较两个函数的零点得到，且当恰为在处的切线时取得最小值，即可求解.【详解】由题意知：，由可得，即不等式恒成立，令，易得为斜率大于0的一条直线，；，当时，单增，当时，单减，又，要使不等式恒成立，必有零点与的零点重合或者在的零点左侧，如图所示：故有，解得，当且仅当恰为在处的切线时取等，此时的图像恒在图像的下方，即满意恒成立，即恒成立.又，故在处的切线方程为，即时，取得最小值.故答案：.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.设首项为2的数列的前项和为，前项积为，且满意__________.条件①：；条件②：；条件③：.请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：（注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列的前项和.（参考公式：）【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】(1)选择①，由条件证明为等差数列，结合等差数列通项公式求的通项公式；选择②，由条件，结合关系，证明，利用累乘法求数列的通项公式；选择③，先证明，由此得为常数，再求数列的通项公式；(2)求，利用裂项相消法求，由此完成证明.【小问1详解】若选择条件①：因为，所以，又，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列．所以，所以．若选择条件②：因为，所以．当时，，整理得，，所以，累乘得，，当时，，符合上式，所以．若选择条件③：因为，所以，即，所以，所以数列为常数列，又，所以，即．【小问2详解】证明：由（1）知：，结合参考公式可得，所以，所以，即因为，所以，即.18.如图，平面四边形ABCD中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满意．（1）求四边形ABCD的外接圆半径R；（2）求内切圆半径r的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用余弦定理求出，再利用正弦定理和余弦定理求得，进而得到A，B，C，D四点共圆，利用正弦理即可求解.（2）结合（1）的结论和正弦定理可得：，然后再利用正弦定理和帮助角公式以及正弦函数的图像和性质即可求解.【小问1详解】在中，，所以，由正弦定理，，可得，再由余弦定理，，又，所以.因为，所以，所以A，B，C，D四点共圆，则四边形ABCD的外接圆半径就等于外接圆的半径.又，所以.【小问2详解】由（1）可知：，则.，则.在中，由正弦定理，，所以，，则，又，所以，所以，，所以.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且，点在棱上，点为中点.（1）证明：若，直线平面；（2）求二面角的正弦值；（3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）利用面面平行证明线面平行；（2）利用坐标法求二面角余弦值与正弦值；（3）设，可表示点与，再依据线面夹角求得的值.【小问1详解】如图所示，在线段上取一点，使，连接，，，，又，，，四边形为平行四边形，，又，，所以平面平面，平面，平面；【小问2详解】如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，又是中点，则，所以，，，设平面的法向量，则，令，则，设平面的法向量，则，令，则，所以，则二面角的正弦值为；【小问3详解】存在，或假设存在点，设，即，，由（2）得，，，且平面的法向量，则，，则，，解得或，故存在点，此时或.20.近年来，学生职业生涯规划课程渐渐进入课堂，考生选择高校就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升.下表是某高校数学专业近五年的录用平均分与当年该学校的最低提档线比照表：年份20172024202420242024年份代码12345该校最低提档分数线510511520512526数学专业录用平均分522527540536554提档线与数学专业录用平均分之差1216202428（1）依据上表数据可知，y与t之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求y关于t的线性回来方程；（2）据以往数据可知，该高校每年数学专业的录用分数X听从正态分布，其中为当年该高校的数学录用平均分，假设2024年该校最低提档分数线为540分.①若该高校2024年数学专业录用的学生成果在584分以上的有3人，本专业2024年录用学生共多少人？进入本专业高考成果前46名的学生可以获得一等奖学金，则一等奖学金分数线应当设定为多少分？②在①的条件下，若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用表示其中高考成果在584分以上的人数，求随机变量的分布列与数学期望.参考公式：，.参考数据：，，【答案】（1）（2）①；580分；②详见解析.【解析】【分析】（1）依据表中数据，分别求得，，，写出线性回来方程.（2）①由（1）中的线性回来方程求得时的，进而得到该高校2024年的数学专业录用平均分，然后利用原则求解，再由584分以上的有3人可计算出本专业2024年录用学生共多少人；再由前46名占比计算出一等奖学金分数线应当设定为多少分；②若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用表示其中高考成果在584分以上的人数，其中该专业获得一等奖学金的学生为46人，其中高考成果在584分以上的有3人，则的可能取值为0，1，2，3，再由超几何分布的概率求解计算出概率并列出分布列进而求得数学期望.【小问1详解】由题意知，，，，所以，，故所求线性回来方程为．【小问2详解】①由（1）知，当时，，故该高校2024年的数学专业录用平均分约为．即因为，又，若该高校2024年数学专业录用的学生成果在584分以上的有3人，则本专业2024年录用学生共；进入本专业高考成果前46名的学生占录用人数的，设一等奖学金分数线应当设定为分，则，，故一等奖学金分数线应当设定为580分；②若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用表示其中高考成果在584分以上的人数，其中该专业获得一等奖学金的学生为46人，其中高考成果在584分以上的有3人，则的可能取值为0，1，2，3；；；；0123.21.已知双曲线