高中数学人教A版必修4课时跟踪检测（十八）向量数乘运算及其几何意义

课时跟踪检测（十八）向量数乘运算及其几何意义层级一学业水平达标1．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝()A．eq\f(5,7)b B．－eq\f(5,7)bC．eq\f(7,5)b D．－eq\f(7,5)b解析：选Bb与a反向，故a＝λb(λ＜0)，|a|＝－λ|b|，则5＝－λ×7，所以λ＝－eq\f(5,7)，∴a＝eq\f(5,7)b.2．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝()A．5e B．－5eC．23e D．－23e解析：选C2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.3．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则()A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线解析：选B＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．4．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)，又＝t，则t的值为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,3)解析：选A由题意可得＝－＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)－＝eq\f(1,3)(－)＝eq\f(1,3)，又＝t，∴t＝eq\f(1,3).5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝()A．eq\f(1,3)a＋b B．eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,3)b D．a＋eq\f(1,2)b解析：选A由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝eq\f(1,3)AB，∴＝＋＝＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)a＋b.6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝______.解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.答案：4b－3a7．下列向量中a，b共线的有________(填序号)．①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－eq\f(2,5)e2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1－\f(1,10)e2))＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb.故填①②③.答案：①②③8．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即(m－λ)a＋(mλ－2λ－3)b＝0，因为a与b不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝λ，,mλ－2λ－3＝0，))解得m＝－1或m＝3.答案：－1或39．计算：(1)eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)；(2)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n为实数)．解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(2,3)＋\f(4,15)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)－\f(4,3)＋\f(26,15)))b＝0.(2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b)＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb＝ma－nb.10．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．解：∵a与b是共线向量，∴a＝λb，∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λk＝2，,λ＝－1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,λ＝－1，))∴k＝－2.层级二应试能力达标1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相同B．a与－λa的方向相反C．a与λ2a的方向相同D．|λa|＝λ|a|解析：选C只有当λ>0时，a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，且|λa|＝λ|a|.因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同．2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2＋＋＝0，则()A．＝ B．＝2C．＝3 D．2＝解析：选A∵在△ABC中，D为边BC的中点，∴＋＝2，∴2(＋)＝0，即＋＝0，从而＝.3．已知向量a，b不共线，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，且A，B，C三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为()A．λ1＝λ2＝1 B．λ1＝λ2＝－1C．λ1λ2＝1 D．λ1＋λ2＝1解析：选C∵A，B，C三点共线，∴＝k(k≠0)．∴λ1a＋b＝k(a＋λ2b)＝ka＋kλ2b.又∵a，b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝k，,1＝kλ2，))∴λ1λ2＝1.4．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则()A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上解析：选D∵＋＋＝，∴＋＋－＝0，∴＋＋＋＝0，即＋＋＝0，∴2＝，∴点P在线段AC上．5．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝______.解析：∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝8λ，,2＝λk，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,k＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,k＝－4.))∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－eq\f(1,2)，k＝－4.答案：－46.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b)表示．解析：＝＋＝－＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,4)(a＋b)＝eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)a＝eq\f(1,4)(b－a)．答案：eq\f(1,4)(b－a)7．已知：在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．证明：如图所示．∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，∴＝2.∴与共线，且||＝2||.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．8.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.(1)用a，b表示向量，；(2)若＝λ，求λ的值．解：(1)由A是BC的中点，则有＝eq\f(1,2)(＋)，从而＝2－＝2a－b.由D是将OB分成2∶1的一个内分点，得＝eq\f(2,3)，从而＝－＝(2a－b)－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)由于C，E，D三点共线，则