人教A版普通高中数学一轮复习第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系学案

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求：能判断直线与圆、圆与圆的位置关系．自查自测知识点一直线与圆的位置关系1．(教材改编题)直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．相切或相交A解析：圆心(0，0)到直线3x＋4y＝5的距离为d＝532+42．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1] B．[－1，3]C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C解析：由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，所以a−0+112+−12≤2，即|a＋1|≤3．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．4 B．23C．12 D．B解析：将圆M的方程整理成标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以圆M的圆心坐标为(1，2)，半径为5.又点(1，2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝1+2−112+12＝2，所以直线m被圆M截得的弦长为核心回扣直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何观点d＞rd＝rd＜r自查自测知识点二圆与圆的位置关系1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(×)(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(√)2．(教材改编题)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A.内切 B．相交C.外切 D．相离B解析：两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42+12＝17.因为3－2＜3．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为()A.±3 B．±5C.3或5 D．±3或±5D解析：圆C1与圆C2的圆心距为d＝a−02+0−02＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，所以a＝±5；当两圆内切时，有|核心回扣圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)图形量的关系外离d＞r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|＜d＜r1＋r2内切d＝|r1－r2|内含d＜|r1－r2|【常用结论】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程．①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验圆C2是否满足题意，以防丢解)．应用1圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0D解析：圆Q的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.因为P(1，3)在圆Q上，所以所求切线方程为(1－2)·(x－2)＋(3－0)(y－0)＝4，即x－3y＋2＝0.应用2圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为()A．x2＋y2－x＋7y－32＝0 B．x2＋y2－x＋7y－16＝0C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0 D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0A解析：设经过两圆的交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即x2＋y2＋61+λx＋6λ1+λy－4+28λ1+λ＝0，其圆心坐标为−31+λ，−3λ1+λ．又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－31+λ＋3λ1+λ－4＝0，解得λ应用3圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为．x－y＋2＝0解析：将两圆方程相减，得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.直线与圆的位置关系1．(多选题)(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切ABD解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2+b2＝|若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2＜r2，所以d＝r2a2则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以d＝r2a2+b2＜|若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2+b2＝|2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为()A．(－32，32)B．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C．(－22，22)D．(－∞，－22)∪(22，＋∞)A解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝−a2＜3，解得－32＜a＜323．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定A解析：(1)(方法一：代数法)由mx−y+1−m=0消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0.因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交．(方法二：几何法)因为圆心(0，1)到直线l的距离d＝mm2+1＜1＜5，所以直线l(方法三：点与圆的位置关系法)将直线l：mx－y＋1－m＝0化为m(x－1)＝y－1，得直线过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)代数法：判别式Δ＝b2－4ac＞(2)几何法：利用圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系，即d＜r⇔相交，d＝r⇔相切，d＞r⇔相离．圆与圆的位置关系【例1】(1)(2024·聊城模拟)已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，则C1与C2的位置关系是()A．外切 B．内切C．相交 D．外离C解析：圆C1的圆心为(1，0)，r1＝1，圆C2的圆心为(3，1)，r2＝2，所以r2－r1＜|C1C2|＝3−12+1−02＝5＜r2所以C1与C2的位置关系是相交．(2)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.①m取何值时两圆外切？②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？③当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解：两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为11和61−m.①当两圆外切时，5−12+6−3解得m＝25＋1011.②(方法一：作差法)由x两式相减得8x＋6y－1－m＝0.又两圆内切，所以61−m−11＝解得m＝25－1011.所以所求公切线方程为4x＋3y＋511－13＝0.(方法二：直接法)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值．故有61−m−11＝5，解得m＝25－10因为kMN＝6−35−1＝34，所以两圆公切线的斜率是－设公切线方程为y＝－43x＋b则有43×1+3−b4解得b＝133±5容易验证，当b＝133＋5311时，直线与圆x2＋y2－10x－12y故所求公切线方程为y＝－43x＋133－即4x＋3y＋511－13＝0.③两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，化简得4x＋3y－23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，得公共弦的长为2×112−4+9−231．判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和、两圆半径差的绝对值的大小关系，一般不用代数法．2．两圆公共弦长的求法先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d、半弦长l2、半径r1．(2024·扬州模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y＋22)2＝16和两点A(0，－m)，B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为()A．5 B．6C．7 D．8C解析：因为两点A(0，－m)，B(0，m)，点P满足AP⊥BP，故点P的轨迹C1是以AB为直径的圆(不包含A，B)，故其轨迹方程为C1：x2＋y2＝m2(x≠0)，圆心C1(0，0)，半径为|m|.又圆C：(x－1)2＋(y＋22)2＝16上存在点P，故两圆有交点．又|CC1|＝12所以|4－|m||≤3≤4＋|m|，解得|m|∈[1，7]，则m的最大值为7.2．(2022·新高考全国Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程：________________________________．x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)解析：如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3，4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5＝r1＋r2，所以两圆外切．由图可知公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝43x联立x=−1，y=由对称性可知公切线l2过点−1，所以可设公切线l2的方程为y＋43＝k(x又点O(0，0)到l2的距离为1，所以1＝k−43k2+1所以公切线l2的方程为y＋43＝724(即7x－24y－25＝0.③公切线l3与直线l：y＝43x垂直，设公切线l3的方程为y＝－34x＋t，易知t又点O(0，0)到l3的距离为1，所以1＝t−解得t＝54或t＝－5所以公切线l3的方程为y＝－34x＋5即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.直线与圆位置关系的综合应用考向1弦长问题【例2】(1)已知在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点(1，0)且与直线x－y＋1＝0垂直．若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为()A．1 B．2C．2 D．22A解析：圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心坐标为(0，－1)，半径r＝2.直线l与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1.又直线l过点(1，0)，所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心到直线l的距离d＝0−1−12＝2弦长|AB|＝2r2−d2＝2又坐标原点O到直线l的距离为22所以△AOB的面积为12×22×2(2)设直线(a＋1)x－ay－1＝0(a∈R)与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，则|AB|的取值范围为()A．[2，2] B．[2，4]C．[2，4] D．[22，4)D解析：设直线(a＋1)x－ay－1＝0(a∈R)为直线l，因为直线(a＋1)x－ay－1＝0，即a(x－y)＋x－1＝0，所以直线l恒过定点D(1，1)．因为圆C：x2＋y2＝4，所以圆心C(0，0)，半径r＝2，D在圆的内部，当直线CD⊥l时，弦|AB|最短．因为|CD|＝12+1所以|AB|＝2r2−CD当直线l过圆心时，|AB|最长，但显然直线l恰好不过圆心，故|AB|的长度小于2r＝4，所以|AB|的取值范围为[22，4)．求弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2考向2切线问题【例3】已知点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为．23解析：由圆O：x2＋y2＝2，得r＝2，四边形PAOB的面积S＝2S△PAO＝|PA|·|AO|＝2|PA|.因为点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，所以P(x0，4－x0)．由直线PA为圆的切线可知|PA|＝PO2−OA又|PO|2＝x02＋(4－x0＝2x02－8＝2(x0－2)2＋8≥8，所以|PO|2－2≥6，则|PA|≥6，所以四边形PAOB的面积的最小值为2×6＝2(1)处理圆的切线问题要抓住圆心到切线的距离等于半径这一关系，从而建立方程解决问题．(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．1．若直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＋1－a＝0相切，则a等于()A．2 B．1C．2 D．4A解析：因为直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＋1－a＝0相切，又圆x2＋y2－2x＋1－a＝0可化为(x－1)2＋y2＝a，则圆心为(1，0)，半径为a.由题意得a＞0，2．(2023·新高考全国Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝()A．1 B．15C．104 D．B解析：圆x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，则圆心C(2，0)，半径为r＝5.设P(0，－2)，切线为PA，PB，切点分别为A，B，则PC＝22+2在△PAC中，sinα2＝522，所以cosα2＝所以sinα＝2sinα2cosα2＝2×522×课时质量评价(四十九)1．在平面直角坐标系中，直线3xcosα＋2ysinα＝1(α∈R)与圆O：x2＋y2＝12A．相切 B．相交C．相离 D．相交或相切D解析：因为圆心到直线的距离d＝13cos2α+2当且仅当α＝kπ＋π2(k∈Z又圆O：x2＋y2＝12的半径为2所以直线与圆相交或相切．2．圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是()A．1 B．2C．3 D．4C解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为C1(－1，2)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(3，2)，半径为2，两圆的圆心距|C1C2|＝−1−323．过点A(a，0)(a＞0)，且倾斜角为30°的直线与圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)相切于点B，且|AB|＝3，则△OAB的面积是()A．12 B．C．1 D．2B解析：在Rt△AOB中，∠OBA＝90°，∠BAO＝30°，|AB|＝3，故|OB|＝1，所以S△OAB＝12|AB|·|OB|＝34．已知圆C的圆心在直线l1：x＋2y－7＝0上，且与直线l2：x＋2y－2＝0相切于点M(－2，2)，则圆C被直线l3：2x＋y－6＝0截得的弦长为()A．25 B．4C．21055 D解析：设圆C的圆心坐标为(a，b)，则有解得a＝－1，b＝4，则圆心为C(－1，4)，半径r＝−1+22+4−2则圆心C到直线2x＋y－6＝0的距离d＝−2+4−622+则弦长为2r2−d2＝2×5．若圆C：x2＋y2－6x－6y－m＝0上有到(－1，0)的距离为1的点，则实数m的取值范围为()A．(－18，6] B．[－2，6]C．[－2，18] D．[4，18]C解析：将圆C的方程化为标准方程得(x－3)2＋(y－3)2＝m＋18，所以m＞－18.因为圆C上有到(－1，0)的距离为1的点，所以圆C与圆C′：(x＋1)2＋y2＝1有公共点，所以|m+18－1|≤|CC′|≤m+18＋1.因为|CC′|＝3+12所以|m+18－1|≤5≤m+18＋1，解得－2≤m≤18.6．(多选题)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则()A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝32D．当∠PBA最大时，|PB|＝32ACD解析：设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝5+2×5−45＝115＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，115－4＜125过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与点N重合，|PB|＝MB2−MN2＝当∠PBA最大时，点P与点Q重合，|PB|＝MB2−MQ2＝7．(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为85”的m的一个值2或−2或12或−12解析：由⊙C：(x－1)2＋y2因为△ABC的面积为85，可得S△ABC＝12×2×2×sin∠ACB＝85，解得sin∠ACB＝45．设12∠ACB＝θ，所以2sinθ由2sinθcosθsin2θ+cos2θ所以cosθ＝25或cosθ＝1故圆心C(1，0)到直线x－my＋1＝0的距离d＝45或2即21+m2＝45或21+m2＝28．已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为．(x＋3)2＋(y＋3)2＝18解析：设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r.因为x2＋y2＋10x＋10y＝0可化为(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，所以其圆心为(－5，－5)，半径为52.因为两圆相切于原点O，且圆C过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x＋5)2＋(y＋5)2＝50的内部，所以两圆内切，所以a解得a＝－3，b＝－3，r＝32，所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝18.9．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.(1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相交；(2)若过点P(1，0)的直线l′与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积S的最大值，并求此时直线l′的方程．(1)证明：转化l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0，可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0.由x−y+1=0，−2x+y+1=0所以直线l恒过点(2，3)．由(2－3)2＋(3－4)2＝2＜4，得点(2，3)在圆C内，即直线l恒过圆C内一点，所以无论m为何值，直线l都与圆C相交．(2)解：由圆C的圆心为(3，4)，半径r＝2，易知此时直线l′的斜率存在且不为0，故设直线l′的方程为x＝ny＋1(n≠0)，即ny－x＋1＝0，圆心到直线l′的距离d＝4n−3+1n2+所以|AB|＝2r2−d所以S2＝12＝4−4n−2令t＝4n−22可得S2＝4t－t2，当t＝2时，所以△ABC面积S的最大值为2.由2＝4n−22n2+1，整理得7n解得n＝1或n＝17此时直线l′的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.10．(2024·昆明模拟)直线2x·sinθ＋y＝0被圆x2＋y2－25y＋2＝0截得的弦长的最大值为()A．25 B．23C．3 D．22D解析：易知圆的标准方程为x2＋(y－5)2＝3，所以圆心为(0，5)，半径r＝3.由题意知圆心到直线2x·sinθ＋y＝0的距离d＝54sin2θ+1所以弦长为2r2−d因为53＜4sin2θ＋1≤5，所以1≤54所以2r2−d2＝23−所以当4sin2θ＋1＝5，即sin2θ＝1时，弦长有最大值22.11．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为()A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0D解析：圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，则圆心为M(1，1)，点M到直线l的距离为d＝2×1+1+222+12＝5＞2，所以直线l与圆M相离．由圆的性质可知，点A，P，B，M四点共圆，且AB⊥PM，所以|PM|·|AB|＝4S△PAM＝4×12×|PA|×|AM|＝4|PA|．而|PA|＝PM2−AM2＝PM2−4，当直线l⊥PM时，|PM|最小，|PM|min＝5，|PA|min＝1，此时|PM|·|AB由x−2y+1=0，2x+y+2=0，解得x=−1，y=0，所以P(－1，0)．所以以PM为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0.两圆的方程相减可得212．(新定义)有数学家证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足PAPB＝2，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是22解析：以经过点A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，0)，B(1，0)．设P(x，y)，因为PAPB＝2所以x+12+y2x−12+y2＝2即(x－3)2＋y2＝8，当点P到AB(x轴)的距离最大时，△PAB的面积最大，此时面积为12×2×22＝2213．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于点A，与y轴切于点B，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是．x－y＋2－2＝0解析：因为圆C与两轴相切，且M是劣弧AB的中点，所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过点M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM|＝2－1，所以M22−1，1−22，所以切线方程为y－1＋22＝x－214．已知圆C：x2＋y2＋2x－4