高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第2课时二项式定理学案

第2课时二项式定理[考试要求]能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．考点一二项展开式的通项公式的应用1．二项式定理：(a＋b)n＝Cn0an+Cn1a2．二项展开式的通项：Tk＋1＝Cnkan－kbk，它表示展开式的第k3．二项式系数：二项展开式中各项的系数Cn提醒：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．形如(a＋b)n的展开式问题[典例1](1)(2022·上海春季高考)已知二项式x3+1(2)设(1＋3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a5＝a6，则n＝________．(1)66(2)7[(1)展开式的通项为Tk＋1＝C12kx312-k1xk＝C12kx36-4k，由36－4k＝－4，得k(2)因为a5，a6分别为x5，x6的系数，则a5＝Cn5·35，a6＝Cn6所以由a5＝a6，得Cn5＝解得n＝7.]形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题[典例2](1)(2023·河北唐山二模)已知(ax＋1)·(2x－1)6展开式中x5的系数为48，则实数a＝()A．1B．－1C．2D．－2(2)(2022·新高考Ⅰ卷)1-yx(x＋y)8的展开式中x2(1)A(2)－28[(1)二项式(2x－1)6的通项为Tk＋1＝C6k(2x)6-k·(－1)k＝C6k·26-k·(－1)k·x6-k，(ax＋1)(2x－1)6的展开式中，x5的系数为aC6224×解得a＝1.故选A.(2)因为1-yx(x＋y)8＝(x＋y)8－yx(x＋所以1-yx(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为C86x2y6-所以1-yx(x＋y)8的展开式中x2y形如(a＋b＋c)n的展开式问题[典例3](2023·甘肃金昌统考模拟)在(x2－x＋y)6的展开式中，x5y2的系数为()A．30B．－30C．－60D．60C[(x2－x＋y)6＝[(x2－x)＋y]6，其展开式的通项为Tr＋1＝C6r(x2－x)6-ry若先满足x5y2中y2的次数，则r＝2，可得T3＝15(x2－x)4y其中(x2－x)4展开式的通项为Tk＋1＝C4k(x2)4-k·(－x)k＝-1k令8－k＝5，得k＝3，所以T4＝－4x5，故x5y2的系数为－4×15＝－60.故选C.]几种求展开式特定项的解法(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．跟进训练1(1)(2024·甘肃张掖模拟预测)二项式x-3x2A．－360B．－18C．18D．135(2)若x+12x8(x3＋a)的展开式中含x项的系数为－A．－1B．－2C．－3D．－4(3)(2024·湖北武汉模拟预测)sinθx-x+16的展开式中A．14B．－12C．1(1)B(2)A(3)C[(1)x-3x26的展开式的通项为Tk＋1＝C6k·x6-k·(－3x-2)k＝C6令6－3k＝3，解得k＝1，所以二项式x-3x26的展开式中含x3的项的系数为故选B.(2)x+12x8的展开式的通项为Tk＋1＝C8kx8-k12xk＝12kC8kx8(3)sinθx-x+16的展开式中x4的系数可以看成6个因式余下一个因式中提供sinθx或者6个因式sinθ故x4的系数为C64-C∴sinθ＝12，∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×14＝考点二二项式系数与项的系数问题二项式系数和与项的系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数的和：Cn0+C(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Cn0+Cn2+Cn4＋(3)在二项式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝Cn0+(4)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则①a0＋a1＋a2＋…＋an＝f(1)．②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1[典例4](1)若3x-1xn(n∈A．6B．8C．28D．56(2)(2023·四川南充三模)若(x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a4－a3＋a2－a1＝________．(1)C(2)15[(1)由3x-1xn(n∈N*)的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得2则二项式3x+1x8的展开式的通项为Tk＋1＝C8k3x8-令8-4k3＝0，解得k＝2，所以T3故3x(2)不妨设f(x)＝(x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，令x＝0得f(0)＝a0＝(0－1)4＝1，令x＝－1得f(－1)＝a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－1－1)4＝16，所以a4－a3＋a2－a1＝15.故答案为：15.]【教师备用】1．(2022·北京卷)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝()A．40B．41C．－40D．－41B[当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0①；当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0②；①+②2得a4＋a2＋a0＝41.]2．在x+3xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则A．50B．70C．90D．120C[令x＝1，则x+3xn所以x+3xn的展开式中，各项系数和为4n.又二项式系数和为2n，所以4n2n＝2n＝32，解得n＝5.所以二项展开式的通项Tk＋1＝C5kx5-k3所以x2的系数为C5232系数和问题常用“赋值法”求解赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和问题的关键点如下：(1)赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有－1，0，1等．(2)求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．(3)求值，根据题意，得出指定项的系数和．二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即Cnk增减性二项式系数C当k＜n+12(n∈N*)时，是递增当k＞n+12(n∈N*)时，是递减最大值当n为偶数时，中间的一项Cn当n为奇数时，中间的两项Cnn-[典例5]已知(3x＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在2x－8064－15360x4[由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，2x-1x10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C105设第k＋1项的系数的绝对值最大，则Tk＋1＝C10k·(2x)10-k·-1xk＝-1kC10令C10k·即11-k≥2k，2k+1∵k∈Z，∴k＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝-C103·27·x4＝－15360求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步，求系数的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”三者中的哪一个；第二步，若是求二项式系数最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．若是求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组Ak跟进训练2(1)(2024·云南大理统考模拟)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝()A．0B．4C．8D．32(2)(2023·四川雅安一模)(1－x)10的展开式中，系数最小的项是()A．第4项 B．第5项C．第6项 D．第7项(1)A(2)C[(1)依题意，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－1＋1)3·(－1＋2)2＝0.故选A.(2)依题意，(1－x)10的展开式通项为Tk＋1＝C10k(－x)k＝-1kC10kxk(0≤k≤当k为奇数时，-1kC10所以当k＝5时，-考点三二项式定理的应用[典例6](1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12(2)1.026的近似值(精确到0.01)为()A．1.12B．1.13C．1.14D．1.20(1)B(2)B[(1)因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512023＋a＝(52－1)2023＋a＝C2023C20232023＋a，因为512023＋所以-C20232023＋a＝－1＋a(2)1.026＝(1＋0.02)6＝1+C61×0.02+C62二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟进训练3C271＋C272＋C277[C271＋C272＋…＋C2727＝2＝C90×99－C91×98＋…＋C＝9(C90×98－C91×97＋＝9(C90×98－C91×97＋显然上式括号内的数是正整数，故除以9的余数是7.]课后习题(五十一)二项式定理1．(北师大版选择性必修第一册P176练习T2改编)x-A．240B．－240C．192D．－192A[x-2x6的展开式的通项为Tk＋1＝C6k·x6-k·-2x令6－32k＝0得k＝4，∴T5＝C64·2．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T5(3)改编)2x-A．－40B．－40x2C．40D．40x2B[2x-134x6的展开式的中间项为C63(2x3．(人教B版选择性必修第二册P35习题3－3BT2改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为()A．252x3B．210x4C．252x5D．210x6C[由题意可得，二项式的展开式满足Tk＋1＝Cnkxk，且有Cn3＝Cn7，因此n＝10.故二项式系数最大的项为C4．(人教A版选择性必修第三册P34习题6.3T2改编)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．－15[(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为5x2－20x2＝－15x2.故x2的系数为－15.]5．(2023·辽宁葫芦岛二模)1-yx(2x＋y)8的展开式中x2A．－336B．－28C．56D．112A[1-yx(2x＋y)8＝(2x＋y)8－yx(2x＋(2x＋y)8展开式的通项为Tk＋1＝C8k(2x)8-ky将含x2y6项记为S，则S＝C862x2y6-yx·C852x3故含x2y6项的系数为－336，故选A.]6．(2023·辽宁沈阳三模)(2x－3)21-1x6A．430B．435C．245D．240B[(2x－3)21-1x6＝(4x2－121-1x6展开式的通项为Tk＋1＝C6k-1令－k＝－4，则k＝4，令－k＝－3，则k＝3，令－k＝－2，则k＝2，所以x-2项的系数为4×7．(2024·浙江联考模拟)如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则nmA．－15B．－20C．15D．20C[设球的半径为R，则球的体积为43πR3，圆柱的底面积为πR2，高为2R故圆柱的体积为πR2·2R＝2πR3，故m＝2πR343πR3＝32，球的表面积为4πR2，圆柱的表面积为2πR2＋2πR·2R＝6πR2，故n＝6πR24πR2＝32，故nm＝1，则x-1令6－3k＝0，解得k＝2，故常数项为T3＝-18．(2023·河北邯郸统考三模)如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前30项的和为()A．680B．679C．816D．815D[根据“杨辉三角”，得1＋2＋3＋3＋6＋4＋10＋5＋…＝C22＋C21＋C32＋C31＋C4因此，此数列的前30项和为：S30＝C22＋C21＋C32＋C31＋C42＋C41＋＋C51＋…＋C162＋C161＝(C22＋C21)＋(C32＋C31＝(C33＋C32)＋C42＋C52＋C62＋…＋C172－C33＝C43＋C42＋C52＋C62＋…＋9．(2023·山东烟台三模)已知x-4[因为x-12xn的展开式中共有7项，所以n＝6，则通项Tk＋1＝C6k当k＝0，2，4，6时，6－3k2∈Z10．(2024·江西校联考模拟预测)已知多项式(x＋1)5－(x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则x3的系数为__________．22[(x＋1)5的展开式中含有x3的项为C52×x3＝10x(x－3)4的展开式中含有x3的项为C41×x3×(－3)＝－12x3,10x3－(－12x3)＝22x3，故x故答案为：22.]11．(2023·福建龙岩二模)已知(a＋x)(1＋x)6的展开式中x2的系数为21，则a＝________．1[由二项式定理可知(1＋x)6的展开式中含x，x2的项分别为C61×15·x＝6x，C62×14·故(a＋x)(1＋x)6的展开式中含x2的项为a×15x2＋x·6x＝(15a＋6)x2，即15a＋6＝21⇒a＝1.故答案为：1.]12．(2023·宁夏石嘴山一模)已知(x－1)4(x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则a2＋a4＋a6＋a8＝________．－24[令x＝1，则0＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－1，则16＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，两式相加可得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝16⇒a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝8，令x＝0，a0＝32，所以a2＋a4＋a6＋a8＝8－32＝－24，故答案为：－24.]阶段提能(十七)排列、组合、二项式定理1．(北师大版选择性必修第一册P169习题5－2B组T2)甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，产生了第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩．回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”．试仅从这个回答中分析5人的名次排列共有多少种情况．[解]甲、乙都不是冠军，因此冠军只能从丙、丁、戊这三名学生中选1名，有A31种选法；乙不是最差的，即乙不是第五名，则第五名只能从除去冠军和乙外的其余三名学生中选1名，有A31种选法，第二名到第四名任排，有2．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13)从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛．(1)如果4人中男生、女生各选2人，那么有多少种选法？(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？(4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？[解](1)从5名男生和4名女生中选出4人参加创新大赛，则4人中男生和女生各选2人，共有C52·(2)除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，则男生中的甲和女生中的乙必须在内有C7(3)男生中的甲和女生中的乙不在内的情况，共有C7则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内有C94－(4)如果4人中必须既有男生又有女生，可以按含有女生的人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女，则4人中必须既有男生又有女生有C51C433．(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T5)(1)求(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项；(2)求9x+1(3)已知(1＋x)n的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n；(4)求(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中x4的系数；(5)求(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数．[解](1)依题意，第3项是含x2的项，其系数是C4232＋C41C51∴展开式中按x的升幂排列的第3项为－26x2.(2)由通项Tk＋1＝C18k(9x)18-＝C18令18－32k＝0，得k∴常数项为T13＝18564.(3)由题意得2Cn9得n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23.(4)原式＝(1－x3)(1－x)9＝(1-∴x4的系数＝C9(5)原式＝[(x2＋x)＋y]5，∴通项Tk＋1＝C5k(x2＋x)5-ky令k＝2，∴5－k＝3，∴T3＝C52(x2＋x)3y又(x2＋x)3的展开式的通项为T′r＋1＝C3r(x2)3-rxr＝C3r令6－r＝5，∴r＝1，∴T′2＝C31x6-1＝C3∴(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为C54．(人教B版选择性必修第二册P35习题3－3BT4)已知13[解]由题意知Cn0+Cn2∴n＝11，∴展开式中二项式系数最大的项为T6和T7.∵T6＝C115·1T7＝C1161∴展开式中二项式系数最大的项为－462x-4和462x5．(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式有()A．12种 B．24种C．36种 D．48种B[先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，则有A26．(2023·新高考Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有()A．C40045·C200C．C40030·C200D[由题意，初中部和高中部学生人数之比为400200＝21，所以抽取的60名学生中初中部应有60×23＝40(人)，高中部应有60×17．(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有()A．120种 B．60种C．30种 D．20种B[先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C51种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星