高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第3课时不等式的性质与一元二次不等式学案

第3课时不等式的性质与一元二次不等式[考试要求]1．理解用作差法比较两个实数大小的理论依据．2．理解不等式的概念．3．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．4．了解一元二次不等式的现实意义．5．能借助一元二次函数求解一元二次不等式．考点一两个实数(式)比较大小的方法(1)作差法a-b>(2)作商法a(3)单调性法，适用于指数式、对数式的大小比较．(4)中间值法，常用的中间值有0，1，－1等．(5)特值法，此方法可在选择题中使用．[典例1](1)(2024·北京汇文中学校考模拟预测)如果a>b>0，那么下列不等式一定成立的是()A．|a|<|b| B．1a>C．a－1a<b－1b D．lna(2)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________．(1)D(2)aabb>abba[(1)因为a>b>0，所以|a|>|b|>0，故A错误；因为a>b>0，所以1a<1因为a>b>0，所以a－b>0，1ab故a－1a－b-1b＝a－b＋a-bab＝(a－所以a－1a>b－1因为a>b>0，且y＝lnx在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以lna>lnb，故D正确．故选D．(2)因为aabbab又a>b>0，故ab>1，a－b所以aba-b>1，即又abba>0，所以aabb>abba．]比较大小的问题，可以取满足题意的特值代入各项进行检验，如本例(1)．跟进训练1(2024·北京101中学校考阶段练习)已知a<b<0<c，则下列不等式正确的是()A．ba>B．a2>c2C．logc(－a)>logc(－b)D．12aD[A选项：ba－ab＝b2-a2ab，又a<b<0，则b2－a2<0，ab>0，故bB选项：当a＝－1，c＝2时，a2>c2不成立，错误；C选项：a<b<0，即－a>－b>0，当0<c<1时，logc(－a)<logc(－b)，错误；D选项：由a<0<c，则12a>1>故选D．]考点二不等式的概念和性质1．不等式的性质性质1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b．→对称性性质2如果a>b，b>c，那么a>c．→传递性性质3如果a>b，那么a＋c>b＋c．→可加性性质4如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc．→可乘性性质5如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d．→同向可加性性质6如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd．→同向同正可乘性性质7如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．→正数的可乘方性2．不等式的倒数和分数性质(1)倒数性质①a>b，ab>0⇒1a<1b；②a<0<b⇒1a(2)分数性质若a>b>0，m>0，则①真分数性质：ba<b+ma+m；ba>b-ma-m(②假分数性质：ab>a+mb+m；ab<a-mb-m([典例2](1)(2024·湖北武汉模拟)下列不等式正确的是()A．若ac2≥bc2，则a≥bB．若ca>cb，则aC．若a＋b>0，c－b>0，则a>cD．若a>0，b>0，m>0，且a<b，则a+mb+m>(2)已知2≤2x＋3y≤6，－3≤5x－6y≤9，则z＝11x＋3y的取值范围是()A．z│53C．z│3≤(1)D(2)D[(1)对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误；对于B，取a＝1，c＝1，b＝－1，则满足ca>cb，但不满足a<对于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，则满足a＋b>0，c－b>0，但不满足a>c，故C错误；对于D，若a>0，b>0，m>0，且a<b，则b－a>0，所以a+mb+m－ab＝ba+m-ab+mbb+m(2)设11x＋3y＝m(2x＋3y)＋n(5x－6y)，则11x＋3y＝(2m＋5n)x＋(3m－6n)y，所以2m+5于是11x＋3y＝3(2x＋3y)＋(5x－6y)又6≤3(2所以3≤3(2故{z|3故选D．]本例(2)中求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“待定系数法”求得整体范围．跟进训练2已知a>b>c>0，下列结论正确的是()A．2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c)C．1a-c>1b-c D．(a－c)3>(b－cD[∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误；取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B错误；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，∴1a-c<1b-c，(a－c)3>(b－c)考点三一元二次不等式的解法1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}xRax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2．分式不等式与整式不等式(1)fxgx>0(<0)⇔f(x)g(2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g([典例3](1)若集合M＝{x|x-1<2}，N＝{x|2x2－5x＋2≥0}，则M∩NA．xB．{x|1≤x<2}C．{x|x≤1D．{x|2≤x<5}(2)已知不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式ax2＋(b－1)x－3>0的解集为()A．R B．∅C．{x|－1<x<3} D．{x|x<－1，或x>3}(1)D(2)D[(1)M＝{x│x-1<2}＝{x|1≤x(2)因为不等式ax2＋bx－2<0的解集为{x|－1<x<2}，故a>0，且x＝－1与x＝2为方程ax2＋bx－2＝0的两根．故-ba故不等式ax2＋(b－1)x－3>0，即x2－2x－3>0，故(x－3)(x＋1)>0，解得x<－1，或x>3．故选D．]在本例(2)中，应注意以下两点：(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根x1，x2是相应一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．(2)若不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1，或x>x2}，或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，则x1，x2是相应二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，且根与系数的关系为x1＋x2＝－ba，x1x2＝c跟进训练3(多选)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|m<x<n}，其中m>0，则以下选项正确的有()A．a<0B．c>0C．cx2＋bx＋a>0的解集为xD．cx2＋bx＋a>0的解集为xAC[因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|m<x<n}，其中m>0，所以a<0，m，n是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以A正确；所以m+n=-ba因为m>0，m<n，所以n>0，又由于a<0，所以c＝mna<0，所以B错误；所以cx2＋bx＋a>0可化为mnax2－(m＋n)ax＋a>0，即mnx2－(m＋n)x＋1<0，即(mx－1)(nx－1)<0，因为n>m>0，所以1n<1所以不等式cx2＋bx＋a>0的解集为x│所以C正确，D错误．故选AC．]课后习题(三)不等式的性质与一元二次不等式1．(人教A版必修第一册P55习题2.3T1改编)不等式2＋x－x2<0的解集为()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－2，1)C．(－1，2) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)A[不等式可变形为x2－x－2>0，即(x－2)(x＋1)>0，解得x<－1或x>2，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故选A．]2．(多选)(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知bg糖水中含有ag糖(b>a>0)，若再添加mg糖(m>0)完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有()A．ab<B．a+mb+m<C．(a＋2m)(b＋m)<(a＋m)(b＋2m)D．23b-AB[对于A，由题意可知ab<a+m对于B，因为m<2m，所以a+mb+m<a+m+2m对于C，a+mb+m<a+m+mb+m+m＝a+2mb+2m，即(a＋m)(b＋2m)<(a对于D，取b＝1，a＝12，则231-1D错误．故选AB．]3．(湘教版必修第一册P59习题2.3T11改编)若关于x的不等式ax2＋bx＋2<0的解集为(1，2)，则关于x的不等式bx2＋ax＋2<0的解集为()A．(1，2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．-23，1 D．-∞，D[由ax2＋bx＋2<0的解集为(1，2)，可得a+b+2=则bx2＋ax＋2<0即为－3x2＋x＋2<0，即3x2－x－2>0，解得-∞，-234．(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b的取值范围是________．(－6，5)[∵－3<b<5，∴－5<－b<3，又－1<a<2，∴－6<a－b<5．]5．(2023·宜春市高三一模)设集合A＝{x|y＝-x2+3x-2}，B＝{x|log2(A．{x|1≤x≤2} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1<x≤2} D．{x|2<x≤3}C[由－x2＋3x－2＝－(x－1)(x－2)≥0，可得1由B＝{x|0<x－1<2}＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．故选C．]6．(2024·重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知a－b∈[5，27]，a＋b∈[6，30]，则7a－5b的取值范围是()A．[－24，192] B．[－24，252]C．[36，252] D．[36，192]D[设7a－5b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，所以m+n=7，m-n=所以7a－5b＝6(a－b)＋(a＋b)．又a－b∈[5，27]，a＋b∈[6，30]，所以7a－5b＝6(a－b)＋(a＋b)∈[36，192]．故选D．]7．(2024·黑龙江省佳木斯高三阶段练习)不等式2x-A．xB．xC．xD．xA[因为不等式2x-13x+1所以x>12或x<－1故选A．]8．(多选)(2024·湖南邵阳二中段考)如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列结论一定正确的是()A．ab>ac B．cb2>ab2C．c(b－a)>0 D．ac(a－c)<0ACD[由c<b<a，且ac<0，得a>0，c<0．对于A，由c<b，a>0得ac<ab，故A正确；对于B，取c＝－1，b＝0，a＝1，显然B不正确；对于C，b－a<0，c<0，故c(b－a)>0，故C正确；对于D，ac<0，a－c>0，故ac(a－c)<0，故D正确．故选ACD．]9．(2024·山东临沂模拟)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为()ABCDB[∵不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，∴a<0，方程ax2－x－c＝0的两个根为－2和1，则－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，∴a＝－1，∴f(x)＝ax2－x－c＝－x2－x＋2，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，其图象开口向下，与x轴交于点(－1，0)，(2，0)．故选B．]10．(2024·广东深圳外国语模拟)若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是()A．1a<1b B．a2>C．ac2+1>bc2+1 D．C[当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但1a>1b，a2<b2，排除A，B；1c2+1>0，a>b，由不等式的性质得ac2+1>bc11．(2024·河北石家庄阶段练习)已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2．若x1，x2满足x12+x22＝16＋xA．－2或6 B．6C．－2 D．5C[∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，解得∴实数k的取值范围为k≤5根据根与系数的关系可得x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1，∵x12+x22＝(x1＋x2)2－2x1x∴(1－2k)2－2(k2－1)＝16＋(k