高三数学一轮复习第二章函数培优专题1函数性质的综合应用学案

函数性质的综合应用[培优技法]1．周期性与奇偶性、单调性相结合的问题以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等为载体，常考查函数的函数值与最值、比较大小、解不等式等问题，常先利用奇偶性推导出周期性，然后将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解，综合性比较强．2．把握函数的周期性与对称性的关系(1)如果f(x)的图象关于点(a，0)对称，且关于直线x＝b(a≠b)对称，则函数f(x)的周期T＝4|a－b|．(类比y＝sinx的图象)(2)如果f(x)的图象关于点(a，0)对称，且关于点(b，0)(a≠b)对称，则函数f(x)的周期T＝2|a－b|．(类比y＝sinx的图象)(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与直线x＝b(a≠b)对称，那么函数的周期T＝2|a－b|．(类比y＝sinx的图象)[培优案例][例1](2024·云南高三校联考阶段练习)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2＋2x，则f(2024)＝________．0[因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，则f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为T＝2，所以f(2024)＝f(0＋2×1012)＝f(0)＝0．故答案为0．][例2](2024·江苏连云港校考模拟预测)已知f(x)是定义在[－5，5]上的偶函数，当－5≤x≤0时，f(x)的图象如图所示，则不等式fxA．(－π，－2)∪(0，2)∪(π，5]B．(－π，－2)∪(π，5]C．[－5，－π)∪(－2，0)∪(2，π)D．[－5，－2)∪(π，5]C[∵f(x)为定义在[－5，5]上的偶函数，∴f(x)图象关于y轴对称，∴当x∈[－5，－2)∪(2，5]时，f(x)>0；当x∈(－2，2)时，f(x)<0；若fxsinx>0，则当x∈[－5，－π)∪(2，π)时，fx当x∈(－2，0)时，fx∴fxsinx>0的解集为[－5，－π)∪(－故选C．][例3](2024年1月九省联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f12≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xyA．f-1B．f12C．函数fx-1D．函数fx+1ABD[令x＝12，y＝0，则有f12＋f12×f0＝又f12≠0，故1＋f0＝0，即f0令x＝12，y＝－12，则有f12-12＋f12·f即f0＋f12f-12＝－1，由f又f12≠0，故f-令y＝－12，则有fx-12＋fxf-即fx-12＝－2x，故函数f有fx+1-12＝－2即fx+12＝－2即函数fx+1令x＝1，有f12＝－2×故B正确，C错误，D正确．故选ABD．]培优训练(一)函数性质的综合应用1．(2024·湖北武汉模拟)已知函数f(x－1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[－1，1]时，f(x)＝ax－1，则f(2024)＝()A．－1B．－2C．0D．2A[根据题意，函数f(x－1)(x∈R)是偶函数，则函数f(x)的对称轴为直线x＝－1，则有f(x)＝f(－2－x)，又由函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，则f(x)＝－f(2－x)，则有f(－2－x)＝－f(2－x)，则f(x＋4)＝－f(x)，则有f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数，则f(2024)＝f(0＋253×8)＝f(0)＝－1．故选A．]2．(2024·河北邯郸一模)已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)＜f(－7)的解集为()A．(－∞，3) B．(3，＋∞)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)A[因为f(x－1)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称．因为f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减．因为f(1－2x)＜f(－7)＝f(5)，所以－7＜1－2x＜5，解得x＜3．故选A．]3．(2024·江苏苏州期末)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不间断，有下列四个命题：甲：f(x)是奇函数；乙：f(x)的图象关于点(2，0)对称；丙：f(22)＝0；丁：f(x＋6)＝f(x)．如果有且仅有一个是假命题，则该命题是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁D[甲正确时，f(x)＝－f(－x)；乙正确时，f(x)＝－f(4－x)，若甲、乙都正确，则f(x)＝－f(－x)＝f(4＋x)，则周期T＝4，则由f(2)＝－f(－2)，f(2)＝f(－2)，可得f(2)＝0，则f(22)＝f(2)＝0，故丙正确；丁正确时，则f(x)的周期为6，这与上面得到的周期T＝4互相矛盾．由四个命题有且仅有一个是假命题，则丁错误．故选D．]4．(2024·湖北统考模拟预测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，有fx1-fx2x1-xA．(－1，1)∪(1，＋∞)B．(－1，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)A[已知f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)＝f(－x)，又对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有fx所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，又f(1)＝0，所以f(－1)＝f(1)＝0，根据函数f(x)的单调性可知：(x－1)f(x)>0等价为x-1>即x>1，x>解得x>1或－1<x<1，即不等式的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)．故选A．]5．(2024·辽宁六校联考)若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，在区间(0，1)上，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则下列说法正确的是()A．函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称B．函数f(x)的图象关于直线x＝2成轴对称C．在区间(2，3)上，f(x)单调递减D．f-72>C[f(4－x)＝f(2－(x－2))＝f(x－2)＝－f(2－x)＝－f(x)，即f(4－x)＋f(x)＝0，故f(x)关于(2，0)成中心对称，B不正确；∵f(2－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝1成轴对称，A错误；根据题意可得，f(x)在(0，1)内单调递增，∵f(x)的图象关于直线x＝1成轴对称，关于点(2，0)成中心对称，则f(x)在(2，3)内单调递减，C正确；又∵f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，则f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期为4，则f-72＝f12<6．(2024·辽阳模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在[0，2]上单调递增，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为()A．8 B．－8C．0 D．－4B[因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋4)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为8，又因为f(x)是奇函数，f(x－4)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－4)＝f(4－x)，令x＝2＋x，则f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因为f(x)是奇函数，在[0，2]上单调递增，作出函数的大致图象如图所示，由图象可知f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上的四个不同的根x1，x2，x3，x4，两个关于直线x＝－6对称，两个关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－6×2＋2×2＝－8．]7．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7．若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则k=A．－21 B．－22C．－23 D．－24D[因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2－x)＝g(x＋2)，因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)，因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10．因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3．因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7，又因为f(x)＋g(2－x)＝5，联立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12，所以y＝g(x)的图象关于点(3，6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g(3)＝6，因为f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1．所以k=＝f(1)＋f(2)＋[f(3)＋f(5)＋…＋f(21)]＋[f(4)＋f(6)＋…＋f(22)]＝－1－3－10－10＝－24．故选D．]8．(多选)(2024·山西大同模拟)奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域均为R，且满足f(x)－g(x)＝2x，则下列判断正确的是()A．f(x)＋g(x)≥0B．f(x)＝2C．f(x)在R上单调递增D．g(x)的值域为(－∞，－1]BCD[因为f(x)－g(x)＝2x，①所以f(－x)－g(－x)＝2－x．因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以－f(x)－g(x)＝2－x，②由①②得，f(x)＝2x-2-x2，g则f(x)＋g(x)＝－2－x<0，故A错误，B，C正确．因为g(x)＝－2x+2所以D正确．故选BCD．]9．(多选)(2024·浙江大学附属中学期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x＋1)为偶函数，当x∈(0，1]时，f(x)＝－x2，下列结论正确的有()A．函数f(x)的周期是4B．直线x＝2023是函数f(x)的一条对称轴C．f(x)在[2022，2023]上单调递减D．f(2022)＋f(2023)＝1ABD[对于A，因为函数f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则f(x＋2)＝f(－(x＋1)＋1)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x),所以f(x)是周期为4的函数，故A正确；因为f(x)关于直线x＝1对称，且为奇函数，所以f(x)关于直线x＝－1对称，又f(x)是周期为4的函数，所以f(x)关于直线x＝3对称，因为2023＝505×4＋3，所以直线x＝2023是函数f(x)的一条对称轴，故B正确；由f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，当x∈(0，1]时，f(x)＝－x2，可得当x∈[0，1]时，f(x)＝－x2，令x∈[2，3]，则x－2∈[0，1]，所以f(x)＝－f(x－2)＝(x－2)2，此时f(x)单调递增，因为2022＝505×4＋2，所以f(x)在[2022，2023]上的单调性相当于f(x)在[2，3]上的单调性，故此时单调递增，故C错误；f(2022)＝f(2)＝0，f(2023)＝f(3)＝1，所以f(2022)＋f(2023)＝1，故D正确．故选ABD．]10．(多选)(2024·江苏连云港期中)已知函数f(x)的定义域是R，函数f(x)是偶函数，f(2x－1)＋1是奇函数，则()A．f(0)＝－1B．f(1)＝－1C．4是函数f(x)的一个周期D．函数f(x)的图象关于直线x＝9对称BC[因为f(2x－1)＋1为奇函数，所以f(－2x－1)＋1＝－f2整理得，f(－2x－1)＋f(2x－1)＝－2，令x＝0得，2f(－1)＝－2，解得f(1)＝－1，B正确；将2x替换为x＋1，得f(－x－1－1)＋f(x＋1－1)＝－2，即f(－x－2)＋f(x)＝－2，①又因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，将x替换为x＋2，得f(－x－2)＝f(x＋2)，②由①②得：f(x＋2)＋f(x)＝－2，③则f(x＋4)＋f(x＋2)＝－2，④③－④得，f(x＋4)＝f(x)，故4是函数f(x)的一个周期，C正确；因为f(x＋2)＋f(x)＝－2，所以f(x＋2)＋f(－x)＝－2，故f(x)关于(1，－1)中心对称，又因为4是函数f(x)的一个周期，所以f(9)＝f(2×4＋1)＝f(1)＝－1，故f(x)关于(9，－1)中心对称，D错误；因为f(x)关于(1，－1)中心对称，故(0，f(0))与(2，f(2))关于(1，－1)中心对称，无法得到f(0)＝－1(注意f(0)的值无法确定)，A错误．故选BC．]11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2025)＝________．0[由题知f(－x)＝－f(x)，可知函数为奇函数，f(0)＝0，用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以T＝6，所以f(2025)＝f(337×6＋3)＝f(3)．因为f(3－x)＝f(x)，所以f(3)＝f(0)＝0．所以f(2025)＝0．]12．(2024·四川雅安统考一模)已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，y＝f(x)＋ex为偶函数，y＝f(x)－2ex为奇函数，则f(x)的最小值为__________．3[因为y＝f(x)＋ex是偶函数，所以f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，因为y＝f(x)－2ex是奇函数，所以f(－x)－2e－x＝－f(x)＋2ex，两式联立解得f(x)＝12ex＋32e－由基本不等式得f(x)＝12ex＋32e－x≥12×2ex·3e-x＝3，当且仅当ex＝3e－x，即x故答案为3．]阶段提能(三)函数的概念与基本性质1．(人教A版必修第一册P74习题3.1T16)给定数集A＝R，B＝(－∞，0]，方程u2＋2v＝0，①(1)任给u∈A，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断v＝f(u)是否为函数；(2)任给v∈B，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断u＝g(v)是否为函数．[解](1)由u∈R，对应关系f使方程①的解v与u对应v＝－12u2，每一个u∈R，都有唯一的v≤0与之对应，故v＝f(u(2)因为v∈B＝(－∞，0]，由u2＋2v＝0可得u2＝－2v≥0，此时每一个v(v＝0除外)，都有2个不同的u与之对应，故u＝g(v)不是函数．2．(湘教版必修第一册P82例3)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上单调递减，求实数a的取值范围．[解]因为二次函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的图象的对称轴为直线x＝1－a，且开口向上，所以函数在区间(－∞，1－a]上单调递减，又已知该函数在区间(－∞，4)上单调递减，则1－a≥4，即故实数a的取值范围为(－∞，－3]．3．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．(1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心；(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．[解](1)∵f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2，∴y＝f(x＋1)＋2＝x3－3x．设g(x)＝x3－3x，则g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－g(x)．∴g(x)为奇函数．∴f(x)＝x3－3x2的图象关于点(1，－2)对称．即f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心是点(1，－2)．(2)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．4．(人教A版必修第一册P101复习参考题3T12)试讨论函数y＝x－1x[解]定义域为{x|x≠0}，值域为R．∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则y1－y2＝x1－1x1－x2∵x1，x2∈(－∞，0)，∴x1x2>0，x1－x2<0，x1x2＋1>0，∴y1－y2<0，即y1<y2．∴y＝x－1x在(－∞∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则y1－y2＝x1∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，∴x1x2>0，x1x2＋1>0，x1－x2<0．∴y1－y2<0，即y1<y2．∴y＝x－1x在(0，＋∞)上设f(x)＝y＝x－1x∵f(－x)＝－x－1-x＝－x-1x＝－f∴f(x)＝y＝x－1xy＝x－1x5．(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f-13＝13，则A．－53 B．－C．13 D．C[因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f(1＋(1＋x))＝f(－(1＋x))＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，f53＝f53-2＝f6．(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]D[法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x＞0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x＜0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x＜0，∴－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D.法二：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)＜0，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.]7．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x+1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，yi=A．0 B．mC．2m D．4mB[因为f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2．因为-x+x2＝0，f-x+fx2＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称．函数y＝x+1x＝1＋1x，故其图象也关于点(0，1)对称．所以函数y＝x+1x与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0，1)对称，所以xi＝0，＝28．(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝x3－1x3，则f(A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减A[函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝(－x)3－1-x3＝－x3＋1x3＝－x3-1x3＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C，D．因为函数y＝x3，y＝－1x3在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x3－1x3在(0，＋∞)上单调递增，排除B(B选项的另一种解法：当x∈(0，＋∞)时，由f(x)＝x3－1x3，得f′(x)＝3x9．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则()A．f-12＝0 B．C．f(2)＝0 D．f(4)＝0B[法一：