专题1.8概率精讲精练

一、确定事件和随机事件1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。二、频率与概率1.概率的概念一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).2.频率与概率的关系当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.学科+网三、概率的计算1.公式法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝nm2.列表法当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.3.画树状图当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.4.几何概型事件A发生的面积一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的事件A发生的面积计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.5.游戏公平性判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.【考点1】随机事件【例1】（扬州）下列生活中的事件，属于不可能事件的是()A．3天内将下雨B．打开电视，正在播新闻C．买一张电影票，座位号是偶数号D．没有水分，种发芽【变式1.1】（东湖区模拟）掷一枚质地均匀的硬币6次，下列说法正确的是A．必有3次正面朝上B．可能有3次正面朝上C．至少有1次正面朝上D．不可能有6次正面朝上【变式1.2】（饶平县校级期末）下列事件中，属于必然事件的为A．打开电视机，正在播放广告B．任意画一个三角形，它的内角和等于180°C．掷一枚硬币，正面朝上D．在只有红球的盒里摸到白球【变式1.3】（越秀区模拟）在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是A．这两个图形都是轴对称图形B．这两个图形都不是轴对称图形C．这两个图形都是中心对称图形D．这两个图形都不是中心对称图形【考点2】事件的可能性【例2】（徐汇区期末）从标有1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，可能性最大的是A．卡片上的数字是合数B．卡片上的数字是2的倍数C．卡片上的数字是素数D．卡片上的数字是3的倍数【变式2.1】（瑞安市期中）某班有25名男生和20名女生，现随机抽签确定一名学生做代表参加学代会，则下列选项中说法正确的是A．男、女生做代表的可能性一样大B．男生做代表的可能性较大C．女生做代表的可能性较大D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定【变式2.2】（利川市期末）在一次比赛前，教练预言说：“这场比赛我们队有70%的机会获胜”，则下列说法中与“有70%的机会获胜”的意思接近的是A．他这个队赢的可能性较大B．若这两个队打10场，他这个队会赢7场C．若这两个队打100场，他这个队会赢70场D．他这个队必赢【变式2.3】（丰顺县校级月考）宋代陆游所作的哲理诗《冬夜读书示聿》有如下四句：①纸上得来终觉浅；②少壮工夫老始成；③绝知此事要躬行；④古人学问无遗力.这四句诗歌的顺序被打乱了，兰兰想把这几句诗歌调整为正确的顺序，则她第一次就调整正确的可能性【考点3】概率公式【例3】（松山区期末）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是()其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是()【变式3.2】（紫阳县期末）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色．现在要从其余13个白色小方格中任选出一个也涂成灰色，则使整个涂灰部分为轴对称图形的概率是()【变式3.3】（成安县期中）如图所示的是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅲ”所在区域内的概率是()【考点4】几何概率【例4】（玄武区期中）如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为()【变式4.1】（湖口县期中）如图，一个小球在地板上滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是()【变式4.2】（明山区校级月考）如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是()【变式4.3】（南京模拟）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为【考点s】用频率估计概率【例5】（金水区校级期中）一个密闭不透明的盒里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入6个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中66次摸到黑球，估计盒中大约有白球()A．28个B．29个C．30个【变式5.1】（禹州市期末）木箱里装有仅颜色不同的9张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出一张卡片后记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有()【变式5.2】（无为市期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在25%和45%，则口袋中白色球的个数可能是()A．4B．8C【变式5.3】（宛城区期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是()A．从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D．抛掷两枚质地均匀的正六面体骰，向上一面的点数之和超过7【考点6】树状图与列表法求概率【例6】（宜城市期末）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4．先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n.（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【变式6.1】（利川市期末）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，用列表法或画树状图法求下列事件的概率：（1）取出的2个球都是黄球；（2）取出的2个球中1个白球、1个黄球.【变式6.2】（平泉市期末）佳佳和琪琪两位同学玩抽数字游戏，5张卡片上分别写有2，4，6，8，x这5个数字，其中两张卡片上的数字是相同的．从中随机抽出一张，已知P(抽到数字6的卡片)=.（1）求这5张卡片上的数字的众数.（2）若佳佳已抽走一张数字2的卡片，琪琪准备从剩余4张卡片中抽出一张.①所剩的4张卡片上数字的中位数与原来5张卡片上数字的中位数是否相同？并简要说明理由.②琪琪先随机抽出一张卡片后放回，之后又随机抽出1张，用列表法（或树状图）求琪琪两次都抽到数字6的概率.【变式6.3】（福鼎市期中）某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图.请根据以上信息，回答下列问题：（1）杨老师采用的调查方式是（填“普查”或“抽样调查”（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数.（3）如果全班征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别不同的概率.【考点7】概率与函数方程综合题【例7】（兰州期中）已知a，b可以取﹣21，1，2中的任意一个值（a≠b则直线y＝ax+b经过第一、二、四象限的概率是.【变式8.1】（金牛区校级期中）从﹣1，0，1，2，3这五个数中，随机取出一个数，记为a，那么使关于x的方程=1有解，且使关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有两个不相等的实数根的概率为.【变式7.2】（金牛区校级期中）有五张大小形状相同的卡片，分别写有1～5这五个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则a的值使得关于x的分式方程有整数解的概率为.【变式7.3】（武侯区校级期中）有六张正面分别标有数字﹣1，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，则抽取的卡片上的数字为不等式组的解的概率为.【变式7.4】（锦江区校级期中）已知a为正整数，且二次函数y＝x2+（a﹣7）x+3的对称轴在y轴右侧，则a使关于y的分式方程有正整数解的概率为.【变式7.5】（青羊区校级期中）从﹣3，01，2这5个数中任取一个数记为m，则能使二次函数yx﹣2）2+m的顶点在x轴上方的概率为.【考点8】游戏的公平性【例8】（古丈县期末）学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动时间自制A、B两组卡片共5张，A组三张分别写有数字2，4，6，B组两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：（1）随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；（3）如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获胜．请问这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由.【变式8.1】（逊克县期末）淘淘和明明玩骰游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负.（1）请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平.（2）请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则列出一种即可）【变式8.2】（市南区校级二模）青岛二十六中某班举办了一场摸牌游戏，由甲乙同学两人进行．现有5张形状大上完全相同的牌，正面分别标有数字﹣1，2，3，5，6，将四张牌背面朝上，洗匀后放在桌上．甲从中随机抽取一张牌，乙再随机抽取一张.（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若