2024内蒙古中考数学二轮专题复习 二次函数与几何综合题 类型一 线段问题（课件）

二次函数与几何综合题类型一

线段问题满分技法微技能一阶例1如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线第一象限内一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q.例1题图(2)设点P的横坐标为t，则点P的坐标可表示为________________，点Q的坐标可表示为____________，点H的坐标可表示为________；(t，－t2＋2t＋3)(t，－t＋3)(t，0)(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为___________，点C的坐标为__________；(－1，0)(3，0)(0，3)例1题图(3)设点P的横坐标为t，用含t的代数式表示下面的距离：①点P到x轴的距离为_____________；②点P到y轴的距离为______________；③点P到对称轴的距离为____________；④点P到原点O的距离为__________________；⑤PQ的长为___________；

⑥点P到直线BC的距离为______________.－t2＋2t＋3t|t－1|－t2＋3t

例1题图满分技法1.与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下);2.与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左);3.斜线段时，可过线段端点分别作x轴、y轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解．设问突破二阶例2如图，已知二次函数y＝－

x2＋

x＋3的图象与x轴交于A、B两点(点B在点A右侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为M，连接BC.(1)若点P是抛物线在第一象限内一点，过点P作PQ∥y轴交线段BC于点Q，求线段PQ的最大值；【思维教练】设出点P的横坐标，根据垂直于x轴的直线的坐标特征，表示出PQ的长度，利用二次函数性质求线段PQ的最大值．例2题图①

解：(1)设点P的横坐标为p，则点P的坐标为(p，－

p2＋

p＋3)，∵PQ∥y轴，∴点Q的横坐标与点P相同．在函数y＝－

x2＋

x＋3中，令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)．令y＝0，得－

x2＋

x＋3＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)，例2题图①设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(4，0)，C(0，3)代入，

得

解得∴直线BC的解析式为y＝－

x＋3.∴点Q的坐标为(p，－

p＋3)，∴PQ＝－

p2＋

p＋3－(－

p＋3)＝－

p2＋

p＝－(p－2)2＋例2题图①∵－

＜0，0＜p＜4，∴当p＝2时，PQ有最大值，此时的最大值为

；例2题图①(2)如解图，连接PC，PB，由(1)知，PQ＝－(p－2)2＋

，∴S△PCB＝

PQ·OB

＝×[－(p－2)2＋]×4

＝－(p－2)2＋3，(2)若点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PH⊥BC于点H，求线段PH的最大值；【思维教练】方法一：利用△PCB的面积求出线段PH的最大值；方法二：利用相似三角形求出线段PH的最大值．例2题解图例2题图②∵－

＜0，0＜p＜4，∴当p＝2时，S△PCB最大＝3.∵S△PCB＝

BC·PH，且BC＝

＝5，∴×5×PH＝3，解得PH＝

，∴线段PH的最大值为

；例2题解图(3)若点P是对称轴l上一点，是否存在点P，使得PC＋PA最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】将军饮马问题，将两定点同侧转化异侧问题，即可作点A关于对称轴l的对称点，恰好与点B重合，直线BC与对称轴l的交点即为要求的点P.例2题图③(3)存在．由(1)知A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点A关于对称轴l的对称点的坐标为(4，0)，恰好与点B重合，∴直线BC与对称轴的交点即为使得PC＋PA最小时点P的位置．由(1)知，直线BC的解析式为y＝－

x＋3，∴当x＝1时，y＝

，

∴点P的坐标为(1，)；例2题图③(4)要使△BMP的周长最小，由于BM为定值，即使PM＋PB最小即可．如解图，作点M关于y轴的对称点M′，连接BM′交y轴与点P，此时点P满足△BMP的周长最小．(4)若点P是y轴上一点，当以B、M、P为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标；【思维教练】将军饮马问题，当△BMP的周长最小时，由于BM是定值，即求PM＋BM的最小值.例2题解图例2题图④例2题解图二次函数解析式可化为y＝－

(x－1)2＋

，∴M(1，

)，

∴M′(－1，

)．

∵B(4，0)，∴设直线BM′的解析式为y＝kx＋b，将M′(－1，

)，B(4，0)代入，例2题解图得

解得

∴直线BM′的解析式为y＝－

x＋

，当x＝0时，y＝

，∴此时点P的坐标为(0，)．(5)对称轴l上是否存在点P，使点P到直线BC的距离等于点P到点A的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思维教练】用(2)中的方法表示出点P到直线BC的长，再用勾股定理表示出PA的长，列关系式求解.例2题解图(5)存在．如解图，设直线BC与对称轴l交于点E，过点P作PQ⊥BC于点Q，由(1)知，A(－2，0)，直线BC的解析式为y＝－

x＋3，例2题图⑤由(4)知，M(1，)，∴当x＝1时，y＝－

x＋3＝

，∴E(1，)．由(1)知，A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，∴CO＝3，BO＝4，∴BC＝5.在Rt△COB中，sin∠OCB＝

，例2题解图例2题解图∴sin∠PEQ＝设点P的坐标为(1，t)，

∴，解得PQ＝

∵点P到直线BC的距离等于点P到点A的距离，∴PQ＝PA，

∴，解得t＝－4.

∴点P的坐标为(1，－4)．对接中考已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的解析式；解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，

得

解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3;(2)如图①，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连接PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设

＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值；(2)如解图，过点P作PF∥y轴交BC于点F，题图①F设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，C(0，3)代入，

得

解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点P的坐标为(x，－x2＋2x＋3)，则点F的坐标为(x，－x＋3)，∵PF∥y轴，∴△PFE∽△OCE，

∴

∴

∵－1＜0，∴当x＝

时，k取得最大值

，此时点P的坐标为(，)；题图①F(3)如图②，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D.求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值．解图(3)如解图，过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°，∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线对称轴为直线x＝1，∴Q(1，0)，∴OQ＝1，BQ＝OB－OQ＝3－1＝2.∵点C关于x轴的对称点为点D，∴D(0，－3)．题图解图∵B(3，0)，∴OB＝OD＝3.∵∠BOD＝90°，∴DQ＝

，BD＝