2024秋高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.5空间中的距离课后习题新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE11.2.5空间中的距离A级必备学问基础练1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=2,E,F分别是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为()A.1 B.52 C.62 D2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到α的距离为()A.10 B.3 C.83 D.3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是()A.655 B.455 C.24.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A.5 B.8 C.6013 D.5.在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1与底面垂直,上下底面均为矩形,AB=1,AD=AA1=A1B1=2,则下列各棱中,最长的是()A.BB1 B.B1C1 C.CC1 D.DD16.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则BD到平面EFD1B1的距离为.

7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为.

8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,全部棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为.

9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.(1)求点M到直线AC1的距离;(2)求点N到平面MA1C1的距离.B级关键实力提升练10.已知直线l过定点A(2,3,1),且方向向量为s=(0,1,1),则点P(4,3,2)到直线l的距离为()A.322 B.22 C.10211.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为()A.83 B.223 C.4212.已知A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离为.

13.已知P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=6,则B1到平面PAD的距离为.

14.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,CD的中点,求点F到平面A1D1E的距离.15.如图,在五面体ABCDEF中,AB∥DC,∠BAD=π2,CD=AD=2.四边形ABFE为平行四边形,FA⊥平面ABCD,FC=3,ED=7,求直线AB到平面EFCD的距离C级学科素养创新练16.已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,点P到β的距离为3,点Q到α的距离为23,则P,Q两点之间距离的最小值为()A.2 B.2 C.23 D.4

1.2.5空间中的距离1.C以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则点E(1,1,2),F2,1,22,所以|EF|=(1-2)2.D由已知得PA=(1,2,-4),故点P到平面α的距离d=|PA3.B建立空间直角坐标系如图所示,B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2),则BA=(0,2,0),BE=(0,1,2),设∠ABE=θ,则cosθ=|BA·BE||故A到直线BE的距离d=|AB|sinθ=2×254.C(方法一)以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x则C(0,12,0),D1(0,0,5).设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0),BC=(-x,0,0),CD1=(0,-12,5),B1B=设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),由n⊥BC,n⊥CD1,得n·BC=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·CD1=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12所以a=0,b=512c,所以可取n=(0,5,12)又B1B=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为|B1B·n||n|=60所以B1C1到平面A1BCD1的距离为6013(方法二)因为B1C1∥BC,所以B1C1∥平面A1BCD1,从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求.如图,过点B1作B1E⊥A1B于点E.因为BC⊥平面A1ABB1,且B1E⊂平面A1ABB1,所以BC⊥B1E.又BC∩A1B=B,所以B1E⊥平面A1BCD1,B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离.在Rt△A1B1B中,B1E=A1B1·B1BA1B=12×5525.B6.13以D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立如图空间直角坐标系则E12,1,0,F0,所以EF=-12,-12,0,FD1=0,-12,1设平面EFD1B1的一个法向量为n=(x,y,z),所以n令x=-1,则y=1,z=12,所以n=-1,1,12.又DF=0,17.423如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),于是有GF=(1,-1,-1),GD1=(0,-2,1),所以|GF·GD1||GF|=28.217建立如图所示的空间直角坐标系,则A32,12,0,B(0,1,0),B1(0,1,1),则C1A=32,12,-1,C1B1=(0,1,0),C1B=(0,1,-1).设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,1),则有C1A9.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直线AC1的一个单位方向向量为s0=0,22,22,AM=(2,0,1),故点M到直线AC1的距离d=(2)设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),A1C1=(0,2,0),A1M=(2,0,-1),则n·A1C1=0,且n·A1M=0,即(x,y,z)·(0,2,0)=0,且(x,y,z)·(2,0,-1)=0,即y=0,且2x-z=0,取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量,因为N(1,1,0),所以MN=(-1,1,-1),故点10.A因为A(2,3,1),P(4,3,2),所以AP=(2,0,1),则|AP|=5,AP·s|s|=11.A如图,以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),∴AC=(-2,2,0),AD1=(-2,0,4),B1D1=(设平面AD1C的法向量为n=(x,y,z),则n·AC=0,n·AD1=0,即-2x+2y=0,-2x+412.491717设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),由题AB=(2,-2,1),AC=(4,0,6),则n·AB=0,n·AC=0,即2x-2y+z=0,4x13.655以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z设平面PAD的法向量是m=(x,y,z).∵A(0,0,2),D(0,2,2),P(1,1,4),B1(2,0,0),AD=(0,2,0),AP=(1,1,2),∴m取z=1得m=(-2,0,1).∵B1A=(∴B1到平面PAD的距离d=|B14.解以D1为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D1xyz.则F(0,1,2),D1(0,0,0),A1(2,0,0),E(2,2,1),D1A1=(2,0,0),D设n=(x,y,z)为平面A1D1E的一个法向量,则n·D1A1=0,且n·D1E=0,∴2x=0,2x+2y+z=0,则x=0,令z=2,y=-1,得n=(0,-1,2),又15.解如图,以A点为坐标原点,AB,AD,AF的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0).设F(0,0,z0)(z0>0),可得FC=(2,2,由|FC|=3,得22+解得z0=1,则F(0,0,1).因为AB∥DC,CD⊂平面EFCD,所以直线AB到平面EFCD的距离等于点A到平面EFCD的距离.设A点在平面EFCD上的射影为G(x1,y1,z1),则AG=(x1,y1,z1).所以AG·DF=0,且AG而DF=(0,-2,1),CD=(-2,0,0),所以-2y1+z1所以G点在yOz平面上,故G点在FD上,且GF∥又GF=(-x1,-y1,-z1+1),故有y12=-z1+1.④联立①③④,解得G0,25所以|AG|为直线AB到平面EFCD的距离.而AG=0,25,45,所以|AG|=即直线AB到平面EFCD的距离为2516.C作PM⊥β,QN⊥α,垂足分别为M,N.分别在