2021上资格证数学科目三理论精讲基础知识4-1

2020教师资格证数学科目三

基础知识4

回顾

第三节不等式

均值式

-------------不等式的性质

柯西不等式----------------

元一次不等式

第A-A-二------PM-

元二次式\\

--------------＞不等式的解法

分式不等式，—-----

①23

案

二、不等式的解法

>>>A

补充：一元二次不等式的解法2r--4A>0'

判别式4=b2-4acA>04=0A<0

有两个相异实数根有两个相等实数根

一元二次方程ax2+bx+c=O

_-b±yJb2-4QCb没有实数根

(a>0)的根x~x2-、

2a~2a

JIb[

ax2+Zw+c>0(a>0){x|x<XiWtr>巧}〈XXw----->R

一元二次I2a}

不等式的

解集

2

ar+fev+c<0(a>0){x|j|<JC<x2}00

①23

应用

二、不等式的解法

1.分式不等式2.一—一4W

(1)分式不等式的概念

分母里含有未知数的不等式称为分式不等式。

(2)分式不等式的解法

a.将分式不等式(移项，通分)化为标准形式，

b.将分式不等式标准形式转化为整式不等式求解。

①23

应用+简

二、不等式的解法

.二元一次不等式组（线性规划）

2一一+lW

（1）二元一次不等式

・小+a+。0表示直线坊+。=0某一侧的所有点组成的

平面区域（半平面），不含边界直线（虚线）。

•不等式4、+坊+。0所表示的平面区域（半平面）包含边界直

线（实线）。

（2）任取一点，判断正负。

（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个

不等式所表示的平面区域的公共部分。

（4）观察图形，找出直线在可行域上的最值位置，给出答案。

①23

高中的噩梦……一个小综合

【例】(2013年上半年-初级、高级中学-简答题)设平面闭区域。={(x,y)|x-y+l>0,

x+y-340且x+3y-3》0}。求函数/(x,y)=3x-y在。上的最小值，并说明理由。

P23

y<x+1

解：(XJ)是不等式组yW-x+3表示的平面区域，如图所示

11

y2—x+1

；3

设目标函数为z=f(x,y)=3》_歹,即2=3x-y,整理得y=3x-z

其中-z表示直线y=3x-z在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可知,

当直线过点C时z最小，将点C(O,1)代入得1n=3x-y=3xO・l=-l

(P24

一、复数的概念

二、复数的运算第四节复数

三、复数方程

①25

考点：复数的分类

一、复数的概念

曲

（一）复数的定义

形如Q+4（其中Q,b£R）的数叫做复数，其中Q为实部，b为虚部，，为虚数单

位，且规定，2=—1。

（二）复数的分类

有理数

实数（6=0乂

无理数

复数a+6i<

纯虚数（。=0）

虚数（600）

非纯虚数（"0）

(P25

应用

一、复数的概念

（三）复数相等

a+bi=c+dia=c,b=d（a,b,c,dR）

（四）共朝复数

两个复数的实部相等，虚数互为相反数时，这两个复数叫做共辄复数。

zi=a\+b\i,Z2=ai(z41,61,02,62R)

I

a\-Q2且=-bi

©25

应用

一、复数的概念

设z㈤总数蜷）.

22

则复数Z的模目=r=\/a+bo

(P25

应用

二、复数的运算

r=T+-

.加减运算

12f=3+~4”

(a+bi)土(c+小)=(a±c)+(b±d)io

2.乘法运算

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)io

3.除法运算

/,,.、/,「、ac+bdbe-ad.,八、

(a^b\)+(c+M)=—————-iz(c+Mr工0%

c2+J2c2-^d2

4.i的幕运算

i4n=l,i4w+,=i,评+2=-i,i4/3=-i(〃£N)。

$26

应用

三、复数方程

2.—"+T=—(r

实系数方程以、bx+C=O（。H0）在复数范围内求根:

当判别式d>0时，有一对实根，演,=也也二处

了2a

当判别式4=0时，有一对相等的实根，/、=-3；

当判别式J<0时，有一对共血虚根，/、=二"四C二忙

①26

也就这种考法，试一试

【例】（2014年上半年-高级中学-简答题）方程始一1=0的5个根在复平面上是一个正

五边形的顶点。

（1）求方程/+%3+必+工+1=（）四个复根中落在第一象限的那个根，要求用根式表达;（提示:

做变量替换二=x+L）

X

（2）利用（1）的结论，计算单位圆的内接正五边形的边长。

-

①26

【参考答案】（1）/+/+/+工+1=0,等式两边同时除以得到工2+"1+,+4=0,

xX2

即/+2+-4+x+--l=0,也即[（1、，八

+XH-----1=0o

厂xIX）IX）

令2=%+2，贝1J有=2+Z-1=0,解得=二1-W=X+'o

x2x

D，IlA初出2-Jz?-4心入-T用一1+亚42亚+10.

又jr-zr+l=0,解何x=---------,代入z可行•X]=--------F----------1,

2144

—1—\[s^—2.yfs+10.—1—y/5+10.

——:—+----------1，X4=-44i'

~4444

则第一象限的根为西=7+布+也邑义。

44

（P26

解：由Z+/+/+X+1=0等式两边同时除以一得到

x2+x+l+-+-^=0

XX2

x2+2+-^—+x+—-1=Q,即(jr+—)2+(^+—)-1=0,

X2XXX

令Z=X+—则有Z?+z-1=0,解得Z=X+—=—-———(舍)，

xx2

Z=X+—=--------,田X+—二--------

x2x2

得2/-(75-l)x+2=0,设两根为3=a+bi,x2-a-bi(a,bwR)

则由韦达定理得占+莅=2a=二1；■,a=二1；3

一410+2国

占,々二才+b2=I,b=-------

4

亚-1710+275.

X+-------------1

44

也就这种考法，试一试

【例】（2014年上半年-高级中学-简答题）方程好一1=0的5个根在复平面上是一个正

五边形的顶点。

（1）求方程f+R+N+x+JO四个复根中落在第一象限的那个根，要求用根式表达;（提示:

做变量替换二=x+,）

X

（2）利用（1）的结论，计算单位圆的内接正五边形的边长。

①26

(2)由方程x5-l=0得x5-1=(x-1)(x4+xi+x2-^-x+1)=0,可得x^x^+x^x+i=0或

工5二1。

在复平面内建立直角坐标系，其中单位圆的方程为炉+产=1。令其内接正五边形过点

(1,0),设其余四个顶点在单位圆上且它们的坐标满足*4y=1。由第(1)问验证可知，

工5一1二。的五个根均在单位圆上，且圆西|二k5'2|二卜闯二|》3工4|二卜4々|，则单位圆的内接

正五边形的边长为第一象限的点与(1,0)的距离，为」上旦

总结

分类

-------复数的概念

共磔数-------------

第四节

公式0复教方程

①27

一、向量的基本概念第五节

平面向量

二、向量的运算

(P28

认识

一、向量的基本概念

(-)向量的定义

既有大小又有方向的量叫做向量。向量包含两个要素：大小和方向。

注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段,

为什么？(向量可以平移)

(P28

（二）向量的表示方法认识

1.几何表示法

用带箭头的有向线段表示，如薪，注意起点在前，终点在后。

2.符号表示法

用一个小写的英文字母表示，如。，'c等。

3.坐标表示法

在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，/为基底，则

平面内的任一向量〃可表示为

：a=xi^yj=（x,y）,；

称（x，y）为向量。的坐标，〃=（x，y）叫做向量〃的坐标表示。如果向量的起点在原点，那

么向量的坐标与向量的终点坐标相同。（p2g

认识

（三）常见向量

1.零向量

长度为。的向量，记作0。

注意：零向量的方向是任意的。

2.单位向量

长度为1个单位长度的向量。注意：二就是单位向量。

同

3.相等向量

长度相等且方向相同的向量，相等向量具有传递性。

4.平行向量

方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量，记作规定零向量和任何向量

平行。

注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等O-

（P2829

认识

(四)向量与有向线段的区别

(1)向量是自由向量，只有大小和方向两个要素，与起点无关。只要大小和方向相

同，则这两个向量就是相同的向量。

(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素。若起点不同，即使大小和方向相同,

也是不同的有向线段。

①29

二、向量的运算考点：向量运算

（一）几何运算应用

1.向量的加法★

利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，除

此之外，向量加法还可利用“三角形法则"：设AB5,BC=b,那么向量力。叫做。与力

的和，即

a+b=AB+BC=ACO

(P29

（一）几何运算应用

2.向量的减法★

利用“三角形法则”，设方=*AC=b,那么

，———-、

：a-b=AB-AC=CB,：

、z

由减向量的终点指向被减向量的终点。

①29

（一）几何运算应用

3.数量积

对于两个向量〃和从它们的模同，M%它们的夹角6的余弦的乘积称为向量〃和〃

的数量积,记作。•瓦即

✓-----

a*b=|fl||A|cos0o\

几何意义：目任的方向上的投影的乘积。

(P30

（二）坐标运算

|应用|

设。=（X],H），b=（X2,y2）,贝I」：

1.向量的加减运算

：。±力二（再±%2,必±歹2）o：

X______一___________________，

2.实数与向量的积

，————————————————————、

;成=%（%,乂）=（2X],Ayt）o：

、/

若4（%,yx）,B（4,%），则=（x2-xf,y2-yx）,即一个向量的坐标等于表示这

个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。线段46的中点坐标为（土也，乜上2]。

I22）

3.平面向量的数量积

：1仍=工占+少2。：(P30

（二）坐标运算应用

4.向量的模

2I|2?2

。|=&+J：，(1~=阿=X]0

两点间的距离：若4（卬%）,BJ,%），则

AB2+（乃一必,。

(P30

把握公式很关键

【例2】（2014年下半年-初级、高级中学-选择题）设％方是两个不共线的向量，则

+回《〃一力口勺充要条件是（）o

A.0<(a,b)<—B.—<(a,b)<n

22

C.0<〈a,hX-D.—<(a,b)<TI

22

(P33

(三)向量的运算律《嘴邺岁了解

1数与向量

①交换律：

今->->->/->\->->->->

ab=b4/(44)=(z//)a,a-b—b

②结合律：

/->r、-»->->今今

abc=(a〃)+CMbc=ab+c)

③分配律：

->->—>/—>->\->->

()+〃)〃44/(4+〃)=+筋,

->->\->->->->->

abj-c=a-cb-c

(o

曲

（三）向量的运算律了解

【注】向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：

对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时

取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去

一个向量，切记两向量不能相除（相约）。

【2017下半年-高-简答】

13.简述向量的数量积运算与实数的乘法运算的区别。

①31

13.【参考答案】

向量的数量积，即设二维空间内有两个向量=r1,1)，=("2,2)-

实数的乘法运算:就设两个实数为a,b,实数的乘法运x

由以上运算可以看出两者的区别在于：

(1)运算对象不同。向量的数量积运算不仅涉及向量的长度，还涉及向量的方向，实数

的运算对象是实数，只涉及大小。

(2)运算律不同，向量的数量积运算与实数乘法运算虽然在运算过程中均满足交换律、

分配律且运算结果均为实数，但实数的乘法运算满足消去律和结合律，向量的数量积运算则

不满足。在实数的乘法运算中，若a/)/),且且==PO,,则则b=O,但在向量数量积运算中，若

0,

且(诞算朝髓鳏尚亨端算S喃簿初表示的几何意义为~，实数运算并不具

备几何意义。

I应用I

（四）向量的位置关系

1.向量共线定理

向量〃与非零向量〃共线的充要条件是：有且只有一个非零实数l使

：a=Abo：

X✓

2.平面向量基本定理

如果与，与是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量明

有且只有一对实数4,友，使

：〃=4勺+42«2。：