高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题17指对运算及指对幂比较大小(原卷版+解析)

微专题17指对运算及指对幂比较大小【方法技巧与总结】知识点一、指对幂比较大小（1）单调性法（2）中间量法（3）分类讨论法（4）比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若；；；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．【题型归纳目录】题型一：指对数互化题型二：换底公式的应用题型三：利用指对幂函数的单调性比较题型四：利用中间值比较题型五：利用换底公式转化后比较题型六：利用两图像交点转化后比较题型七：含变量指对幂大小比较【典型例题】题型一：指对数互化例1．（河北省沧州市部分学校2022届高三上学期10月联考数学试题）设，，则（

）A． B．C． D．例2．(2023·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知，若，则实数等于（

）A． B． C． D．例3．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（

）A． B． C． D．变式1．(2023·全国·高一单元测试）若，则（

）A． B． C． D．变式2．(2023·全国·高一课时练习）若，则的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式3．(2023·全国·高一单元测试）已知，，则（

）A．1 B．2 C．5 D．4变式4．(2023·上海市建平中学高一期中）若正数a满足，则___________．变式5．(2023·全国·高一课时练习），则___________.题型二：换底公式的应用例4．(2023·全国·高一单元测试）化简____________例5．(2023·上海·高一单元测试）已知，则______;例6．(2023·上海·高一单元测试）已知，若，则___________.变式6．(2023·江苏·南通一中高一阶段练习）已知且，则m等于（

）A． B．6 C．12 D．36变式7．(2023·全国·高一课时练习）若，则实数的值为（

）A．4 B．6 C．9 D．12变式8．(2023·全国·高一课时练习）已知，，则（

）A． B．C． D．变式9．(2023·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知，，，，则下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．变式10．(2023·全国·高一单元测试）已知，则下列能化简为的是（

）A． B． C． D．变式11．(2023·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知且，则a的值为（

）A． B． C． D．变式12．(2023·江苏·高一）已知，则的值为（

）A．1 B．0 C． D．2题型三：利用指对幂函数的单调性比较例7．(2023·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．例8．(2023·山东·青岛二中高一期中）下列大小关系不正确的是（

）A． B．C． D．例9．(2023·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（

）A． B．C． D．变式13．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，，则（

）A． B．C． D．题型四：利用中间值比较例10．(2023·浙江·杭十四中高一期末）设实数，，，则（

）A． B． C． D．例11．(2023·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．例12．(2023·新疆喀什·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．变式14．(2023·全国·益阳平高学校高一期末）已知，，则（

）A． B． C． D．变式15．(2023·陕西安康·高一期中）设，，，则（

）A． B．C． D．变式16．(2023·河南焦作·高一期中）设，，，则（

）A． B． C． D．变式17．(2023·广东·深圳科学高中高一期中）已知，，，则（

）A． B． C． D．变式18．(2023·云南玉溪·高一期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．变式19．(2023·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．题型五：利用换底公式转化后比较例13．(2023·江苏省响水中学高一阶段练习）已知正数，满足，则下列说法不正确的是（

）A． B．C． D．例14．(2023·湖北黄石·高一期中）若实数a，b满足，，则（

）．A． B． C． D．例15．(2023·天津·南开中学高一期中）已知，，，则，，的大小关系为(

)A． B．C． D．变式20．(2023·全国·高一课前预习）已知，，，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．变式21．(2023·云南省下关第一中学高一期中）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．题型六：利用两图像交点转化后比较例16．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，，直线与这三个函数的交点的横坐标分别是，则的大小关系是（）.A． B． C． D．例17．(2023·安徽宣城·高一期末）设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．例18．(2023·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知方程、、的根分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（

）．A． B． C． D．变式22．(2023·天津·静海一中高一阶段练习）已知函数的零点分别是，则的大小顺序为（

）A． B． C． D．变式23．(2023·河南·南阳中学高一阶段练习）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．变式24．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知，，，若，则的大小关系可能是（

）A． B． C． D．题型七：含变量指对幂大小比较例19．(2023·全国·高一课时练习）已知0<a<b<1，设m=blna，n=alnb，，则m，n，p的大小关系为（

）A．m<n<p B．n<m<p C．p<m<n D．p<n<m例20．(2023·全国·高一课时练习）已知三个实数a，，，其中，则这三个数的大小关系是（

）A． B． C． D．例21．(2023·河南开封·高一期中）若，，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．变式25．(2023·江苏南京·高一期末）已知，若，则的大小关系为（

）A．B．C．D．变式26．(2023·全国·高一课时练习）设函数，，则与的大小关系是（）A． B． C． D．变式27．(2023·全国·高一单元测试）设，，为正实数,且,则的大小关系不可能是（

）A． B． C． D．变式28．(2023·全国·高一专题练习）已知，则，，的大小排序为（

）A． B． C． D．变式29．(2023·江苏·高一专题练习）若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．变式30．(2023·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．变式31．(2023·四川凉山·高一期末（理））非零实数a，b满足，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【过关测试】一、单选题1．(2023·天津南开·高一期末）三个数，之间的大小关系为（

）A． B．C． D．2．(2023·天津·高一期末）设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．3．(2023·陕西汉中·高一期末）已知，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高一课时练习）正实数满足，则实数之间的大小关系为（

）A． B． C． D．5．(2023·云南·昭通市第一中学高一阶段练习）已知函数，设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．6．(2023·全国·高一课时练习）已知三个函数的零点依次为，则的大小关系（

）A． B．C． D．7．(2023·湖北省红安县第一中学高一阶段练习）已知x，y，z都是大于1的正数，且，令，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．8．(2023·新疆·乌市一中高一期末）设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（）A． B．C． D．9．(2023·河南开封·高一期末）已知实数，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．10．(2023·全国·池州市第一中学高一开学考试）若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．11．(2023·江西·高一期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．12．(2023·江西景德镇·高一期末）已知，，则a，b，c的大小关系为（

）A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．二、填空题13．(2023·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）若，则a，b，c的大小关系为____________．14．(2023·全国·高一课时练习）已知则M、N、P的大小顺序是_____.15．(2023·全国·高一）的大小关系是________．16．(2023·福建师大附中高一期末）正实数a，b，c满足a+2-a=2，b+3b=3，c+=4，则实数a，b，c之间的大小关系为_________.三、解答题17．(2023·湖南·高一课时练习）比较，，的大小：(1)已知，，，；(2)已知，，．微专题17指对运算及指对幂比较大小【方法技巧与总结】知识点一、指对幂比较大小（1）单调性法（2）中间量法（3）分类讨论法（4）比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若；；；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．【题型归纳目录】题型一：指对数互化题型二：换底公式的应用题型三：利用指对幂函数的单调性比较题型四：利用中间值比较题型五：利用换底公式转化后比较题型六：利用两图像交点转化后比较题型七：含变量指对幂大小比较【典型例题】题型一：指对数互化例1．（河北省沧州市部分学校2022届高三上学期10月联考数学试题）设，，则（

）A． B．C． D．答案：A【解析】．故选：A例2．(2023·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知，若，则实数等于（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为，则，所以，，解得.故选：B.例3．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，故选：C变式1．(2023·全国·高一单元测试）若，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由题得，所以．故选：A．变式2．(2023·全国·高一课时练习）若，则的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：D【解析】对等号两边同时取对数，得，即，令，则，所以，即的最大值是4（此时，对应）.故选：D变式3．(2023·全国·高一单元测试）已知，，则（

）A．1 B．2 C．5 D．4答案：A【解析】∵，，∴，，．故选：A变式4．(2023·上海市建平中学高一期中）若正数a满足，则___________．答案：100【解析】因为正数a满足，所以，即，所以，解得.故答案为：100.变式5．(2023·全国·高一课时练习），则___________.答案：【解析】因，则，即，解得，所以.故答案为：题型二：换底公式的应用例4．(2023·全国·高一单元测试）化简____________答案：2【解析】原式.故答案为：2.例5．(2023·上海·高一单元测试）已知，则______;答案：3【解析】由题设，，则.故答案为：3例6．(2023·上海·高一单元测试）已知，若，则___________.答案：8【解析】由，且所以是方程的两根，解得或，又，所以，即，又从而，且，则，．所以.故答案为：8.变式6．(2023·江苏·南通一中高一阶段练习）已知且，则m等于（

）A． B．6 C．12 D．36答案：A【解析】由得，，，，（负值舍去），故选：A．变式7．(2023·全国·高一课时练习）若，则实数的值为（

）A．4 B．6 C．9 D．12答案：A【解析】∵,∴，∴．故选：A．变式8．(2023·全国·高一课时练习）已知，，则（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因为，，所以．故选：D.变式9．(2023·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知，，，，则下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，两式相除得，又，所以.故选：B.变式10．(2023·全国·高一单元测试）已知，则下列能化简为的是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D错误.故选：B.变式11．(2023·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知且，则a的值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】令，则，，又，∴，即，∴.故选：C.变式12．(2023·江苏·高一）已知，则的值为（

）A．1 B．0 C． D．2答案：C【解析】因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得.故选：C题型三：利用指对幂函数的单调性比较例7．(2023·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．例8．(2023·山东·青岛二中高一期中）下列大小关系不正确的是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】A选项：，，因为，又因为指数函数在R上单调递增，所以，即，故A正确；B选项：，因为，；又因为指数函数在R上单调递减，所以，故B正确；C选项：因为，，所以，故C错误；D选项：因为，，所，故D正确；故选:C.例9．(2023·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】对于A,由于，，故,故正确，对于B,由于为单调递减函数，所以，故错误，对于C，由于为单调递增函数，所以，故错误，对于D，由于为单调递增函数，所以，故错误,故选：A变式13．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，，则（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．故选:D．题型四：利用中间值比较例10．(2023·浙江·杭十四中高一期末）设实数，，，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，即，又，即，，所以；故选：C例11．(2023·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】是增函数，故，而，故.故选：A.例12．(2023·新疆喀什·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，所以，因为，所以，因为，即，所以.故选：C变式14．(2023·全国·益阳平高学校高一期末）已知，，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为，所以故选：A变式15．(2023·陕西安康·高一期中）设，，，则（

）A． B．C． D．答案：A【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知，，，∴，故选：A.变式16．(2023·河南焦作·高一期中）设，，，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由题得，，且，，所以．故选：A变式17．(2023·广东·深圳科学高中高一期中）已知，，，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，所以；因为，所以；因为，所以；所以故选：D.变式18．(2023·云南玉溪·高一期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由，所以.故选：B变式19．(2023·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，，，.故选：C.题型五：利用换底公式转化后比较例13．(2023·江苏省响水中学高一阶段练习）已知正数，满足，则下列说法不正确的是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】设，则∴对A：，A正确；对B：由题意可得：，同理可得：∵∴，则，B错误；对C：∵∴，C正确；对D：∴，D正确；故选：B.例14．(2023·湖北黄石·高一期中）若实数a，b满足，，则（

）．A． B． C． D．答案：C【解析】因为，所以,即，故，即，故，令，则，故，即有，所以，即，即，故，故，故选：C.例15．(2023·天津·南开中学高一期中）已知，，，则，，的大小关系为(

)A． B．C． D．答案：B【解析】由可得，，因为，所以，又因为，所以.故选：B.变式20．(2023·全国·高一课前预习）已知，，，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】，，因为，所以，所以，即，由，，，因为，则，所以，即，所以，所以.故选：A.变式21．(2023·云南省下关第一中学高一期中）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，，，，，则故选：A题型六：利用两图像交点转化后比较例16．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，，直线与这三个函数的交点的横坐标分别是，则的大小关系是（）.A． B． C． D．答案：A【解析】由得，由得，由得，因为函数在上单调递增，所以，即故选：A.例17．(2023·安徽宣城·高一期末）设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】在同一坐标系中分别画出，，的图象，与的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．故选：C例18．(2023·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知方程、、的根分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（

）．A． B． C． D．答案：B【解析】由得，，由方程得的根为a，由方程得的根为b.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，，.故选：B变式22．(2023·天津·静海一中高一阶段练习）已知函数的零点分别是，则的大小顺序为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】函数的零点为与的图像的交点的横坐标；函数的零点为与的图像的交点的横坐标；函数的零点为与的图像的交点的横坐标；在同一个直角坐标系中作出，，，的图像，如图示：根据图像可知:,,.故选:A变式23．(2023·河南·南阳中学高一阶段练习）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】画出，，，的图像，如图所示：根据图像知：.故选：D.变式24．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知，，，若，则的大小关系可能是（

）A． B． C． D．答案：ABC【解析】分别作出三个函数的图象，如图：当时，有，故B有可能；当时，如图中x轴上方的虚线所表示，此时有，故A有可能；当时，如图中x轴下方的虚线所表示，此时有，故C有可能；除此三种情况，时，没有其它情况，故D不可能，故选：ABC题型七：含变量指对幂大小比较例19．(2023·全国·高一课时练习）已知0<a<b<1，设m=blna，n=alnb，，则m，n，p的大小关系为（

）A．m<n<p B．n<m<p C．p<m<n D．p<n<m答案：A【解析】因0<a<b<1，则，且lna＜lnb＜0，即有，因此，，即p>0，又m<0，n<0，则，于是得m<n<0，所以m<n<p.故选：A例20．(2023·全国·高一课时练习）已知三个实数a，，，其中，则这三个数的大小关系是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】∵，∴由指数函数的性质，有，∴．再由指数函数的性质得，即．故选：A例21．(2023·河南开封·高一期中）若，，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由指数函数是上的减函数，，即，幂函数，在上是增函数，，即，，故．故选：D．变式25．(2023·江苏南京·高一期末）已知，若，则的大小关系为（

）A．B．C．D．答案：B【解析】当时，，故，故选：B.变式26．(2023·全国·高一课时练习）设函数，，则与的大小关系是（）A． B． C． D．答案：B【解析】因为和不相等，所以.令，，.所以.故选：B变式27．(2023·全国·高一单元测试）设，，为正实数,且,则的大小关系不可能是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】令，则，，，所以，当时，B正确；当时，A正确；当时，C正确；故选D.变式28．(2023·全国·高一专题练习）已知，则，，的大小排序为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】方法一：设.则，，，又，所以，可得.方法二：由.得，即，可得.故选：D变式29．(2023·江苏·高一专题练习）若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，，，，，故选：A．变式30．(2023·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，由换底公式，有，解得，∴，A选项错误；函数为减函数，∴，B选项正确；，但不一定成立，不能得到，C选项错误；，D选项错误.故选：B变式31．(2023·四川凉山·高一期末（理））非零实数a，b满足，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】对于A，当，满足：非零实数a，b且，而，故A不正确；对于B，当，满足：非零实数a，b且，而，故B不正确；对于C，当时，，故C不正确；对于D，因为非零实数a，b满足，所以，所以，故D正确，故选：D.【过关测试】一、单选题1．(2023·天津南开·高一期末）三个数，之间的大小关系为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】由题意，即，，即，，综上：故选：A2．(2023·天津·高一期末）设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为在上单调递减，所以，即，因为在上单调递增，又，即，所以，即，故，所以.故选：A.3．(2023·陕西汉中·高一期末）已知，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由于，故，故选：C4．(2023·全国·高一课时练习）正实数满足，则实数之间的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，即，即，与的图象在只有一个交点，则在只有一个根，令，，，，则；，即，即，由与的图象在只有一个交点，则在只有一个根，令，，，，故；，即，即，由与的图象在只有一个交点，则在只有一个根，令，，，，则；故选：A.5．(2023·云南·昭通市第一中学高一阶段练习）已知函数，设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】可知在上单调递增，上单调递减，且图像关于对称，而可得故选：A6．(2023·全国·高一课时练习）已知三个函数的零点依次为，则的大小关系（

）A． B．C． D．答案：D【