新教材2024高中数学第七章复数章末复习课新人教A版必修第二册

第七章复数要点训练一复数的概念1.代数形式为z=a+bi(a,b∈R),其中实部为a,虚部为b.2.共轭复数为z=a-bi(a,b∈R).3.复数的分类.a+bi实数(①若z=a+bi(a,b∈R)是实数,则z与z的关系为z=z.②若z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数,则z与z的关系为z+z=0.4.复数相等的充要条件.a+bi=c+di⇔a=c,b=d(a,b,1.若复数z=1+i(i为虚数单位),z是z的共轭复数,则z2+z2的虚部为(A.0 B.-1 C.1 D.-2解析:因为z=1+i,所以z=1-i,所以z2+z2=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0.故选A答案:A2.设i是虚数单位,若复数a-103-i(a∈R)是纯虚数,则aA.-3 B.-1 C.1 D.3解析:a-103-i=a-10(3+i)(3-i)(3+i)=a-10答案:D3.复数z=log3(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为什么实数时,(1)z∈R?(2)z为虚数?解:(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0,所以x解得x=4,所以当x=4时,z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0,所以x2-3x-3>0,所以当x>3+212,且x≠4时,z要点训练二复数的代数运算1.复数的模.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=a2+b2,且zz=|z|2=a2.复数的四则运算.若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),则(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;(3)乘法:z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;(4)除法:z1z2=(a1a2+b11.在复平面内,设z=1+i(i是虚数单位),则复数2z+z2对应的点位于 (A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析:2z+z2=21+i+(1+i)2=21+i+2i=(1-i)+2i=1+i,所以复数2z答案:A2.已知z1,z2为复数,(3+i)z1为实数,z2=z12+i,且|z2|=52,求z解:由已知,得z1=z2(2+i),所以(3+i)z1=z2(2+i)(3+i)=z2(5+5i)∈R.因为|z2|=52,所以|z2(5+5i)|=50,所以z2(5+5i)=±50,所以z2=±505+5i=±101+i=±(5-3.已知z是复数,z-3i为实数,z-5i(1)求复数z;(2)求z1-解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),因为z-3i=a+(b-3)i为实数,可得b=3,所以z=a+3i.因为z-5i2-i=a-2i2-i=2a+2+(2)z1-i=-1+3i1-i=所以|z1-i|=|-2+i|=(-要点训练三与共轭复数有关问题的求解方法1.若复数z的代数形式已知,则依据共轭复数的定义可以先写出z,再进行复数的四则运算.必要时,需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式,再依据共轭复数的定义求z.2.共轭复数应用的另一种常见题型:已知关于z和z的方程,而复数z的代数形式未知,求z.解此类题的常规思路为设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,代入所给方程,利用复数相等的充要条件,转化为求解方程(组).1.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=a+2i1-i,其中a,b∈R,且z1与z2互为共轭复数,求a解:z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i,z2=a+2i1-i=(a+2i)(1+i)(1-i)(1+i所以a-22.已知z∈C,虚部大于0,且|z|2+(z+z)·i=5+2i.(1)求z;(2)若m∈R,ω=z·i+m,求证:|ω|≥1.(1)解:设z=a+bi,a,b∈R,且b>0,所以z=a-bi.由已知,得a2+b2+2ai=5+2i,所以a2+b2=5,2a(2)证明:由(1),得ω=(1+2i)·i+m=(m-2)+i,则|ω|=(m-当且仅当m=2时,等号成立,所以|ω|≥1.要点训练四数形结合思想1.任何一个复数z=a+bi(a,b∈R),在复平面内都有唯一的一个点Z(a,b)和它对应,也与从原点动身的向量OZ一一对应.2.复数加法的几何意义.若复数z1,z2对应的向量OZ1,OZ2不共线,则复数z1+z2是以OZ13.复数减法的几何意义.若复数z1,z2对应的向量OZ1,OZ2不共线,则复数z1-z2是连接向量OZ1,1.如图所示,若i为虚数单位,复平面内点Z表示复数z,则表示复数z1+i的点是(A.E B.F C.G D.H解析:因为点Z(3,1)对应的复数为z,所以z=3+i,所以z1+i=3+i1+i=(3+i)(1-i)(答案:D2.已知复数z1=2+3i,z2=a+bi,z3=1-4i,它们在