2025年高考数学一轮复习-拓展拔高2-指数与对数的运算-专项训练【含解析】

拓展拔高2-指数与对数的运算-专项训练【原卷版】基础巩固练1.[2024·琼海模拟]3727A.9 B.19 C.3 D.2.[2024·绵阳模拟]设a=log9A.1 B.2 C.4 D.93.[2024·河南模拟]已知函数fx=logA.−4 B.−2 C.24.[2024·天津模拟]已知2a=5,logA.25 B.5 C.259 D.5.[2024·陕西模拟]若a>0且a≠1,log3a=A.2 B.12 C.3 D.6.已知实数a，m，n满足3a=m，23aA.2 B.12 C.3 D.7.[2024·大连模拟]若实数a,b满足4aA.a<3b2 B.a>3b28.[2024·河南联考]若函数fx=lnxA.0 B.ln2−1 C.ln综合提升练9.（多选题）已知正数x，y，z满足3xA.1x+1y=1z B.10.（多选题）下列结论正确的是（）.A.e3+eC.2π+611.eln12.已知实数a，b满足4a+2a=3应用情境练13.[2024·郑州模拟]地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系式为lgE=4.8+1.5M.若A地发生7.8级地震，它所释放出来的能量为E1，B地发生4.6级地震，它所释放出来的能量为E14.[2024·文昌预测]荧光定量PCR是一种通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中呈指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，当荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lgX=nlg1+p+lgX0，其中X0创新拓展练15.[2024·宜宾模拟]音乐是由不同频率的声音组成的.若音1do的音阶频率为f，则简谱中七个音1do，2re，3mi，4fa，5so，6la，7si组成的音阶频率分别是f，98f，8164f，43f，3216.(2024·九省适应性测试)离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数,集合X={1,2,…,p-1},若u,v∈X,m∈N,记u⊗v为uv除以p的余数,um,⊗为um除以p的余数;设a∈X,1,a,a2,⊗,…,ap-2,⊗两两不同,若an,⊗=b(n∈{0,1,…,p-2}),则称n是以a为底b的离散对数,记为n=log((1)若p=11,a=2,求ap-1,⊗(2)对m1,m2∈{0,1,…,p-2},记m1⊕m2为m1+m2除以p-1的余数(当m1+m2能被p-1整除时,m1⊕m2=0).证明:log(p)a(b⊗c)=log(p)ab⊕log(p)ac,其中b,c∈X.(3)已知n=log(p)ab.对x∈X,k∈{1,2,…,p-2},令y1=ak,⊗,y2=x⊗bk,⊗.证明:x=y2注:一般地,设n为正整数,a和b为整数,如果a和b被n除后余数相同,那么称a和b模n同余,记作a≡b(modn).例如,12与-6被9除后余数均为3,所以12≡-6(mod9)..拓展拔高2-指数与对数的运算-专项训练【解析版】基础巩固练1.[2024·琼海模拟]37277+A.9 B.19 C.3 D.[解析]37277+2.[2024·绵阳模拟]设a=log94，则A.1 B.2 C.4 D.9[解析]由a=log94，得9a=4，即33.[2024·河南模拟]已知函数fx=log2xA.−4 B.−2 C.2[解析]∵f1=41−4.[2024·天津模拟]已知2a=5,log83A.25 B.5 C.259 D.[解析]因为2a=5，b=log83=135.[2024·陕西模拟]若a>0且a≠1,log3a=b,A.2 B.12 C.3 D.[解析]由题意得d=bc=log3a6.已知实数a，m，n满足3a=m，23a=nA.2 B.12 C.3 D.[解析]由题意得3a=m由a=12log22m+n，得因为3a×4a=12a由指数函数的值域可得m>0，n>0，所以n=2m，7.[2024·大连模拟]若实数a,b满足4a+logA.a<3b2 B.a>3b2[解析]由题意知，a>0，∵4a=22a，8∴22a+log∵y=log3x在0∴2设fx=2x∵y=2x与y=log3x在0,+∞上单调递增，∴fx在08.[2024·河南联考]若函数fx=lnx2+A.0 B.ln2−1 C.ln[解析]f−因为fx为奇函数，所以fx+f−x=0，即lnx所以fx=lnx2+1−综合提升练9.[2024·湖北联考]（多选题）已知正数x，y，z满足3x=4A.1x+1y=1z B.[解析]设3x=4y=12z=t，所以1x+1y因为6z3x=2log因为3x4y=3log所以6z<3x<4y因为x+y−4z=log3因为1z=1x+1y=x+故选ABD.10.[2024·陕西模拟]（多选题）下列结论正确的是（BD）.A.e3+eC.2π+6[解析]因为e3+e5e3⋅因为0<lg3<1，0<因为3π⋅5所以3π⋅5π因为log310+log510log310⋅11.[2024·四川适应性考试]eln3−[解析]eln12.已知实数a，b满足4a+2a=3，[解析]因为log233b+1+b又4a+2a=因为函数y=2x，y=x在−∞,+∞上均单调递增，所以fx在−∞,+∞上单调递增，因为f1=3，所以2a应用情境练13.[2024·郑州模拟]地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系式为lgE=4.8+1.5M.若A地发生7.8级地震，它所释放出来的能量为E1，B地发生4.6级地震，它所释放出来的能量为E2[解析]由题意知lgE1=4.8+1.5×7.8=16.5，lg14.[2024·文昌预测]荧光定量PCR是一种通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中呈指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，当荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lgX=nlg1+p+lgX0，其中X0为DNA[解析]由题意得lg100X0=6lg1+创新拓展练15.[2024·宜宾模拟]音乐是由不同频率的声音组成的.若音1do的音阶频率为f，则简谱中七个音1do，2re，3mi，4fa，5so，6la，7si组成的音阶频率分别是f，98f，8164f，43f，32f[解析]因为相邻两个音的频率比值分别为98，98，256243，98，由题意知α=98，β=16.(2024·九省适应性测试)离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数,集合X={1,2,…,p-1},若u,v∈X,m∈N,记u⊗v为uv除以p的余数,um,⊗为um除以p的余数;设a∈X,1,a,a2,⊗,…,ap-2,⊗两两不同,若an,⊗=b(n∈{0,1,…,p-2}),则称n是以a为底b的离散对数,记为n=log((1)若p=11,a=2,求ap-1,⊗(2)对m1,m2∈{0,1,…,p-2},记m1⊕m2为m1+m2除以p-1的余数(当m1+m2能被p-1整除时,m1⊕m2=0).证明:log(p)a(b⊗c)=log(p)ab⊕log(p)ac,其中b,c∈X.(3)已知n=log(p)ab.对x∈X,k∈{1,2,…,p-2},令y1=ak,⊗,y2=x⊗bk,⊗.证明:x=y2注:一般地,设n为正整数,a和b为整数,如果a和b被n除后余数相同,那么称a和b模n同余,记作a≡b(modn).例如,12与-6被9除后余数均为3,所以12≡-6(mod9).[解析](1)若p=11,a=2,且注意到210=1024=93×11+1,则ap-1,⊗=210,⊗=(2)当p=2时,此时X={1},此时b=c=1,b⊗c=1,故log(p)a(b⊗c)=0,log(p)ab=0,log(p)ac=0,此时log(p)a(b⊗c)=log(p)ab⊕log(p)ac.当p>2时,因为1,a,a2,⊗,…,ap-2,⊗相异,所以而a∈X,故a,p互质.设n=log(p)a(b⊗c),n1=log(p)ab,n2=log(p)ac,则∃k1,k2∈N,使得an1=pk1+b,an2故an1+n2=(pk1+b)(pk2+c),故a设n1+n2=t(p-1)+s,0≤s≤p-2,则n1⊕n2=s,因为1,2,3,…,p-1除以p的余数两两相异,且a,2a,3a,…,(p-1)a除以p的余数两两相异,所以(p-1)!≡[a×2a×3a…×(p-1)a](modp),故ap-1≡1modp,故as≡bc(modp),而an≡b⊗c(modp)=bc(modp),其中0≤n≤p-2,故s=n,即log(p)a(b⊗c)=log(