2024年高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理学案新人教A版选择性必修第一册

．2空间向量基本定理[课程目标]1.了解空间向量基本定理及其意义.2.驾驭空间向量的正交分解.3.驾驭在简洁问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．学问点一空间向量基本定理假如三个向量a，b，c不共面，那么对随意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__xa＋yb＋zc__．其中{a，b，c}叫做空间的一个__基底__，a，b，c都叫做基向量．空间随意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．学问点二空间向量的正交分解(1)单位正交基底：假如空间的一个基底中的三个基向量__两两垂直__，且长度都是__1__，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示．(2)正交分解：把一个空间向量分解为三个__两两垂直__的向量，叫做把空间向量进行正交分解．[研读](1)只要是空间中三个不共线的向量都可以作为一组基底，所以基底的选取不是唯一的；(2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底；(3)以{a，b，c}为基底表示向量p，实数组(x，y，z)是唯一的．eq\a\vs4\al(【思辨】)推断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面．(√)(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(√)(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一个基底．(×)(4)已知{a，b，c}是空间的一个基底，则三个向量p＝a＋b，q＝a－b，r＝a＋2c也可以构成基底．(√)【解析】(4)因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c都是非零向量且不共面，所以p，q，r是非零向量且不共面，可以构成基底．eq\o(\s\up7(),\s\do5(基底的推断))eq\a\vs4\al\co1(例1)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试推断{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一个基底．解：假设eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共面，由向量共面的充要条件知，存在有序实数对(x，y)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))成立，所以e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3不共面，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－3x＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程组无解．即不存在有序实数对(x，y)，使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共面．所以{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能作为空间的一个基底．[规律方法]基底推断的基本思路及方法(1)基本思路：推断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①假如向量中存在零向量，则不能作为基底；假如存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则a，b，c共面，不能作为基底；若无解，则a，b，c不共面，能作为基底．活学活用设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个eq\o(\s\up7(),\s\do5(用基底表示向量))eq\a\vs4\al\co1(例2)如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点．用向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示eq\o(OP,\s\up6(→))和eq\o(OQ,\s\up6(→)).解：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(ON,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,12)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→)).[规律方法]基向量的选择和运用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点动身的三个向量作为基底．(2)用基向量表示一个向量时，假如此向量的起点是从基底的公共点动身的，一般考虑加法，否则考虑减法；假如此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．活学活用已知P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(ND,\s\up6(→))，则满意eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的实数x，y，z的值分别为(D)A．－eq\f(2,3)，eq\f(1,6)，eq\f(1,6)B．eq\f(2,3)，－eq\f(1,6)，eq\f(1,6)C．－eq\f(2,3)，eq\f(1,6)，－eq\f(1,6)D．－eq\f(2,3)，－eq\f(1,6)，eq\f(1,6)【解析】如图所示，取PC的中点E，连接NE，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(EN,\s\up6(→))－eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))－(eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(PC,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(PC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(PC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)(－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，比较知x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6)，故选D.eq\o(\s\up7(),\s\do5(基底的简洁应用))eq\a\vs4\al\co1(例3)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长为eq\r(2)，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求证：BD⊥平面AA1C1C；(2)求BD1与AC所成的角．解：{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，AA1}可以作为空间的一个基底，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，|AA1|＝eq\r(2)，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝90°，〈AA1，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝120°，〈AA1，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝120°.(1)证明：由条件知，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)).因为eq\o(BD,\s\up6(→))·AA1＝AA1·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝AA1·eq\o(AD,\s\up6(→))－AA1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\r(2)×1×cos120°－eq\r(2)×1×cos120°＝0，所以BD⊥AA1.又因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.又AC∩AA1＝A，所以BD⊥平面AA1C1C.(2)BD1＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋AA1－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以|BD1|2＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|AA1|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·AA1－2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－2AA1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1＋2＋1＋2×1×eq\r(2)×cos120°－0－2×1×eq\r(2)×cos120°＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝1＋1＝2，所以|BD1|＝2，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，所以BD1·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋AA1－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋AA1·eq\o(AB,\s\up6(→))＋AA1·eq\o(AD,\s\up6(→))－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0＋1＋eq\r(2)×1×cos120°＋eq\r(2)×1×cos120°－1－0＝－eq\r(2)，所以|cos〈BD1，eq\o(AC,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|BD1·\o(AC,\s\up6(→))|,|BD1||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|－\r(2)|,2×\r(2))＝eq\f(1,2).所以BD1与AC所成的角为60°.[规律方法]基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤(1)设出基向量；(2)用基向量表示出相关向量；(3)用|a|＝eq\r(a·a)求长度，用a·b＝0⇔a⊥b证明垂直，用cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求夹角；(4)将向量中得到的结论转化为线段长度、两直线垂直及夹角问题．活学活用如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点．求证：(1)AD1⊥G1G；(2)AD1∥EF.证明：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0．(1)因为AD1＝b＋c，G1G＝G1A1＋A1A＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DG,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－c＋b＋eq\f(1,2)a＝b－c，所以AD1·G1G＝(b＋c)·(b－c)＝b2－c2＝0，所以AD1⊥G1G，所以AD1⊥G1G.(2)因为AD1＝b＋c，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)CC1＝－eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)AD1，所以EF∥AD1.1．在四面体ABCD中，可以作为空间向量的一个基底的是(D)A．{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))}B．{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))}C．{eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))}D．{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))}2．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知{a，b，c}是空间的一个基底，下列不能与m＝a－b，n＝b－c构成空间的另一个基底的是(A)A．a－cB．a＋cC．a＋bD．a＋b＋c4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))－nAA1，则(A)A．m＝eq\f(1,2)，n＝－eq\f(1,2)B．m＝－eq\f(1,2)，n＝－eq\f(1,2)C．m＝－eq