农业大学教案

河北农业大学教案（章节备课）

学时：16

章节第四章积分

1.理解定积分的概念并掌握基本性质及几何意义；

2.理解微积分第一基本定理掌握积分上下限函数的求导公式；掌握微积分第二基

本定理；

教学目的3.正确运用两类换元法及分部积分法计算不定积分及定积分；

和要求

4.掌握换元法在定积分证明题上的应用；

5.掌握几种特殊类型函数的积分方法；

6.掌握两类反常积分的计算；

7.理解微元法的基本思想并掌握定积分的几何应用.

重点：1.定积分的概念；

2.微积分第一基本定理、积分上限函数的求导公式及微积分第二基本定理；

3.不定积分、定积分的计算；

重点和4.微元法的基本思想及定积分的几何应用.

难点

难点：1.积分上下限函数求导结合其它知识点的综合题；

2.两类换元法及分部积分法计算不定积分、定积分；

3.换元法在定积分证明题上的应用；

教学内容（14学时）：

§4.1定积分概念（2学时）；

§4.2微积分基本定理（4学时）；

教学内容与

学时分配§4.3基本积分法（4学时）；

§4.4反常积分（2学时）；

§4.5定积分的应用（2学时）；

期中考试（2学时）.

教学方法与教学方法：课堂以讲授为主，适当提问、讨论和练习。

教学手段

教学手段：板书

备注讲完此章后2学时用于进行期中考试

河北农业大学教去（课时备课）

2学时

第四章积分

章节

§4.1定积分概念

1.正确理解和掌握定积分的概念、几何意义

教学目的

和要求2.掌握定积分的基本性质并能正确地运用

3.培养学生归纳抽象的能力和理论联系实际的观念

重点：1.定积分的概念和性质

重点和难点难点：1.利用定积分的几何意义计算定积分

2.用定积分表示极限

教学方法：课堂以讲授为主，适当提问和练习。

教学方法与

教学手段教学手段：板书。在讲解求曲边梯形的面积及利用几何意义求定积分时在板书过

程中注意从图形上直观解释。

1、教学内容

一、引例

二、定积分概念

三、定积分的几何意义和物理意义

四、定积分的基本性质

教学内容

与要点

2、讲授要点

首先通过讲解两个引例：1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程引出定积

分的概念。注意结合图形把抽象的概念直观化，帮助学生理解。并通过例题讲解

如何利用定积分表示极限。然后结合概念给出定积分的几何意义和物理意义，并

通过例题讲解如何利用定积分的几何意义计算定积分。最后结合证明讲解定积分

的基本性质，并通过例题对性质如何进行应用进行说明。

§4.1定积分概念

一、引例

1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程

S=粤方/(玉)必§=甄t

z=li=l

注：注意从图形上进行直观解释

二、定积分概念

fbg

1.定义：Jf{x}dx=W,

2.定义的补充说明：

例题1.用定积分表示lim，sin—+sin—++sin—~DE

教学进程isn\_nnnJ

三、定积分的几何意义和物理意义

1.几何意义：它是介于x轴、函数/(%)的图形及两条直线尤=a,x=A之间的各

部分的面积代数和，在x轴上方的取正号，在x轴下方的取负号

例题2.利用几何意义求£xdx

2.物理意义：变速直线运动的路程

四、定积分的基本性质

性质内容：

注：对有些性质加以证明，并通过几何意义进行解释

例题3.比较积分「eeZx和「\心值的大小

JoJo

71•

例题4.估计积分「吧功的值

4X

板书设计教学主要内容例题讲解演算区

作业布置教材P.1253、4(1)、5(2)、6(1)

课后教师教师可以根据重点与难点的把握以及提问等师生互动情况，适当调整

总结分析下一轮授课的内容和方法。

河北农业大学教去（课时备课）

2学时

第四章积分

章节

§4.2微积分基本定理

1.理解微积分第一基本定理

教学目的

和要求2.掌握各种形式的积分上下限函数的求导公式

3.能够结合积分上限函数求导解决一些综合性题目

重点：1.微积分第一基本定理

2.积分上下限函数的求导

重点和难点

难点：1.积分上下限函数的求导问题

2.积分上限函数求导结合其它知识点的综合题

教学方法：课堂以讲授为主，适当提问和练习。

教学方法与

教学手段

教学手段：板书。

1、教学内容

一、微积分第一基本定理

2、讲授要点

教学内容首先通过讲解积分上限函数引出微积分第一基本定理，揭示了微分与积分之

与要点

间的内在联系，并针对于积分上下限函数的各种不同形式给出相应的求导公式，

并结合例题说明此知识点与其他知识的一些综合应用。

§4.2微积分基本定理

一、微积分第一基本定理

1.积分上限函数

定义：(p{x)=[<x<b)

Ja

注：对积分上限函数形式进行解释说明

2.微积分第一基本定理

定理内容：

注：对定理内容进行简单证明，揭示微分与积分之间的内在联系

3.积分上限函数的求导

不同形式下的求导公式：右]=—/(X),

教学进程⑺力=/[9(切9(乃,[j；J⑺力=-f[(p(x)](p(x),

[C于⑦出=f[<pM]0(x)-f[〃(切〃(x),

例题1.lim-J——.

f

例题2.设/(X)在(一8,+8)内连续，且/(X)>0.证明函数F(x)='------在

L/⑺力

*1)

(0,+8)内为单调增加函数.

例题3.设/(x)在[0,1]上连续，且.证明2x—⑺力=1在[0,1]上

只有一个根.

板书设计教学主要内容例题讲解演算区

作业布置教材P.1352⑵(3)、3、4、

课后教师教师可以根据重点与难点的把握以及提问等师生互动情况，适当调整

总结分析下一轮授课的内容和方法。

河北农业大学教去（课时备课）

2学时

第四章积分

章节

§4.2微积分基本定理

1.理解微积分第一基本定理

教学目的

和要求2.掌握各种形式的积分上下限函数的求导公式

3.能够结合积分上限函数求导解决一些综合性题目

重点：1.微积分第一基本定理

2.积分上下限函数的求导

重点和难点

难点：1.积分上下限函数的求导问题

2.积分上限函数求导结合其它知识点的综合题

教学方法：课堂以讲授为主，适当提问和练习。

教学方法与

教学手段

教学手段：板书。

1、教学内容

一、微积分第一基本定理

2、讲授要点

教学内容首先通过讲解积分上限函数引出微积分第一基本定理，揭示了微分与积分之

与要点

间的内在联系，并针对于积分上下限函数的各种不同形式给出相应的求导公式，

并结合例题说明此知识点与其他知识的一些综合应用。

§4.2微积分基本定理

一、微积分第一基本定理

1.积分上限函数

定义：(p{x)=[<x<b)

Ja

注：对积分上限函数形式进行解释说明

2.微积分第一基本定理

定理内容：

注：对定理内容进行简单证明，揭示微分与积分之间的内在联系

3.积分上限函数的求导

不同形式下的求导公式：右]=—/(X),

教学进程

⑺力=/[9(切9(乃,[j；J⑺力=-f[(p(x)](p(x),

[C于⑦出=f[<pM]0(x)-f[〃(切〃(x),

例题1.lim-J——.

f

例题2.设/(X)在(一8,+8)内连续，且/(X)>0.证明函数F(x)='------在

L/⑺力

*1)

(0,+8)内为单调增加函数.

例题3.设/(x)在[0,1]上连续，且.证明2x—⑺力=1在[0,1]上

只有一个根.

板书设计教学主要内容例题讲解演算区

作业布置教材P.1352⑵(3)、3、4、

课后教师教师可以根据重点与难点的把握以及提问等师生互动情况，适当调整

总结分析下一轮授课的内容和方法。

河北农业大学教去（课时备课）

2学时

第四章积分

章节

§4.3基本积分法

1.能够掌握两类换元法的基本思想和公式

教学目的2.正确运用两类换元法求不定积分及定积分

和要求

3.掌握换元法在定积分证明题上的应用

4.培养学生灵活的思维能力。

重点：1.两类换元法的思想和公式

2.用两类换元法计算不定积分及定积分

重点和难点

难点：1.掌握两类换元法的常用方法和技巧

2.换元法在定积分证明题上的应用

教学方法：课堂以讲授为主，适当提问，因涉及变换方法灵活需较多引入例题。

教学方法与

教学手段

教学手段：板书。

1、教学内容

一、换元积分法

2、讲授要点

教学内容首先由一个简单的复合函数求导运算结合积分与微分的关系引出不定积分第

与要点

一类换元积分法（凑微分法），给出相应的变换公式及具体的操作步骤，然后通过

例题加以说明解释，并通过例题体现其变换灵活的特点。给出不定积分第二类换

元法的变换公式及具体的操作步骤后，比较说明此类换元法与第一类换元法针对

对象的不同，重点讲解其三种变换形式。最后说明两种换元法在定积分计算上的

应用及用换元法做关于定积分的证明题。

§4.3基本积分法

一、换元积分法

1.第一类换元积分法(凑微分法)

引例：(sin2x)'=2cos2x,J2cos2xdxq~~Jcosudu=sin2c+C

公式：J/S(x)]"(x)dx=[Jf(u)du]u=^x)=F[(/)(x)]+C

具体步骤：jg(x)tZx=Jf[(/)(x)](/>'(x)dx=[j/(")如=g)=F(M)+C=F[^(X)]+C.

2.例题练习

例1.dx.例2.I*dx；例3.j-----dx(〃>0)

」3+2xJx(l+21nx)J庐了

J£+fJi+cosxJl+「

3.第二类换元积分法

公式：jf(x)dx=[J/匕⑺]〃'⑺必]=/⑴

教学进程

2

常用的三角代换：(1)Ja2-x1,X=asint;(2),x-atant;

(3)6—a1,;c=asec].

例7J1r/r、rn.,1

例8..i-----UA；ivyJ.[7dx；

yjx2+a2X4V77TJ%(『+2)

4.定积分的情形

换元公式：\f^dx=f/[(力⑺M(t)dt

JaJa

*4a

例10.2cos5xsmxdx；例11.J4i2-x2dx；例12.Vsin3x-sin5xdx

Jo0

0

例13.7(%)在上连续,

①“X)为偶函数,则[f(x)dx=2\f(x)dx；

J-aJ。

②/(X)为奇函数，则|f(x)dx=0.

-a

板书设计教学主要内容例题讲解演算区

作业布置教材P.1571(双号题)、2(单号题)、4(双号题)5(3)(5)、6(2)(4)

课后教师教师可以根据重点与难点的把握以及提问等师生互动情况，适当调整

总结分析下一轮授课的内容和方法。

河北农业大学教去（课时备课）

2学时

第四章积分

章节

§4.3基本积分法

1.正确理解和掌握分部积分法的公式

教学目的

和要求2.掌握几种特殊类型函数的积分方法

3.能够综合运用各种方法求积分

重点：L分部积分法的公式和应用

2.有理函数三角有理函数的积分方法

重点和难点

难点：L分部积分公式中u及V的正确选择

2.有理函数中真分式的拆分

3.综合运用各种方法求积分

教学方法：课堂以讲授为主，适当提问，因涉及变换方法灵活需较多引入例题。

教学方法与

教学手段教学手段：板书。

1、教学内容

二、分部积分法

三、几种特殊类型函数的积分举例

2、讲授要点

首先由函数乘积的的求导法则引出不定积分的分部积分公式，指明公式的作

用及应用时被积函数的形式和一般情况下""选取的原则。然后通过讲解例题总

教学内容

与要点结事函数与四类函数相乘时"/选取的规律，再通过例题讲述应用分部积分公式

循环求解的积分问题。给出定积分的分部积分公式后，指明与不定积分公式的不

同，后通过例题练习。

有理函数的积分中关键是真分式的拆分，要详细讲解其拆分的原则。对于三

角有理函数主要讲了利用万能变换公式进行积分，要注意dx正确的变换形式。最

后给出几个常见“积不出来”的函数，要求记忆。

§4.3基本积分法

二、分部积分法

1.不定积分的分部积分法

公式：juv'dx=wv-Ju'vdx,judv=wv-jvdu

作用：

u,v选取的原则：(1)积分容易者选为/(2)求-学简单者选为Uo

例题l.jxcosxdc例题2.'%2/办例题3jxzirctanAz/x例题4.Jx3Inxdx

注：总结上述情况下选取的原则。

例题5Jsin(lnx)dx例题6.jexsinxdx

2.定积分的分部积分法

公式：udv-\uv\-vdu

JaL」qJa

2«•S-«•—

教学进程例题7,farcsinxdx.例题8.「——------例题9./=2sin"xdx-2cos〃xdx

JoJ。1+coslxnJoJo

三、几种特殊类型函数的积分举例

1.有理函数积分

定义：

利用多项式除法，假分式可以化成一个多项式和一一个真分式之和.

真分式的拆分原则：

待定系数法：

11

例题10」f--------dx例题11」f-------------clx

Jx(x-l)2J(1+2x)(1+/)

2.三角有理函数积分

定义：

万能变换：

x2ui-u2,2,

u=tan—,x=2arctan〃，sinx=-----,cc)SA—)clJC—r.CLU

21+u21+Z41+"

“phrsin%,-口xrcosY

例题12.--------------dx例题13.----—dx注:说明换元法更简单.

J1+sinx+cosxJ1+sinx

注：给出常见“积不出3E”的函数。

板书设计教学主要内容例题讲解演算区

作业布置教材P.1597(双号题)、8(3)(6)、9(3)(5)(6)、

课后教师教师可以根据重点与难点的把握以及提问等师生互动情况，适当调整

总结分析下一轮授课的内容和方法。

河北农业大学教去（课时备课）

2学时

第四章积分

章节

§4.4反常积分

教学目的1.正确理解和掌握两类反常积分的计算

和要求

2.记住「函数的形式并能计算特殊值下的r函数值

重点：1.两类反常积分的计算

2.「函数的计算

重点和难点

难点：L函数中含有待定常数的反常积分的计算

2.与换元法结合的「函数的计算

教学方法：课堂以讲授为主，适当提问和练习。

教学方法与

教学手段

教学手段：板书。

1、教学内容

一、无穷区间上的反常积分

二、有无穷间断点的反常积分

三、「函数

教学内容2、讲授要点

与要点

首先给出无穷区间上的反常积分的三种不同情况下的定义形式，也是相应的

计算公式，讲解与正常积分计算方法上的相同及不同之处，并通过例题练习。对

于有无穷间断点的反常积分同样给出三种不同情况下的定义即计算公式，尤其是

无穷间断点位于积分区间内部的情形一定要强调说明勿作为正常积分去计算，与

正常积分计算方法比较后通过例题练习。对于「函数关键是掌握其递推公式，并

能够利用此公式计算两种特殊值下的r函数。

§4.4反常积分

一、无穷区间上的反常积分

f4-00pbpb

定义：If(x)dx=lim[f(x)dx,|f(x)dx=lim|f(x)dx,

Jab—>+℃JaJ-ooa—>-ooJa

f+oopcfb

[f(x)dx=lim[f(x)dx+lim[f(x)dx

J—ooa—>—ooJabf+8Jc

注：说明与正常积分计算方法上的相同及不同之处

r+oodxr+co11

例题1.[例题2」与sin土然

例题3.证明反常积分「8十公当p>1时收敛，当p41时发散.

f4-00

例题4.证明反常积分(当口〉0时收敛，当?<0时发散.

二、有无穷间断点的反常积分

定义：If(x)dx=lim[f(x)dx,ff(x)dx=lim[f(x)dx,

Ja£9()+Ja+£Ja£_>()+Ja

pbpcfbpc-£pb

教学进程[于(y

x)dx=[f{x]dx+[f(x)dx=limff{x}dx+lim+fc+£f{x}dx

JaJaJc所_>o+Ja£2^^2

注：说明与正常积分计算方法上的相同及不同之处，强调要小心第三种情形

例题5.V,dX(a>0)例题6.

JoVa2-x2J1xlnx

例题7.证明反常积分]」公当p<1时收敛，当pN1时发散.

三、「函数

定义：「(a)=「xa~xe~xdx

Jo

递推公式：

两个特殊情况下的计算公式：「5+1)=加，

吗)=丁••…If'卞

例题8.匚⑦例题9.求广人松质的值例题8.求/了%，小的值

「(4)J。Jo

板书设计教学主要内容例题讲解演算区

作业布置教材P.1651(4)(5)(9)(10)、2、3(2)

课后教师教师可以根据重点与难点的把握以及提问等师生互动情况，适当调整

总结分析下一轮授课的内容和方法。

河北农业大学教去（课时备课）

2学时

第四章积分

章节

§4.5定积分的应用

1.正确理解和掌握定积分微元法的基本思想

教学目的

和要求2.掌握用定积分解决几何方面的实际问题

3.培养学生分析问题解决问题的能力和数形结合的观念

重点：1.正确理解和掌握定积分微元法的基本思想

2.定积分的几何应用

重点和难点

难点：1.参数方程确定的曲线所围的面积

2.平行截面面积已知的立体体积

教学方法与教学方法：课堂以讲授为主，适当提问和练习。

教学手段

教学手段：板书。因涉及几何及物理应用教学过程中注意从图形上进行直观解释。

1、教学内容

一、定积分的微元法

二、定积分的几何应用

教学内容

与要点2、讲授要点

首先通过回顾求曲边梯形面积的过程给出元素法的定义及可应用需满足的四

个条件，并给出具体的操作步骤。然后根据元素法的思想，分别讲了定积分在求

平面图形的面积、立体的体积及平面曲线的弧长中的应用，并通过例题进行练习。

最后又把元素法的思想推广到物理应用的方面，讲解了变力沿直线所做的功及液

体压力的问题，后通过例题进行练习。

§4.5定积分的应用

一、定积分的微元法

n2

1.定义：U==Jf{x}dx

日a

b

2.操作步骤：(1)求微元dU=/(x)公(2)求积分。=

a

二、定积分的几何应用

1.平面图形的面积

(1)在直角坐标系中计算面积

例题1.求由两曲线>=/，x=y2所围平面图形的面积

例题2.求由两曲线产=2x,y=x—4所围平面图形的面积

(2)在极坐标系中计算面积

教学进程例题3.求心形线r=。(1+85。)(。〉0)所围平面图形的面积.

例题4.求双纽线22=。2cos2。所围平面图形的面积.

2.立体的体积

(1)平行截面面积已知的立体体积

例题5•一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角e,计算这平

面截圆柱体所得立体的体积.

(2)旋转体的体积

22

例题6.求椭圆二+2r=1所围成的平面图形分别绕X轴和y轴旋转一周所成的

ab

旋转体的体积.

3.平面曲线的弧长

例题7.计算曲线y=gx'上相应于x从。到b的一段弧的长度

(3

x=Qcos"t

例题8.计算星形线\(0<r<2^)的弧长.

[y=asint

板书设计教学主要内容例题讲解演算区

作业布置教材P.1761(2)(3)(5)、2⑴、3(1)(3)、4(1)

课后教师教师可以根据重点与难点的把握以及提问等师生互动情况，适当调整

总结分析