2013年第18“华杯”总决赛北京赛区七年级数学竞赛试卷（第二试）

2013年第18届“华杯”总决赛北京赛区七年级数学竞赛试卷（第二试）一、填空题（每题10分，共30分）1．（10分）如图是矩形，满足，，是中点，是上一点满足．则四边形的面积为．2．（10分）、两地相距300米，在、中间，距地100米．甲、乙、丙三人从地同时出发，甲、乙向地走，丙向地走．过了一段时间，三人相遇；又过了一段时间，三人再次相遇．如果在整个过程中，三人两两之间从未相遇过，甲没到过地，乙、丙到达、两地后立即返回，那么，当甲第一次到地时，乙共行了米．3．（10分）已知：，则的最大值是．二、解答题（每题10分，共30分）4．（10分）10个正整数围成一圈，每个数都等于它相邻两个数的最大公约数加1．这10个数的和是多少？5．（10分）已知：，，求的值．6．（10分）有40个自然数：1、2、3、、39、40，至少从这40个数中取出多少个不同数，才能确保其中有四个不同数的和等于81？

2013年第18届“华杯”总决赛北京赛区七年级数学竞赛试卷（第二试）参考答案与试题解析一、填空题（每题10分，共30分）1．（10分）如图是矩形，满足，，是中点，是上一点满足．则四边形的面积为．【分析】过作于，根据勾股定理求出，证，得出比例式，代入求出、，根据勾股定理求出，求出，分别求出矩形、、的面积，即可求出答案．【解答】解：四边形是矩形，，，为中点，，在中，由勾股定理得：，过作于，则，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，四边形的面积为，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，综合性比较强，有一定的难度，关键是求出和的面积．2．（10分）、两地相距300米，在、中间，距地100米．甲、乙、丙三人从地同时出发，甲、乙向地走，丙向地走．过了一段时间，三人相遇；又过了一段时间，三人再次相遇．如果在整个过程中，三人两两之间从未相遇过，甲没到过地，乙、丙到达、两地后立即返回，那么，当甲第一次到地时，乙共行了1400米．【分析】根据题意先画出图形，再设米，米，则第一次相遇他们走的路程分别为：甲米、乙米、丙米，第一次相遇到第二次相遇他们走的路程分别为：甲米、乙米、丙米，由于甲、乙、丙运动时间相同，则速度比等于路程比，得①，②，依此可求，再代入计算即可求解．【解答】解：如图：甲、乙、丙三人从地同时出发，如图①所示，第一次在处相遇，此时甲、乙、丙运动方向如图②所示，第二次在处相遇，此时甲、乙、丙运动方向如图③所示，设米，米，则第一次相遇他们走的路程分别为：甲米、乙米、丙米，第一次相遇到第二次相遇他们走的路程分别为：甲米、乙米、丙米，由于甲、乙、丙运动时间相同，则速度比等于路程比，得，即①，，即②，①②得，，代入①得，则，则，则甲和乙的速度之比为，甲再走100米，则乙再走700米，，，则乙共行了米．故答案为：1400．【点评】本题考查了应用类问题，正确理解甲、乙、丙的运动时间，路程与运动速度之间的关系是解题关键．3．（10分）已知：，则的最大值是6．【分析】根据题目中的不等式，可以可以设，然后求出、的值，再根据不等式的性质，即可得到的最大值．【解答】解：，设，则，，解得，，，，，，，即的最大值是6，故答案为：6．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答．二、解答题（每题10分，共30分）4．（10分）10个正整数围成一圈，每个数都等于它相邻两个数的最大公约数加1．这10个数的和是多少？【分析】设这10个数中最大的数为，与其相邻的两个数为，．由条件可知，且．如果，那么圆圈上的数为3，2，2，3，2，2，在只有10个数时不能成立，所以．可得圆圈上的10个数只能是4，3，2，2，3，4，3，2，2，3（首尾相邻），相加可求其和为28．【解答】解：设这10个数中最大的数为，与其相邻的两个数为，．由条件可知，这10个数中每个数都，从十，出发，可知，或者，，前者导致，与矛盾；后者导致（注意，这里都用到，．现设与相邻的另一个数为，则，故，即，于是，得．而．如果，那么圆圈上的数为3，2，2，3，2，2，在只有10个数时不能成立，所以．依托已知的5个数（注意，当时，，与，相邻的另一个数都为，与两个2相邻的数都必为2（不能为4，否则圆圈上数的个数要为3的倍数），故圆圈上的10个数只能是4，3，2，2，3，4，3，2，2，3（首尾相邻），其和为28．【点评】本题考查了约数与倍数，关键是得到且，注意分类思想的应用．5．（10分）已知：，，求的值．【分析】根据题意得到：，其中为正整数，再根据已知条件化简代入求值即可．【解答】解：，，，即，，，，上式可整理为：，设，，上式转化为：，，，，有，解得（不符合题意舍去）或，，故答案为：9．【点评】本题主要考查分式的条件求值，用字母表示代数式化简求值是解题的关键．6．（10分）有40个自然数：1、2、3、、39、40，至少从这40个数中取出多少个不同数，才能确保其中有四个不同数的和等于81？【分析】首先求得22个不同数不行，构：19，20，21，，40；其中最小4个数和为82，进一步考虑23个不同数，根据抽屉原理进行讨论即可求解．【解答】解：22个不同数不行，构：19，20，21，，40；其中最小4个数和为82．23个不同数可以，证：将这40个数分为20组：，，，，23数中至少有3组完整的，设为，；，；，；则重新将这40个数分为21组：，，，，，，23数中至少有完整1组2个数；设为，．则，，；，；，中与，中有