高中数学第二章平面向量2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4

2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义必备知识·自主学习导思(1)向量的数量积a·b与数乘向量的区别是什么?与实数乘法ab的区别是什么?(2)对于向量a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一定成立吗?1.向量的数量积的定义已知条件向量a,b是非零向量,它们的夹角为θ定义数量______________叫做a与b的数量积(或内积)记法a·b=______________规定零向量与任一向量的数量积为__|a||b|cosθ|a||b|cosθ0【思考】(1)把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗,为什么?提示:不可以,数量积是两个向量之间的乘法,在书写时,一定要严格,必须写成“a·b”的形式.(2)向量的数量积运算的结果仍是向量吗?提示:向量的数量积运算结果不是向量,是一个实数.2.向量的数量积的几何意义(1)投影的概念.如图所示:=a,=b,过B作BB1垂直于直线OA,垂足为B1,则OB1=_________.

_________叫做向量b在a方向上的投影,_________叫做向量a在b方向上的投影.

|b|cosθ|b|cosθ|a|cosθ(2)数量积的几何意义.a·b的几何意义是数量积a·b等于a的________与b在a的方向上的_____________的乘积.

长度|a|投影|b|cosθ【思考】(1)“向量b在a方向上的投影”与“向量a在b方向上的投影”是同一回事吗?提示:不是,当两向量夹角为θ时,向量b在a方向上的投影为|b|cosθ,向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.(2)投影一定是一个正数,对吗?提示:不对,当θ为锐角时,投影为正值;当θ为钝角时,投影为负值;当θ为直角时,投影为0.3.向量的数量积的性质设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角.(1)垂直的条件:a⊥b⇔________(2)当a与b同向时,a·b=_______;当a与b反向时,a·b=________.(3)模长公式:a·a=____或|a|=a·b=0.|a||b|-|a||b||a|23.向量的数量积的性质设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角.(1)垂直的条件:a⊥b⇔________(2)当a与b同向时,a·b=_______;当a与b反向时,a·b=________.(3)模长公式:a·a=____或|a|=a·b=0.|a||b|-|a||b||a|2(4)夹角公式:cosθ=

.(5)|a·b|≤_______.|a||b|【思考】(1)对于任意向量a与b,“a⊥b⇔a·b=0”总成立吗?提示:当向量a与b中存在零向量时,总有a·b=0,但是向量a与b不一定垂直,即a⊥b⇒a·b=0,但a·b=0⇒/a⊥b.(2)当“cosθ=”为负值时,说明向量a与b的夹角为钝角,对吗?提示:不对,cosθ==-1时,向量a与b的夹角为180°.4.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).【思考】“若a·b=a·c,则b=c”成立吗?提示:不成立.如a⊥b,a⊥c时,a·b=a·c,但b=c不一定相等.【思考】“若a·b=a·c,则b=c”成立吗?提示:不成立.如a⊥b,a⊥c时,a·b=a·c,但b=c不一定相等.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个向量的数量积是向量. (

)(2)向量b在a方向上的投影可以记为|b|cosθ. (

)(3)(a±b)2=a2±2a·b+b2. (

)(4)a·(b·c)=(a·b)·c. (

)提示:(1)×.两个向量的数量积没有方向,是实数,不是向量.(2)√.(3)√.(4)×.a·(b·c)与a共线,(a·b)·c与c共线,当a与c不共线时,a·(b·c)≠(a·b)·c.2.在△ABC中,BC=5,AC=8,∠C=60°,则= (

)

A.20 B.-20C.20 D.-20【解析】选B.=||||cos120°=5×8×=-20.3.(教材二次开发:练习改编)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角θ为 (

)【解析】选C.由条件可知,cosθ=又因为0≤θ≤π,所以θ=关键能力·合作学习类型一向量数量积及几何意义(逻辑推理、数学运算、直观想象)【题组训练】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= (

)

A.4 B.3 C.2 D.02.如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E,F分别为BC,CD的中点,则= (

)3.(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a,b满足=5,=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=(

)【解析】1.选B.a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.2.选D.因为菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,所以=2×2×cos60°=2,又因为3.选D.由a·(a+b)=+a·b=25-6=19,又所以cos<a,a+b>=【解题策略】求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a·b=|a||b|cosθ.求解时要注意灵活使用数量积的运算律.(2)若所求向量的模与夹角未知,应先选取已知模与夹角的两个向量作为基底,表示出所求向量,再代入运算.(3)求投影的两种方法:①b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ为a,b的夹角),a在b方向上的投影为|a|cosθ.②b在a方向上的投影为,a在b方向上的投影为.【补偿训练】1.(2020·广州高一检测)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,则= (

)【解析】选D.由题意知,2.已知单位向量e1,e2的夹角为,a=2e1-e2,则a在e1上的投影是________.

【解析】设a与e1的夹角为θ,则a在e1上的投影为|a|cosθ==a·e1=(2e1-e2)·e1=2-e1·e2=2-1×1×答案:

3.(1)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角θ为60°,求:①a·b;②(2a-b)·(a+3b).(2)设正三角形ABC的边长为

,求a·b+b·c+c·a.【解析】(1)①a·b=|a||b|cosθ=2×3×cos60°=3.②(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×22+5×3-3×32=-4.(2)因为|a|=|b|=|c|=,且a与b,b与c,c与a的夹角均为120°,所以a·b+b·c+c·a=××cos120°×3=-3.类型二与向量模有关的问题(直观想象、数学运算)【典例】1.(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a,b满足则 (

)

A.a⊥b B.C.a∥b D.2.已知向量a与b的夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|=,则|b|=________.

3.已知|a|=|b|=2,a·b=-2,若|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是________.

【思路导引】1.利用向量运算及模的几何意义.2、3利用向量模的公式a2=|a|2.【解析】1.选A.由|a+b|=|a-b|平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,则a⊥b.2.因为|2a+b|=,所以(2a+b)2=10,所以4a2+4a·b+b2=10.又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1,所以4×12+4×1×|b|×+|b|2=10,整理得|b|2+2|b|-6=0,解得|b|=或|b|=-3(舍去).答案:

3.因为|c-a-b|=1=|c-(a+b)|≥|c|-|a+b|,所以|c|≤1+|a+b|.又因为|a|=|b|=2,a·b=-2,

所以|c|≤3.同理|c-a-b|=1=|c-(a+b)|≥|a+b|-|c|,可得|c|≥|a+b|-1=2-1=1,故有1≤|c|≤3.答案:【解题策略】(1)利用数量积求模问题,是数量积的重要应用,解决此类问题的方法是对向量进行平方,即利用公式:a·a=a2=|a|2或|a|=,将向量运算转化为实数运算.(2)拓展公式:=a2±2a·b+b2=|a|2±2a·b+|b|2.【跟踪训练】1.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=__________.

【解析】因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·cos60°+4|b|2=22+4×2×1×+4×1=12,所以|a+2b|=2.答案:2

2.已知向量a,b满足|b|=5,|2a+b|=5,|a-b|=5,则|a|=________.

【解析】由已知有将b2=|b|2=25代入方程组,解得|a|=.答案:3.(2017·浙江高考)已知向量a,b满足,则的最小值是____________________,最大值是______________.

【解析】设a与b的夹角为θ,所以令所以y2=10+(-1≤cosθ≤1),所以y2∈,所以y∈答案:4

2

类型三向量坐标运算的应用(数学运算、逻辑推理)角度1求向量的夹角

【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 (

)【思路导引】利用夹角公式:cosθ=计算.【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为,故选B.【变式探究】若将本例条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余弦值.【解析】设a与b夹角为θ,因为|a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2.又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a|·|b|·cosθ=13|b|2+12|b|2cosθ,即9|b|2=13|b|2+12|b|2cosθ,故有cosθ=-.角度2向量垂直的应用

【典例】已知非零向量m,n的夹角为θ,且满足4|m|=3|n|,cosθ=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为 (

)

A.4 B.-4 C. D.-

【思路导引】利用向量垂直的充要条件求参数.【解析】选B.由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cosθ+|n|2=t×3k×4k×+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4.【解题策略】

1.求向量夹角的基本步骤2.向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b=0,利用数量积的运算代入,结合与向量的模、夹角相关的知识解题.【题组训练】1.在四边形ABCD中,=0,则四边形ABCD是 (

)A.矩形 B.菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形【解析】选B.因为即一组对边平行且相等,=0,即对角线互相垂直,所以四边形ABCD为菱形.2.已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为 (

)【解析】选C.设a与b的夹角为θ,因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,所以2|a|2+a·b=0,即2|a|2+|a||b|cosθ=0,因为|b|=4|a|,所以2|a|2+4|a|2cosθ=0,所以cosθ=-,因为θ∈[0,π],所以θ=π.3.(2020·济宁高一检测)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|.【解析】(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.将|a|=4,|b|=3代入上式,得a·b=-6,所以又0≤θ≤π,所以θ=.(2)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=13,所以|a+b|=.【拓展延伸】利用数量积解决夹角问题两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),也可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时).因此,要注意夹角θ的范围θ∈[0,π],当cosθ>0时,θ∈;当cosθ<0时,θ∈,当cosθ=0时,θ=.【拓展训练】已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,则k的取值范围为________.

【解析】因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=+(k2+1)e1·e2=2k>0,所以k>0.当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0°,不符合题意,舍去.综上,k的取值范围为k>0且k≠1.答案:(0,1)∪(1,+∞)【补偿训练】将本题中的条件“锐角”改为“钝角”,其他条件不变,求k的取值范围.【解析】因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为钝角,所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=+(k2+1)e1·e2=2k<0,所以k<0.当k=-1时,e1+ke2与ke1+e2方向相反,它们的夹角为π,不符合题意,舍去.综上,k的取值范围是k<0且k≠-1.1.设e1,e2是两个平行的单位向量,则下面的结果正确的是 (

)

A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1C.|e1·e2|=1 D.|e1·e2|<1课堂检测·素养达标【解析】选C.设e1与e2的夹角为θ,则e1·e2=|e1||e2|cosθ=±1.所以|e1·e2|=1.2.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为 (

)A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】选C.设a,b的夹角为θ.由题意a·c=a·(a+b)=|a|2+|a||b|cosθ=0.所以cosθ=-.所以向量a,b的夹角为120°.3.(教材二次开发:习题改编)已知向量a与b满足|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹角为120°.则(a-b)·(a+b)=________;(2a+b)·(a-b)=________.

【解析】(a-b)·(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2=100-9=91.因为|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹角为120°,所以a·b=10×3×cos120°=-15,所以(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2=200+15-9=206.答案:91

2064.已知向量a与b的夹角为θ,定义a×b为a与b的“向量积”,且a×b是一个向量,它的长度|a×b|=|a||b|sinθ,若|u|=2,|u+v|=2,(u+v)·u=6,求|u×(u+v)|.【解析】设u与u+v的夹角为θ,由题意知得sinθ=,由定义知|u×(u+v)|=|u|·|u+v|sinθ=2×2×=2.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneve