八年级数学培优(四)

八年级数学培优（4）

一、选择题

1.已知点M（l,a）和点N（2,b）是一次函数y=-2x+l的图象上的两点，则a与b的大小关系是（)

A.a>bB.a=bC.a<bD.以上都不对

2.下列说法正确的是（）

A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.矩形的对角线互相垂直

C.一组对边平行的四边形是平行四边形D.四边相等的四边形是菱形

3.一元二次方x2-3x+3=0的根的情况是（

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个相等的实数根D.没有实数根

4.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回

时.汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）

A.v=320tB.v=---•C.v=20tD.v=—~

tt

5.为防治雾霾，保护环境，某市掀起"爱绿护绿"热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%,设这两年的绿地

面积的平均增长率是X,则列出关于x的一元二次方程为（）

A.x2=l+21%B.(1-x)2=21%C.(1+x)2=21%D.(1+x)2=1+21%

6.如图，四边形ABCD,AD与BC不平行，AB=CD.AC,BD为四边形ABCD的对角线.E,F,G,H分别是BD,

BC,AC,AD的中点.

下列结论：①EG_LFH；②四边形EFGH是矩形；

③HF平分/EHG；④EG总（BC-AD）；⑤四边形EFGH是菱形.

其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

7.一元二次方程x2-2x=0的解是.

8.若关于x的一元二次方程kx2-2x-l=0有两个实数根，则k的取值范围是—.

9.如图，正4AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，

则/B的度数是—.

10.如图，在矩形ABCD中，AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于

点E,则AD的长为.

11.如图是我市将要开发的一块长方形的土地，长为xkm,宽为3km,建筑开发商将这块土地分为甲、乙、丙三

部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公

园，若已知丙地的面积为2km2,则x的值为.

12.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点。，E为BC上一点，CE=5,F为

DE的中点.若4CEF的周长为18,则OF的长为.

三、解答题

13.用适当的方法解方程：

（1）x2-4x+3=0；（2）（3-x）2+x2=9.

2x—y=0,

14'已知直线y=2x与y=-x+b的交点坐标为（1'a）,试确定方程组的解和4b的值.

15.某商场经营一种海产品，进价是每千克20元，根据市场调查发现，每日的销售量y（千克）与售价x（元/

千克）是一次函数关系，如图所示：

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量取值范围）；

（2）某日该商场出售这种海产品获得了21000元的利润，该海产品的售价是多少？

》（千克）

16.如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm,动点P从点A出发，在正方形的边上沿A-B-C-D运动,

设运动的时间为t(s),三角形APD的面积为S(c泊，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：

(1)点P在AB上运动的时间为_______s,在CD上运动的速度为cm/s,三角形APD的面积S的最大

值为cm-,

(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式;

(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10cm

(第6题)

五、解答题

17.Z\ABC中，NBAC=90。，AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边在AD右侧作

正方形ADEF,连接CF.

(1)观察猜想

如图1,当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为：.

②BC,CD,CF之间的数量关系为：.—;(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考

如图2,当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写

出正确结论再给予证明.

(3)拓展延伸

如图3,当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2近，CD=：BC,请求出

GE的长.

18.如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B.

(1)求一次函数的解析式；

(2)判断点C(4,一2)是否在该一次函数的图象上，说明理由;

⑶若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积.

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+l与y=-*+3交于点yj,两直线分别交

轴于

点B和点C.

(1)求点B,C的坐标;

(2)求AABC的面积.

20.如图，在4ABC中,AB=AC,AD_LBC,垂足为点D,AN是4ABC的外角/CAM的平分线,CE_LAN,垂足为点E.

⑴求证:四边形ADCE为矩形.

⑵当4ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.

八年级数学培优(4)

6.如图，四边形ABCD,AD与BC不平行，AB=CD.AC,BD为四边形ABCD的对角线.E,F,G,H分别是BD,

BC,AC,AD的中点.

下列结论：①EG_LFH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分NEHG；

④EG」-(BC-AD)；⑤四边形EFGH是菱形.

2

其中正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：：E,F分别是BD,BC的中点,

；.EF是4BCD的中位线，.'.EF=-CD,

2

同理可得，GH=—CD,FG=—AB,EH=—AB,又：AB=CD,，EF=FG=GH=HE,

222

四边形EFGH是菱形，故⑤正确，②错误，；.EGJ_FH,HF平分/EHG,故①、③正确,

如图所示，取AB的中点P,连接PE,PG,

；E是BD的中点，G是AC的中点，

；.PE是4ABD的中位线，PG是AABC的中位线,

.,.PE=—AD,PG」-BC,PE〃AD,PG〃BC,

22

VAD与BC不平行,APE与PG不平行，

.'.△PEG中,EG>PG-PE,

...EG>=BC-gAD,即EG>g(BC-AD),故④错误.综上所述，正确的有①③⑤.

222

故选：c.

二、填空题

9.如图，正4AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、

上，则/B的度数是80。.

【解答】解：在菱形ABCD中，ZB=ZD,

:正aAEF的边长与菱形ABCD的边长相等，；.AB=AE,AD=AF,

/.ZBAE=180°-2ZB,ZDAF=180°-2ZD,又：NEAF=60°,

.•.180°-2ZB+60°+180°-2ZD+ZB=180°,整理得，3NB=240°,解得/B=80°.

故答案为：80°.

10.如图，在矩形ABCD中，AB=3,对角线AC,BD相交于点。，AE垂直平分OB于点E,则AD的长为」退一

【解答】解：：四边形ABCD是矩形，

.\OB=OD,OA=OC,AC=BD,

AOA=OB,：AE垂直平分。B,.*.AB=AO,/.OA=AB=OB=3,

BD=2OB=6,AD=^g[)2~AB2=V62-32=3V3：故答案为：3y

13.如图是我市将要开发的一块长方形的土地，长为xkm,宽为3km,建筑开发商将这块土地分为甲、乙、丙三

部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园，若已知丙地的面积

为2km2,则x的值为4km或5km.

3甲____

【考点】一元二次方程的应用.|

【分析】根据叙述可以得到甲，是边长是3km的正方形，乙是边长是(x-3)km的正

方形，丙的长是(x-3)km,宽是[3-(x-3)]km,根据矩形的面积公式即可列方程求解.

【解答】解：根据题意，得

2解得

(x-3)[3-(x-3)]=2,gpx-9x+20=0,xi=4,x2=5.

故x的值为4km或5km,故答案为：4km或5km.

15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点，CE=5,F为DE的中点.若aCEF

.,.CF+EF=18-5=13.

•・・F为DE的中点,

VZBCD=90°,

ACF=—DE,

2

.\EF=CF=4DE=6.5,

2

ADE=2EF=13,

22=22=12

ACD=VDE-CEV13-5-

•..四边形ABCD是正方形，

ABC=CD=12,。为BD的中点,

.".OF是aBDE的中位线,

，0F上(BC-CE)=^~(12-5)=—.

222

故答案为：

三、解答题

19.某商场经营一种海产品，进价是每千克20元，根据市场调查发现，每日的销售量y(千克)与售价x(元/

千克)是一次函数关系，如图所示：

(1)求y与x的函数关系式(不求自变量取值范围)；

(2)某日该商场出售这种海产品获得了21000元的利润，该海产品的售价是多少？

(千克)

【解答】解：(1)设y与x的函数关系式为：y=kx+b,

将(25,950),(40,800)代入得：

’25k+b=950

140k+b=800

解得：,

lb=1200

故y与x的函数关系式为：y=-lOx+1200；

(2)由(1)得：(-lOx+1200)(x-20)=21000,

解得：xi=50,X2=90,

答：该海产品的售价是50元或90元.

20.Z^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点（点D不与B,C重合），以AD为边在AD右侧作

正方形ADEF,连接CF.

（1）观察猜想

如图1,当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为：垂直.

②BC,CD,CF之间的数量关系为：BC=CD+CF；（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考

如图2,当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写

出正确结论再给予证明.

（3）拓展延伸

如图3,当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2，］,CD=-1-BC,请求出

GE的长.

【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF,

,/ZBAC=ZDAF=90°,ZBAD=ZCAF,

，AD=AF

在4DAB与AFAC中，,NBAD二NCAF，.,.△DAB丝△FAC,，/B=NACF,

心AC

，/ACB+NACF=90。，即BC_LCF；故答案为：垂直；

②4DAB丝/XFAC,；.CF=BD,VBC=BD+CD,/.BC=CF+CD；故答案为：BC=CF+CD；

(2)CF_LBC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC.,正方形ADEF中，AD=AF,

•.•/BAC=NDAF=90°,NBAD=/CAF,

，亚AF

在ADAB与aFAC中，<ZBAD=ZCAF>/.△DAB^AFAC,AZABD=ZACF,