专题01勾股定理的基本应用(原卷版+解析)

专题01勾股定理的基本应用题型一求面积1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为A．2 B．3 C．4 D．52．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为6、10、24，则正方形的面积为A．4 B．6 C．8 D．123．如图，点是线段上的一点，分别以、为边向两侧作正方形．设，两个正方形的面积和，则图中的面积为A．4 B．6 C．8 D．104．正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为A． B． C． D．5．如图，以正方形的边为直径作一个半圆，点是半圆上一个动点，分别以线段、为边各自向外作一个正方形，其面积分别为和，若正方形的面积为10，随点的运动的值为A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定6．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是A．5 B．4 C．3 D．27．如图，中，，平分，交于点，，，则的面积是A．18 B．24 C．36 D．728．如图，中，，，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、，则等于A．60 B．80 C．90 D．1209．如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为4和10，则的面积为．10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，，，，点，，，，，都在矩形的边上，则空白部分的面积为．11．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾，弦，则小正方形的面积是．12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为4、6、18，则正方形的面积为．13．如图，在同一平面内，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为．14．如图，正方形、、的面积分别为25、9、16，、、的面积分别为、、，则．题型二求线段长15．一个大正方形，被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别为10和6，则小长方形的对角线的长为A．4 B．6 C．10 D．1616．如图，在中，，以为边在外作正方形，其面积为9，以为斜边在外作等腰直角三角形，其面积为4，过点作交于点，则A． B． C． D．217．如图，在中，，于．已知，的周长为，则的长为A．5 B． C． D．618．若中，，，高，则的长为．A．28或8 B．8 C．28 D．以上都不对19．如图，在中，是边上的中线，于，且，，，则的长．20．如图，锐角三角形中，，，，则的面积为．21．如图所示，的顶点、、在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为．22．如图，在中，，，，的中垂线交于点，交于点．延长交的延长线于点，连接．（1）求出的长；（2）求出的长．23．如图，在中，，于点，，分别交，于点、．（1）如图1，若，，求的长度；（2）如图2，若，求证：．24．如图，在中，，垂足为点，，，．（1）求的长；（2）求的长．题型三通过勾股定理设方程25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，即赵爽弦图．连接，分别交、于点，，连接．已知，且，则图中阴影部分的面积之和为A． B． C． D．26．如图，在中，，点是的中点，点在上，．若，，则的长为A．3 B．4 C．5 D．27．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则斜边的长是A． B． C． D．28．在长方形中，，，，延长至点，连接，平分，则．29．如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，且．那么等于．30．阅读理解如图，在中，，，，过点作直线的垂线，垂足为，求线段的长．解：设，则．，．在中，，在中，，．又，，．解得，．．知识迁移（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为．如图1，若，求线段的长；若，求线段的长．（2）如图2，在中，，，过点作直线的垂线，交线段于点，将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长．专题01勾股定理的基本应用题型一求面积1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：设大正方形的边长为，则，，，解得，小正方形的面积是：，故选：．2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为6、10、24，则正方形的面积为A．4 B．6 C．8 D．12【解答】解：由题意：，，正方形、、的面积依次为6、10、24，，．故选：．3．如图，点是线段上的一点，分别以、为边向两侧作正方形．设，两个正方形的面积和，则图中的面积为A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：设，，由题意得：，，，，，的面积．图中的面积为4．故选：．4．正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为A． B． C． D．【解答】解：在图中标上字母，如图所示．正方形的边长为1，为等腰直角三角形，，，．观察，发现规律：，，，，，．当时，，故选：．5．如图，以正方形的边为直径作一个半圆，点是半圆上一个动点，分别以线段、为边各自向外作一个正方形，其面积分别为和，若正方形的面积为10，随点的运动的值为A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定【解答】解：为半圆的直径，，，，，．故选：．6．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：，，，．在和中，，，，．，．，，故①②正确；，，四边形的面积是；故③正确；梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积，，．故③④⑤都正确．故选：．7．如图，中，，平分，交于点，，，则的面积是A．18 B．24 C．36 D．72【解答】解：作于，如图，平分，，，，．故选：．8．如图，中，，，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、，则等于A．60 B．80 C．90 D．120【解答】解：连接，过点作于点，，，而，，，故；同理，，，，四边形是矩形，，，，，三点共线，又，，而，，，同理可证，，同理可证，，，综上所证：．故选：．9．如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为4和10，则的面积为14．【解答】解：如图，、、都为正方形，，，，，，，，在和中，，，，在中，，的面积为14．故答案为14．10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，，，，点，，，，，都在矩形的边上，则空白部分的面积为60．【解答】解：如图，延长交于点，延长交于点，所以，四边形是正方形，，，，，，，因此，矩形的面积为，空白部分的面积为，故答案为：60．11．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾，弦，则小正方形的面积是4．【解答】解：如图，勾，弦弦，股，小正方形的边长，小正方形的面积．故答案是：4．12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为4、6、18，则正方形的面积为8．【解答】解：由题意：，，正方形、、的面积依次为4、6、18，，．故答案为：8．13．如图，在同一平面内，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为6．【解答】解：如图，作交的延长线于点，交的延长线于点，四边形、、都是正方形，且正方形、的面积分别为9、4，，，，，，，，在和中，，，，，；，，，，，，，，，，在和中，，，，；在和中，，，，，，阴影部分的总面积为6．14．如图，正方形、、的面积分别为25、9、16，、、的面积分别为、、，则18．【解答】解：，，且，过点作，交的延长线于点，，，，，，，，，同理：，，，．故答案为：18．题型二求线段长15．一个大正方形，被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别为10和6，则小长方形的对角线的长为A．4 B．6 C．10 D．16【解答】解：如图，两个小正方形的面积分别为10和6，，，由勾股定理得，．故选：．16．如图，在中，，以为边在外作正方形，其面积为9，以为斜边在外作等腰直角三角形，其面积为4，过点作交于点，则A． B． C． D．2【解答】解：以为边的正方形的面积为9，，以为斜边的等腰直角三角形的面积为4，等腰直角三角形的腰长为，，在中，，则，，，解得：，由勾股定理得：，故选：．17．如图，在中，，于．已知，的周长为，则的长为A．5 B． C． D．6【解答】解：如图所示：的周长为，，，，，，即，，，，；故选：．18．若中，，，高，则的长为．A．28或8 B．8 C．28 D．以上都不对【解答】解：为边上的高，．在中，，在中，．当点在线段上时，如图1，；当点在线段的延长线上时，如图2，．的长为28或8．故选：．19．如图，在中，是边上的中线，于，且，，，则的长2．【解答】解：设，则，在中，，在中，，，即，解得，，则，，贵答案为：2．20．如图，锐角三角形中，，，，则的面积为．【解答】解：过作于，延长到使，则，，，，，，，，，，，，即，解得：，的面积，故答案为：．21．如图所示，的顶点、、在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为3．【解答】解：由图形可知，，边上的高为3，的面积，由勾股定理得，，则，解得，，故答案为：3．22．如图，在中，，，，的中垂线交于点，交于点．延长交的延长线于点，连接．（1）求出的长；（2）求出的长．【解答】解：（1）在中，，，，则，是的中垂线，；（2）是的中垂线，，，，在中，，即，解得：．23．如图，在中，，于点，，分别交，于点、．（1）如图1，若，，求的长度；（2）如图2，若，求证：．【解答】（1）解：如图1，，，，，，中，，，中，，是等腰直角三角形，，；（2）证明：如图2，在上取一点，使，连接、在和中，，，，，，，，，，，，，中，由勾股定理得：，．24．如图，在中，，垂足为点，，，．（1）求的长；（2）求的长．【解答】解：（1），．在中，，，．，．（2）在中，，，．，．．题型三通过勾股定理设方程25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，即赵爽弦图．连接，分别交、于点，，连接．已知，且，则图中阴影部分的面积之和为A． B． C． D．【解答】解：，，设，则，，，根据题意可知：，，，，，阴影部分的面积之和为：．故选：．26．如图，在中，，点是的中点，点在上，．若，，则的长为A．3 B．4 C．5 D．【解答】解：如图，连接，的垂直平分线交、于点、，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即，故选：．27．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则斜边的长是A． B． C． D．【解答】解：设，则，，，，，，，故选：．28．在长方形中，，，，延长至点，连接，平分，则．【解答】解：如图，延长，交于点，连接，过点作于，过点作于，四边形是矩形，且，，，，，，平分，，，，，是等腰三角形，，，是等腰三角形，，，和是等腰三角形腰上的高，，，，，中，，设，则，中，，解得：，．故答案为：．29．如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，且．那么等于6．【解答】解：，，设为，为，由勾股定理得：，，，