福建省龙岩市2024-2025学年高一数学上学期第一次月考试题含解析

Page16福建省龙岩市2024-2025学年高一数学上学期第一次月考试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】依次推断出各数所属于的数域范围，进而推断出正误.【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；是整数，③错误；是自然数，④错误；0是有理数，⑤错误，所以正确的个数为1．故选：A．2.已知命题，，则为（）．A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】“存在一个符合”的否定为“随意一个都不符合”【详解】“存在一个符合”的否定为“随意一个都不符合”，故为，.故选：B3.若，则下列结论肯定成立是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据，可得，推断A;利用作差法可推断B,C,D,即得答案.【详解】因为，则，A错误；因为，则因为，故，所以，B错误；因为，故，即，C错误；因为，故，则，D正确，故选：D4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负即可推断.【详解】因为，所以，为奇函数，所以C错误；当时，，所以A，D错误，B正确.故选：B.5.“”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合包含关系干脆推断即可.【详解】，因为，所以是的必要不充分条件.故选：B.6.若，则有（）A.最小值 B.最小值 C.最大值 D.最大值【答案】D【解析】【分析】依据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值．故选：D.7.对于函数，下列说法正确的是（）A.若，．则函数的最小值为B.若，，则函数的单调递增区间C.若，，则函数是单调函数D.若，，则函数是奇函数【答案】D【解析】【分析】A选项，举出反例；B选项，单调区间不能用；C选项，函数在，上分别单调递增，但在定义域上不单调；D选项，依据奇函数定义可得到是奇函数.【详解】对于A，若，，则当时，，故A中说法错误；对于B，的单调递增区间应为，，故B中说法错误；对于C，的定义域为，当，时，在，上分别单调递增，但在定义域上不单调，故C中说法错误；对于D，的定义域为，关于原点对称，且，故是奇函数，故D中说法正确，故选：D．8.已知函数．若，则实数的取值范围是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得，将问题转化为，进而作出函数的图像，数形结合求解即可.【详解】解：当时，，解得，当时，，解得，所以，当时，，令时，或；令时，；令时，或，所以，作出函数的图像如图，当时，实数的取值范围是.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）．A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依据所给图中阴影部分，结合集合的运算，可得答案.【详解】由已知图中阴影部分可知，阴影为集合的交集和的交集的并集，故阴影部分可表示为或，所以A,C正确，B,D错误，故选：10.下列四个命题中的假命题为（）．A.，B.全部素数都是奇数C.“为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件D.命题，命题，则p是q的充分不必要条件【答案】BCD【解析】【分析】依据存在量词命题的真假的推断方法推断A，依据素数的定义推断B，结合充分条件和必要条件的定义推断C，D.【详解】当时，，所以A正确;因为为素数，但是偶数，所以B错误;当，时，为空集，但A与B都不是空集，所以“为空集”不是“A与B至少一个为空集”的充分条件，C错误;因为不等式等价于，p不是q的充分条件，D错误.故选：BCD.11.下列对应中是函数的是（）．A.，其中，，B.，其中，，C.，其中y为不大于x的最大整数，，D.，其中，，【答案】AC【解析】【分析】依据给定条件，利用函数的定义逐项分析推断作答.【详解】对于A，对集合中的每个元素x，依据，在中都有唯一元素y与之对应，A是；对于B，在区间内存在元素x，依据，在R中有两个y值与这对应，如，与之对应的，B不是；对于C，对每个实数x，依据“y为不大于x的最大整数”，都有唯一一个整数y与之对应，C是；对于D，当时，依据，在中不存在元素与之对应，D不是.故选：AC12.对于定义在D函数若满意：①对随意的，；②对随意的，存在，使得．则称函数为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（）．A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】依据已知“等均值函数”的定义，逐项分析验证所给函数是否满意所给的两个条件，即可推断答案.【详解】对于定义域为R，满意，满意，对随意的，存在，使得,故A正确；对于，若，则，则，若，则，则，即满意①；对随意的，存在，使得，对随意的，存在，使得，即满意②，故B正确；对于，定义域为，对随意的，都有成立，满意①；对随意的，存在，使得，即满意②，故C正确；对于，定义域为，当时，，故对随意的，不成立，故D错误，故选：ABC第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.假如不等式的解集，则a的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】由于不等式是含参不等式，对a进行分类探讨来解即可.【详解】不等式的解集，皆不满意题意，．故答案为：.14.已知全集U=R集合，，则______．【答案】或【解析】【分析】依据集合A可求得集合B，依据补集的运算即可求得答案.【详解】由集合可知,所以，故，所以或,故答案为：或15.已知正实数满意，则的最小值为___________.【答案】8【解析】【分析】依据结合基本不等式即可得解.【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为8.故答案为：8.16.设表示不大于的最大整数，则下列说法不正确的是______．①②③④的解集是【答案】①③④【解析】【分析】对于①，取代入推断即可；对于②，设，，再分和两种状况探讨推断；对于③，设，，，，再分和两种状况探讨推断；对于④，当时代入推断即可.【详解】解：对于①，取，则，，明显，故选项①不正确；对于②，设，，则，，，当时，，，，，，所以，，所以，当时，，，，，，所以，，所以，综上所述恒成立，故选项②正确；对于③，设，，，，所以，，当时，，此时，当时，，此时，综上所述，故选项③错误；对于④，当时，，此时不成立，故选项④不正确；综上，说法不正确的是①③④故答案为：①③④四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，集合．（1）求，；（2）求的全部子集，并求出它的非空真子集的个数．【答案】（1）；（2）子集为，，，，非空真子集有2个【解析】【分析】（1）确定集合A的元素，依据集合的交集和并集运算求得答案;（2）依据的元素，即可写出其子集，进而确定真子集的个数.【小问1详解】由题意得，，所以，；【小问2详解】因为，所以其子集有：，，，，非空真子集有2个.18.已知函数（其中）．（1）当时，解关于x的不等式；（2）若解集为，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）对进行分类探讨，结合开口方向以及判别式求得的取值范围.【小问1详解】当时，由得，，解得，所以不等式的解集为.【小问2详解】依题意恒成立，即恒成立，当时，不恒成立，不符合题意.当时，不恒成立，不符合题意.当时，要使恒成立，则需，，解得.所以的取值范围是.19.已知函数，．（1）用单调性定义证明在上单调递减，并求出其最大值与最小值；（2）若在上的最大值为m，且，求的最小值．【答案】（1）证明见解析，，（2）3【解析】【分析】（1）依据函数单调性的定义证明，再结合单调性求最值即可；（2）依据（1）得，进而利用基本不等式整体代换的用法求解即可．【小问1详解】解：设，是区间上的随意两个实数，且，则因为，且，所以，，所以，即，所以函数在上单调递减，所以，．【小问2详解】解：由（1）知在上的最大值为，所以，所以，因为，，所以，，所以，当且仅当，且，即，时等号成立，所以的最小值为3.20.某厂家拟进行某产品的促销活动，依据市场状况，该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元满意关系式（k为常数），假如不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品须要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元．（注：利润＝销售收入－生产投入－促销费用）（1）将y表示为x的函数；（2）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？【答案】（1），（2）月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为6万元【解析】【分析】（1）由时，，代入求得，由利润=销售收入－生产投入－促销费用，列出函数关系，即可得出结果；（2）由（1）知，利用基本不等式即可求得最大利润.【小问1详解】由题意知当时，，代入则，解得，．利润，又因为，所以，．【小问2详解】由（1）知，因为时，，因为，当且仅当时等号成立所以，故月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为6万元21.已知是定义在R上的函数，且，时，．（1）求函数的解析式；（2）设，且在R上单调递减，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函数的奇偶性求解析式；（2）依据单调性建立不等式可求解.【小问1详解】由题意，任取，则，故有，因为是定义在R上的函数，且，即函数是定义在R上的奇函数，∴时，，又时，，即，所以．【小问2详解】当时，，在单调递减又当时，，且在R上单调递减，所以，解得，即m的取值范围为．22.定义函数与在区间I上是同步的：对，都有不等式恒成立．（1）函数与在区间上同步，求实数b的取值范围；（2）设，函数与在以a，b为端点的开区间上同步，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据函数新定义结合，时，可得，即得答案；（2）依据函数新定义可知恒