四川省成都市郫都区2024-2025学年高一数学上学期期中试题含解析

Page19四川省成都市郫都区2024-2025学年高一数学上学期期中试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（）A. B. C. D.3.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）.A.， B.，C.， D.，4.函数的大致图象是（）.A. B.C. D.5.函数，若，则实数a的值为（）A.±1 B.-2或±1 C.-1 D.-2或-16.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.7.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满意的的取值范围是（）A.[－2，2] B.[－1，2] C.[0，4] D.[1，3]8.函数的定义域是（）.A. B. C. D.9.设，则可表示A. B. C. D.10.已知，定义运算“”：，设函数，，则的值域为A. B. C. D.11.已知函数，则关于的不等式的解集为（）.A. B. C. D.12.设函数，若，且，则取值范围是（）.A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若集合，则集合的子集个数为__________.14.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)的定义域是___________，值域___________.15.若是奇函数，则___________．16.已知函数，若在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.计算：（1）.（2）.18.已知全集，，.（1）求；（2）若且，求的取值范围.19.已知函数.（1）请推断函数在和内的单调性，并用定义证明在的单调性.（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.20.设函数，（且），若.（1）求函数定义域；（2）推断的奇偶性，并说明理由；（3）求使成立的的集合.21.经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间(单位：天)的函数，且销售量满意=，价格满意=．(1)求该种商品日销售额与时间的函数关系；(2)若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到志向程度，请推断该商品在哪几天的收益达到志向程度?22.已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.（1）若，，证明：函数必有局部对称点.（2）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.2024〜2024学年四川成都郫都区高一上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求集合，再求集合交集与并集即可得答案.【详解】解：因为，所以，，故选：A.【点睛】本题考查指数不等式，集合交并集运算，是基础题.2.设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后依据集合的基本运算即可求解．【详解】解：∵全集，集合，，∴，∴．故选：D．3.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）.A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】分别推断四个选项中每两个函数的定义域和对应关系是否相同，即可得正确选项.【详解】对于A选项：因为的定义域为，而的定义域为，所以与的定义域不同，故与不是同一个函数，故选项A错误.对于B选项：因为的定义域为，而的定义域为，所以与的定义域不同，故与不是同一个函数，故选项B错误.对于C选项：因为定义域为，而的定义域为，所以与的定义域不同，故与不是同一个函数，故选项C错误.对于D选项：因为的定义域为，值域为，而的定义域为，值域为，与表示的是同一个函数，故选项D正确.故选：D.4.函数的大致图象是（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】去肯定值符号后依据指数函数的图象与性质推断．【详解】由函数解析式可得：可得值域为：，由指数函数的性质知：在上单调递增；在上单调递减.故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，推断图象的左右位置；从函数的值域，推断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，推断图象的改变趋势；(3)从函数的奇偶性，推断图象的对称性；(4)从函数的特征点，解除不合要求的图象.5.函数，若，则实数a的值为（）A.±1 B.-2或±1 C.-1 D.-2或-1【答案】C【解析】【分析】依据分段函数解析式，分段求解，即可得答案.详解】当时，令，与冲突，不合题意；当时，令，取，符合题意，故选：C6.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据指数函数、对数函数的性质结合中间值0和1比较．【详解】由指数函数性质得，，由对数函数性质得，∴．故选：A．【点睛】本题考查比较幂与对数，驾驭指数函数与对数函数的性质是解题关键．解题方法是借助中间值比较大小．7.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满意的的取值范围是（）A.[－2，2] B.[－1，2] C.[0，4] D.[1，3]【答案】D【解析】【分析】依据奇函数的性质，并依据函数的单调性求解即可.【详解】由函数为奇函数，得，不等式即为，又在单调递减，∴得，即﹒故选：D．8.函数的定义域是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由二次根式下被开方数非负，对数的真数大于0，及分母不为0可得．【详解】要使函数有意义，则，即，即，则且，即函数的定义域为.故选：D.9.设，则可表示为A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：利用换底公式和对数运算性质计算即可.详解：，.故选B.点睛：本题考查了换底公式和对数的运算性质.10.已知，定义运算“”：，设函数，，则的值域为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据条件中给出的新定义，写出的解析式，然后分段求其值域，得到答案.【详解】函数，当，所以当时，；当时，所以由题意，当时，当时，单调递增，所以所以的值域为，故选C．【点睛】本题考查分段函数求值域，通过函数的单调性求值域，属于简洁题.11.已知函数，则关于的不等式的解集为（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数推断其奇偶性，进而将不等式转化为，再利用函数单调性解不等式即可．【详解】令函数，则，对随意的，，可得，所以，函数的定义域为，则为奇函数，所以有，即，由，即，即，令，则该函数的定义域为，，则函数为奇函数，由于函数在上单调递增，则该函数在上也为增函数，所以，函数在上为增函数，由于函数在上为增函数，函数在上也为增函数，所以，在上单调递增，∴，计算得出，∴原不等式的解集为.故选：A.【点睛】关键点点睛：通过视察，发觉其局部具有奇偶性，进而可构造奇函数，另外单调性法是解抽象函数不等式的常用方法，对于困难函数，也可以通过视察出其单调性，再利用单调性解不等式．12.设函数，若，且，则的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数图象，数形结合可得出，即可求出.【详解】函数的图象如图：，且，可得.故选：D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若集合，则集合的子集个数为__________.【答案】8【解析】【分析】依据集合子集的定义和公式即可得到结论．【详解】记是集合中元素的个数，集合的子集个数为个.故答案为8【点睛】本题主要考查集合子集个数的求解，含有n个元素的子集个数为2n个，真子集的个数为2n-1个．14.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)的定义域是___________，值域是___________.【答案】①.②.【解析】【分析】由函数图像干脆求函数的定义域和值域【详解】解：由函数图像可知，函数的定义域为，值域为，故答案为：，【点睛】此题考查由函数的图像求函数的定义域和值域，属于基础题15.若是奇函数，则___________．【答案】【解析】【详解】，故．16.已知函数，若在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】先作函数图象，结合图象分类确定最大值为1所满意的条件，解得结果.【详解】因为，作函数图象：由图象得【点睛】在探讨函数性质特殊是单调性、最值、零点时，要留意用好其与图象的关系，结合图象探讨.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.计算：（1）.（2）.【答案】（1）；（2）111.【解析】【分析】（1）依据对数的运算性质即可求解；（2）先将根式化成分数指数幂，再利用指数的运算性质即可求解.【详解】（1）.（2）.18.已知全集，，.（1）求；（2）若且，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）先求出，再求．（2）由可得，分和两种状况探讨求解．试题解析：（1）由题意得，∵，∴，∴．（2）∵，∴．①当时，满意，此时，解得；②当，由得，解得．综上．∴实数的取值范围为．点睛：解答本题时要留意以下几点：（1）在解题中留意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B这几个关系式的等价性，要擅长将问题进行转化，这是解决此类问题的一种极为有效的方法．（2）对于数集关系问题，往往要利用数轴进行分析；当依据求参数的范围时，肯定要分和两种状况进行探讨．19.已知函数.（1）请推断函数在和内的单调性，并用定义证明在的单调性.（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在内单调递减，在内单调递增，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由单调性的定义证明；（2）分别参数不等式变形为在时恒成立，然后由函数的单调性得右边的最小值即可得结论．【详解】（1）在内单调递减，在内单调递增.任取且，.因为，所以，，所以，因为，即，因此，函数在上是单调减函数.（2）由在时恒成立，得在时恒成立，由（1）知，函数在减函数，所以当时，取得最小值，，所以，因此，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：本题考查用定义证明函数的单调性，考查不等式恒成立问题，解决不等式恒成立的常用方法是用分别参数法转化为求函数的最值．在不能分别参数时，可干脆引入函数，利用分类探讨思想求得函数的最值，由最值满意的不等关系得出参数范围．20.设函数，（且），若.（1）求函数的定义域；（2）推断的奇偶性，并说明理由；（3）求使成立的的集合.【答案】（1）；（2）奇函数，理由见解析；（3）时，；时，【解析】【分析】（1）由题意得到解析式，得到关于的不等式，解得的范围，从而得到定义域；（2）对进行化简，得到，从而进行推断；（3）分和两种状况，分别得到关于的不等式，从而解出的范围，得到答案.【详解】（1）函数，，所以所以，解得，所以函数定义域为（2）由（1）可知，定义域为，关于原点对称，所以为奇函数（3），即即所以，当时，得到，解得，当时，得到，解得，综上所述，时，；时，【点睛】本题考查求函数的定义域，推断函数的奇偶性，解对数不等式，属于简洁题.21.经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间(单位：天)的函数，且销售量满意=，价格满意=．(1)求该种商品的日销售额与时间的函数关系；(2)若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到志向程度，请推断该商品在哪几天的收益达到志向程度?【答案】（1）=，（2）天数为第53，54，…60，61天，共9天．【解析】【分析】（1）利用=，通过的范围求出函数的解析式；（2）令解出的范围即可得出结论．【详解】(1)由题意知，当时，==

=，当时，===，所求函数关系=．(2)当时，==，∴函数在上单调递增，∴==(元)，当时，==，∴函数在上单调递减，∴==(元)．若销售额超过16610元，当时，函数单调递减，故只有第61天满意条件．当时，经计算满意条件，又函数在上单调递增，∴第53，54，…，60天，满意条件，即满意条件的天数为第53，54，…60，61天，共9天．【点睛】本题考查了分段函数在实际问题中的综合应用，留意自变量在不同范围内对应的解析式，属于中档题．22.已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.（1）若，，证明：函数必有局部对称点.（2）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由定义可知有解，整理后转化为证明一元二次方程恒有解；（2）依据整理为（*）在上有解，通过换元，设，转化为关于的一元二次方程在内有解，列式求参数的取值