2024徐州中考数学二轮重难题型专题训练 题型一 规律探索题 (含答案)

2024徐州中考数学二轮重难题型专题训练题型一规律探索题基础小练(1)若一列正整数：1，2，3，4，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是______，这n(n≥1)个数的和为______．(2)若一列数：1，3，5，7，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是______，这n(n≥1)个数的和为______．(3)若一列数：2，4，6，8，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________，这n(n≥1)个数的和为________．(4)若一列数：－1，1，－1，1，－1，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(5)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．能力提升(6)若一列数：1，4，9，16，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(7)若一列数：2，5，10，17，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(8)若一列数：0，3，8，15，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(9)若一列数：4，7，10，13，17，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(10)若一列数：2，6，12，20，…，n，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．类型一图形累加型典例精讲例下列图形都是由同样大小的三角形按照一定规律所组成的，其中图①中一共有3个三角形，图②中一共有6个三角形，图③中一共有10个三角形，…，按此规律排列下去，则图⑨中三角形的个数为________，图中三角形的个数为________．例题图55，eq\f(（n＋1）（n＋2）,2)【解析】设第一个图形中三角形的个数为3＝1＋2，第二个图形中三角形的个数为6＝1＋2＋3，第三个图形中三角形的个数为10＝1＋2＋3＋4，…，第n个图形中三角形的个数为an，根据题意列表如下：图序n三角形个数an的值11＋221＋2＋331＋2＋3＋4……n1＋2＋3＋…n＋n＋1由列表可知，图⑨中三角形的个数为1＋2＋3＋…＋9＋10＝55，图中三角形的个数为1＋2＋3＋…n＋n＋1＝eq\f(（n＋1）（n＋2）,2).针对训练1.如图是以菱形为基本图形组成的一组有规律的图案，图①中有3个菱形，图②中有5个菱形，图③中有7个菱形，…，按此规律摆下去，图中菱形的个数为________．第1题图2.下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第________个图形共有210个小球．第2题图3.如图，每个图案均由大小相同的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中正三角形的个数比圆的个数多________个．(由含n的代数式表示)第3题图4.下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定的规律拼接而成，依照此规律，第n个图形中白色正方形的个数为________．第4题图5用大小相等的黑白棋子组成下列一组图形：第5题图按照这样的规律摆下去，若第n个图形中有416枚白棋，则n的值为________．6.海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有______个菱形，第n个图中有________个菱形(用含n的代数式表示)．第6题图类型二图形成倍递变型典例精讲例如图，四边形ABC1D是菱形，且AC1＞BD，∠BAD＝60°，AB＝2，以对角线AC1为边作菱形AC1C2E，使点D在对角线AC2上，再以对角线AC2为边作菱形AC2C3F，使点E在对角线AC3上，…，如此下去，则对角线ACn的长度为________．例题图【答案】2(eq\r(3))n【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出AC1，AC2的长度即可找出ACn长度的规律．步骤一求AC1的长：由基本模型图可知，菱形对角线的交点分别为O1、O2，∵四边形ABC1D是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，∴∠C1AB＝30°，∴在Rt△ABO1中，cos30°＝eq\f(AO1,AB)，∴AO1＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，∴AC1＝2AO1＝2eq\r(3).步骤二求AC2的长：在Rt△AC1O2中，cos30°＝eq\f(AO2,AC1)，∴AO2＝eq\f(\r(3),2)×2eq\r(3)＝3，∴AC2＝2AO2＝6＝2eq\r(3)×eq\r(3)＝2(eq\r(3))2，步骤三总结，同理可得ACn的长度：同理可得AC3＝2(eq\r(3))3，AC4＝2(eq\r(3))4，…，依此类推，∴ACn＝2(eq\r(3))n.徐州近年中考真题精选1.如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为________．第1题图2.如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，则第n个正方形的边长为________．第2题图3.如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1＝eq\r(3).过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；…；按此规律，所得线段A20B20的长等于________．第3题图针对训练1.如图，在边长为1的正方形OABC中，以点O为圆心，OA长为半径画弧，以点O为顶点在扇形OAC中作第2个正方形OA1B1C1，使点B1在eq\o(AC,\s\up8(︵))上，点C1在边OC上；再以点O为圆心，OA1长为半径画弧，以点O为顶点在扇形OA1C1中作第3个正方形OA2B2C2，使点B2在eq\o(A1C1,\s\up8(︵))上，点C2在边OC上；…；则第2022个正方形的边长是________．第1题图2.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，AC为对角线，记△ABC的面积为S1，取AC中点O，连接DO，记△COD的面积为S2，取AD中点E，连接OE，记△AOE的面积为S3，取OD的中点F，连接EF，记△EOF的面积为S4，如此下去，则S1＋S2＋S3＋S4＋…＋S2022＝________．第2题图3.如图①，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2，如图②；…；以此下去，则正方形A4B4C4D4的面积为________．第3题图4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq\r(2)，CD⊥AB，垂足为D，以BD为一条直角边向三角形外作第二个等腰Rt△BDE，DF⊥BE，再以BF为一条直角边向三角形外作第三个等腰Rt△BFG，如此下去，如果Rt△ABC的斜边记为c1，上述方法所作的等腰直角三角形的斜边依次记为c2，c3，c4，…，cn，则c2022＝________.第4题图5.如图①，正六边形ABCDEF的边长为1，把它的各边延长一倍得到新正六边形A1B1C1D1E1F1(如图②)，称为第一次扩展；把正六边形A1B1C1D1E1F1边按原方法延长一倍得到正六边形A2B2C2D2E2F2(如图③)，称为第二次扩展；如此下去，…，第n次扩展得到正六边形AnBnCnDnEnFn，则eq\f(A1B1,AB)＝________；第n次扩展得到正六边形AnBnCnDnEnFn的面积是________．第5题图6.如图，点B1在直线l：y＝eq\f(1,2)x上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形AnBnBn＋1Cn的边长为________(结果用含正整数n的代数式表示)．第6题图参考答案基础小练(1)n；eq\f(n（n＋1）,2).(2)(2n－1)；n2.(3)2n；(n2＋n)．(4)(－1)n.(5)(－1)n＋1.能力提升(6)n2.(7)(n2＋1)．(8)(n2－1)．(9)(3n＋1)．(10)n(n＋1)．类型一图形累加型针对训练1.(2n＋1)【解析】由题意可知，图①中有2×1＋1＝3个菱形，图②中有2×2＋1＝5个菱形，图③中有2×3＋1＝7个菱形，∴图中有(2n＋1)个菱形．2.20【解析】第1个图中有1个小球，第2个图中有1＋2＝3个小球，第3个图中有1＋2＋3＝6个小球，第4个图中有1＋2＋3＋4＝10个小球，则第n个图中有1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)个小球，令210＝eq\f(n（n＋1）,2)，则n＝20.3.(2n＋1)【解析】第一个图中有1个圆，有1×3＋1＝4个三角形，第二个图中有2个圆，有2×3＋1＝7个三角形，第三个图中有3个圆，有3×3＋1＝10个三角形，以此类推，第n个图中有n个圆，有n×3＋1个三角形，则第个图中三角形的个数比圆的个数多n×3＋1－n＝(2n＋1)个．4.(3n＋2)【解析】图①中白色正方形的个数为：2＋3×1＝5，图②中白色正方形的个数为：2＋3×2＝8，图③中白色正方形的个数为：2＋3×3＝11，…，则第n个图形中白色正方形的个数为：2＋3n.5.19【解析】第1个图形中白棋的个数为2×3－4＝2，第2个图形中白棋的个数为3×4－4＝8，第3个图形中白棋的个数为4×5－4＝16，第4个图形中白棋的个数为5×6－4＝26，…，∴第n个图形中白棋的个数为(n＋1)(n＋2)－4，当(n＋1)(n＋2)－4＝416时，解得n＝19(负值已舍去)．6.41，(2n2－2n＋1)【解析】观察题图可以发现：第1个图中菱形个数为1＝12＋02，第2个图中菱形个数为5＝22＋12，第3个图中菱形个数为13＝32＋22，第4个图中菱形个数为25＝42＋32，则第5个图中菱形个数为52＋42＝41个，以此规律可得第n个图中菱形个数为n2＋(n－1)2＝(2n2－2n＋1)个．类型二图形成倍递变型徐州近年中考真题精选1.(eq\r(2))n【解析】由等腰直角三角形的性质可知，OA1＝eq\r(2)OB＝eq\r(2)，OA2＝eq\r(2)OA1＝(eq\r(2))2，OA3＝eq\r(2)OA2＝(eq\r(2))3，…，OAn＝(eq\r(2))n.2.(eq\r(2))n－1【解析】第一个正方形的边长为1，它的对角线为第二个正方形的边长，即为eq\r(2)，第二个正方形的对角线为第三个正方形的边长，即为eq\r(2)×eq\r(2)＝(eq\r(2))2，同理，第四个正方形的边长为(eq\r(2))3，以此规律可得，第n个正方形的边长为(eq\r(2))n－1.3.219【解析】∵B1O＝B1A2，B1A1⊥OA2，∴OA1＝A1A2，∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，∴B1A1∥B2A2，∴B1A1＝eq\f(1,2)B2A2，∴A2B2＝2A1B1，同理A3B3＝2A2B2＝22A1B1，…，则A20B20＝219A1B1，∵A1B1＝OA1·tan30°＝1，∴A20B20＝219.针对训练1.(eq\f(\r(2),2))2021【解析】如解图，连接OB，则正方形的顶点B1，B2，B3，…都在OB上，第2个正方形的对角线OB1＝OA＝1，边长为1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)；第3个正方形的对角线OB2＝OA1＝eq\f(\r(2),2)，边长为eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝(eq\f(\r(2),2))2，…，第n个正方形的边长为(eq\f(\r(2),2))n－1，∴第2022个正方形的边长为(eq\f(\r(2),2))2021.第1题解图2.1－eq\f(1,22022)【解析】由题意可得S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)，S3＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)，S4＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)，…，∴Sn＝eq\f(1,2n)，∴S1＋S2＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝1－eq\f(1,4)＝1－S2，S1＋S2＋S3＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＝1－eq\f(1,8)＝1－S3，S1＋S2＋S3＋S4＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＝1－eq\f(1,16)＝1－S4，∴S1＋S2＋S3＋S4＋…＋S2022＝1－S2022＝1－eq\f(1,22022).3.625【解析】最初边长为1，面积1，延长一次边长为eq\r(5)，面积5，再延长一次边长为51＝5，面积52＝25，下一次延长边长为5eq\r(5)，面积53＝125，以此类推，当n＝4时，正方形A4B4C4D4的面积为54＝625.4.eq\f(（\r(2)）2021,22020)【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq\r(2)，∴c1＝2.∵CD⊥AB，垂足为D，以BD为一条直角边向三角形外作第二个等腰Rt△BDE，c2＝eq\r(2)，再以BF为一条直角边向三角形外作第三个等腰Rt△BFG，c3＝1，如此下去，c4＝eq\f(\r