2021-2022学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）1．（4分）下列图标是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．（a﹣3）（a+1）＝a2﹣2a﹣3 C．ab+bc+d＝b（a+c）+d D．6a2b＝3ab•2a3．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，∠BAD的平分线AE交BC于E点，则EC的长为（）A．4 B．3 C．2 D．14．（4分）若关于x的方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．3 B．2 C．1 D．05．（4分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞06．（4分）如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M、N，①中的图形M平移后位置如②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（）A．向右平移2个单位，向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，向下平移3个单位 C．向右平移1个单位，向下平移4个单位 D．向右平移2个单位，向下平移4个单位7．（4分）下列说法正确的是（）A．三条边相等的四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．连接矩形各边中点所得四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形8．（4分）某口罩厂平均每天可生产20万只口罩，厂家引进新技术，经过连续两次增速后，平均每天可生产30万只．若两次的增长率都为x，则可得方程（）A．（20+x）2＝30 B．20（1+x）2＝30 C．20（1+2x）＝30 D．20（1+x）+20（1+x）2＝309．（4分）已知关于x的分式方程﹣＝1有增根，则k＝（）A．﹣3 B．1 C．2 D．310．（4分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2）则关于x的不等式kx+b＜2解集为（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜211．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，DE平分∠ADC，BC＝4，则DE的长是（）A．2 B．4 C．6 D．812．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）因式分解：x3﹣4x2＝．14．（4分）正多边形中，每一个内角都是它相邻外角的4倍，则该正多边形是正边形．15．（4分）如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠BOC等于．16．（4分）某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去72张贺卡，则该学习小组有名成员．17．（4分）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝°．18．（4分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使C与点A重合，则折痕EF的长为．三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（10分）（1）解不等式：﹣1＜，并在数轴上表示其解集．（2）解不等式组，并写出该不等式组的所有非负整数解．20．（11分）（1）化简：﹣．（2）先化简，再求值：（﹣）÷，再从﹣1，0，1，2四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值．21．（10分）解方程：（1）﹣1＝．（2）x2+2x﹣2＝0．22．（7分）已知：如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，过点D作DE⊥DC，交AC于点E，过点B作BF⊥AB，交AC于点F．求证：DE＝BF．23．（6分）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为．（2）△A1B1C1的面积为．（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），则旋转中心的坐标为．24．（12分）为创建“书香校园”，学校图书室计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？（2）如果学校图书室计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？25．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．26．（12分）阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图1，等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边AD上，斜边BF交CD于点Q，连接PQ．请探索PQ、AP、CQ的数量关系．某学习小组的同学经过探索，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将△ABP旋转到△CBE位置，然后通过证明△BPQ≌△BEQ来探索数量关系．（1）（问题解决）请你根据他们的想法写出PQ、AP、CQ的数量关系是．（2）（学以致用）如图2，若等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边DA的延长线上，斜边BF的延长线交CD的延长线于点Q，连接PQ，猜想线段PQ，AP，CQ满足怎样的数量关系？并证明你的结论．（3）（思维拓展）等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内部一点，若BC＝2．则AP+BP+CP的最小值＝．

2021-2022学年山东省济南市历城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）1．（4分）下列图标是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：C．2．（4分）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．（a﹣3）（a+1）＝a2﹣2a﹣3 C．ab+bc+d＝b（a+c）+d D．6a2b＝3ab•2a【解答】解：A、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；D、左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．故选：A．3．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，∠BAD的平分线AE交BC于E点，则EC的长为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝7，DC＝AB＝4，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝3，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，故选：C．4．（4分）若关于x的方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4a＞0，解得a＜1，所以a可以取0．故选：D．5．（4分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0【解答】解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，∴关系式不成立的是选项C．故选：C．6．（4分）如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M、N，①中的图形M平移后位置如②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（）A．向右平移2个单位，向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，向下平移3个单位 C．向右平移1个单位，向下平移4个单位 D．向右平移2个单位，向下平移4个单位【解答】解：根据图形M平移前后对应点的位置变化可知，需要向右平移1个单位，向下平移3个单位．故选：B．7．（4分）下列说法正确的是（）A．三条边相等的四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．连接矩形各边中点所得四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，说法不正确，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确，符合题意；C、连接矩形各边中点所得四边形是菱形，说法不正确，不符合题意；D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，说法不正确，不符合题意．故选：B．8．（4分）某口罩厂平均每天可生产20万只口罩，厂家引进新技术，经过连续两次增速后，平均每天可生产30万只．若两次的增长率都为x，则可得方程（）A．（20+x）2＝30 B．20（1+x）2＝30 C．20（1+2x）＝30 D．20（1+x）+20（1+x）2＝30【解答】解：依题意得：20（1+x）2＝30．故选：B．9．（4分）已知关于x的分式方程﹣＝1有增根，则k＝（）A．﹣3 B．1 C．2 D．3【解答】解：去分母得：k+3＝x﹣2，∵分式方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，把x＝2代入k+3＝x﹣2得：k+3＝2﹣2，解得：k＝﹣3，故选：A．10．（4分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2）则关于x的不等式kx+b＜2解集为（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2【解答】解：由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2，故选：A．11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，DE平分∠ADC，BC＝4，则DE的长是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，∴AD＝CD＝AB，∵DE平分∠ADC，∴AE＝EC，∴ED是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝2，故选：A．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．【解答】解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠EAC＝60°，∴∠PAQ＝∠EAC，∴∠CAQ＝∠EAP，∴△CAQ≌△EAP（SAS），∴CQ＝EP，要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，AC＝2，∴AB＝4，∵AE＝AC＝2，∴BE＝AB﹣AE＝2，在Rt△BFE中，∠EBF＝30°，BE＝2，∴EF＝BE＝，故线段CQ长度最小值是，故选：D．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）因式分解：x3﹣4x2＝x2（x﹣4）．【解答】解：原式＝x2（x﹣4），故答案为：x2（x﹣4）．14．（4分）已知正多边形中，每一个内角都是它相邻外角的4倍，则该正多边形是正十边形．【解答】解：设多边形的每个外角为n，则其内角为：4n，n+4n＝180，解得：n＝36，即这个多边形是：＝10．故答案为：十．15．（4分）如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠BOC等于30°．【解答】解：由作法得OA＝OC＝AC，∴△OAC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝30°．故答案为30°．16．（4分）某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去72张贺卡，则该学习小组有9名成员．【解答】解：设这个小组有x名成员，则小组内每名成员需送出（x﹣1）张贺卡，根据题意得：x（x﹣1）＝72，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．故答案为：9．17．（4分）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝45°．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．故答案为：45．18．（4分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使C与点A重合，则折痕EF的长为．【解答】解：如图所示，过E作EH⊥AF于H，则EH＝AB＝4，设BE＝x，则CE＝8﹣x＝AE，Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AH＝BE＝3，AE＝5，由折叠可得，∠CEF＝∠AEF，∵AF∥CE，∴∠CEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE＝5，∴FH＝AF﹣AH＝5﹣3＝2，Rt△EFH中，EF＝，故答案为：．三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（10分）（1）解不等式：﹣1＜，并在数轴上表示其解集．（2）解不等式组，并写出该不等式组的所有非负整数解．【解答】解：（1）去分母得：2（2x+1）﹣6＜3（x﹣1），〇〇〇去括号得：4x+2﹣6＜3x﹣3，移项得：4x﹣3x＜6﹣2﹣3，合并得：x＜1．该不等式的解集在数轴上表示如图所示，（2），解不等式①得：x≤3；解不等式②得：x＞﹣2．∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤3．∴原不等式组的非负整数解为：0，1，2，3．20．（11分）（1）化简：﹣．（2）先化简，再求值：（﹣）÷，再从﹣1，0，1，2四个数中选一个合适的数作为a的值代入求值．【解答】解：（1）原式＝﹣＝＝＝＝．（2）原式＝÷＝•＝，由分式有意义的条件可知：a不能取0，±1，故a＝2，∴原式＝＝．21．（10分）解方程：（1）﹣1＝．（2）x2+2x﹣2＝0．【解答】解：（1）﹣1＝，x（x+2）﹣（x2﹣4）＝3，解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，x2﹣4≠0，∴x＝﹣是原方程的根；（2）x2+2x﹣2＝0，x2+2x＝2，x2+2x+1＝2+1，（x+1）2＝3，x+1＝±，x+1＝或x+1＝﹣，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．22．（7分）已知：如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，过点D作DE⊥DC，交AC于点E，过点B作BF⊥AB，交AC于点F．求证：DE＝BF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BAF，又∵DE⊥DC，BF⊥AB，∴∠CDE＝∠ABF＝90°，在△DCE与△BAF中，，∴△DCE≌△BAF（ASA）．∴DE＝BF．23．（6分）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为（2，2）．（2）△A1B1C1的面积为2.5．（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），则旋转中心的坐标为（0，﹣1）．【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣2），∴B1（2，2）．故答案为：（2，2）．（2）△A1B1C1的面积为：××＝2.5故答案为：2.5．（3）根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直平分线的交点就是旋转中心．所以旋转中心的坐标为：（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．24．（12分）为创建“书香校园”，学校图书室计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？（2）如果学校图书室计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？【解答】解：（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，根据题意可得：﹣＝24，解得：x＝20，经检验得：x＝20是原方程的根，则2.5x＝50，答：甲图书每本价格是50元，乙图书每本价格为20元；（2）设购买甲图书本数为a，则购买乙图书的本数为：2a+8，故50a+20（2a+8）≤1060，解得：a≤10，故2a+8≤28，答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．25．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若点A在线段PQ的垂直平分线上，则AP＝AQ，∵AP＝t，AQ＝12﹣3t，∴t＝12﹣3t，解得：t＝3，答：当t＝3时，点A在线段PQ的垂直平分线上；（2）①若∠APQ＝90°，则△APQ是直角三角形，∵∠A＝60°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP，∴12﹣3t＝2t，∴t＝，②若∠AQP＝90°，则△APQ是直角三角形，∵∠A＝60°，∴∠APQ＝30°，∴AP＝2AQ，∴t＝2（12﹣3t），∴t＝．∴当t＝或时，△APQ是直角三角形．26．（12分）阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图1，等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边AD上，斜边BF交CD于点Q，连接PQ．请探索PQ、AP、CQ的数量关系．某学习小组的同学经过探索，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将△ABP旋转到△CBE位置，然后通过证明△BPQ≌△BEQ来探索数量关系．（1）（问题解决）请你根据他们的想法写出PQ、AP、CQ的数