2021-2022学年河北省保定师范附属学校九年级（上）期末数学试卷（学生版+解析版）

2021-2022学年河北省保定师范附属学校九年级（上）期末数学

试卷

一、选择题（本大题共16个小题：1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共

42分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）。

1.（3分）方程/=2x的解是（）

A.x—2B.x\=2,X2=OC.xi=V2,X2=OD.x=0

2.（3分）如图是一段空心的钢管，则它的主视图是（）

4.（3分）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制

了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（）

实验次数10020030050080010002000

频率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333

A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

B.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

C.抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5

D.抛一枚硬币，出现反面的概率

5.（3分）如图，在4X5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,ZVIBC的顶点都

在这些小正方形的顶点上，那么sin/ACB的值为（）

6.（3分）在解方程2?+4x+l=0时，对方程进行配方，文本框①中是嘉嘉作的，文本框②

中是琪琪作的，对于两人的做法，说法正确的是（）

2XMX=-1,

4x"8x=-2,

4X2+8X+4=2,

(2X+》2=Z

②

A.两人都正确B.嘉嘉正确，琪琪不正确

C.嘉嘉不正确，琪琪正确D.两人都不正确

7.（3分）如图，四边形ABCO和A5CD是以点。为位似中心的位似图形，若OA：0A'

=2：3,则四边形ABC。与A'8'CD'的面积比是（）

A.4：9B.2：5C.2：3D.V2：V3

8.（3分）双曲线、=［与丫=称在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分

别交双曲线于A、B两点,连接OA、0B,则AAOB的面积为（）

C.3D.4

9.（3分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1

所示菱形，并测得NB=60°,接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC=

40V2c/n,则图1中对角线AC的长为（）

D.20\/2cm

10.（3分）如图，用长为20机的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为115），围成中间

隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时、在BC上用其他材料

做了宽为加的两扇小门.若花圃的面积刚好为40机2,设AB段的长为X,*,则可列方程

为（）

墙长11m

D

B'一W

A.x(22-3x)=40B.x(20-2x)=40

C.x(18-3x)=40D.x(20-3x)=40

11.（2分）如图，在三角形纸片ABC中，A8=9,AC=6,BC=12,沿虚线剪下的涂色部

分的三角形与△ABC相似的是（）

C.34CD.B4C

12.（2分）如图，已知A、8是反比例函数尸W（左>0,x>0）图象上的两点，8C〃x轴，

交y轴于点C,动点P从坐标原点0出发，沿Of/lfB-C匀速运动，终点为C,过点

P作PAMx轴，PNLy轴，垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S,点P运动

的时间为f,则S关于/的函数图象大致为（）

13.（2分）关于x的方程，/+工-巾+1=0,有以下三个结论：①当帆=0时，方程只有一个

实数解；②当"中0时，方程有两个不相等的实数解；③无论，"取何值，方程都有一个

负数解，其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

14.（2分）如图，抛物线），=0?+加叶°的对称轴为直线x=l,与x轴一个交点的坐标为（-

1,0）,其部分图象如图所示，下列结论：①"V0：②匕V0；③方程ax2+bx+c=0的两

个根是xi=-1,X2=3；④当y>0时,x的取值范围是-l<x<3.其中结论错误的是（）

A.①B.②C.③D.④

15.（2分）如图，矩形ABCZ）中，AB=8,A£>=3.点E从。向C以每秒1个单位的速度

运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG.同时垂直于CD的直线MN也从C

向。以每秒2个单位的速度运动，当经过多少秒时.直线MN和正方形4EFG开始有公

16.（2分）对于题目：在平面直角坐标系中，直线y=—1r+4分别与x轴、y轴交于两点A、

B,过点A且平行y轴的直线与过点B且平行x轴的直线相交于点C,若抛物线

-2ax-3a（d^O）与线段BC有唯一公共点，求〃的取值范围.甲的计算结果是“2部

乙的计算结果是〃<一号则（）

A.甲的结果正确

B.乙的结果正确

C.甲与乙的结果合在一起正确

D.甲与乙的结果合在一起也不正确

二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17和18题每空3分，19题每空2分，把答案

写在答题卡对应横线上）

x5%+v

17.（3分）如果一=一，那么一上=

y3y

18.（3分）若x=-1是关于x的一元二次方程（v?+bx-1=0的一个根，则2022-2a+2b

的值为.

19.（4分）如图，正方形ABCD的边长为2,连接BQ,点尸是线段延长线上的一个动

点，NPBQ=45°,点。是8。与线段CD延长线的交点，当BD平分NP8。时，PD

Q£>（填“>”“V"或“="）；当BQ不平分/尸2。时，PD・QD=.

三、解答题(本大题共7小题，共68分。第20题12分；21题-23题每题8分，24和25

题每题1()分：26题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

20.(12分)解下列一元二次方程：

(1)4(x+3)2=25；

(2)/+3x-4=0.

21.(8分)已知：如图，在菱形ABC。中，对角线AC、BD相交于点。，DE//AC,AE//

BD.

(1)求证：四边形AOOE是矩形；

(2)若AB=2,DE=\,求四边形AODE的面积.

E

22.(8分)从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3

科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想

政治、地理4科中任选2科.

(1)若小丽在“1”中选择了历史,在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是

(2)若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概

率.

23.(8分)图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，

托板长AB=115mm,支撑板长8=70〃?〃?，且CB^35mm,托板AB可绕点C转动.

图①图②备用图

(1)当/C£>E=60°时，

①求点C到直线OE的距离；(计算结果保留根号)

②若N£)CB=70°时，求点A到直线。£的距离(计算结果精确到个位)；

(2)为了观看舒适，把(1)中N£>a=70°调整为90°,再将CO绕点。逆时针旋转，

使点B落在力E上，则C。旋转的角度为.(直接写出结果)(参考数据：sin50°

Q0.8,COS50°七。5tan50°弋1.2.sin26.6°^0.4,cos26.6°*0.9,tan26.6°55so.5,

V3=1.7)

24.(10分)阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方

程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，

三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个

一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产

生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的

基本数学思想一一转化，把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一

些新的方程.例如，一元三次方程/+/-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(/+x

-2)=0,解方程x=0和/+x-2=0,可得方程9+/-2x=0的解.

(1)问题：方程6『+14--12x=0的解是：xi=0,X2—,X3—;

(2)拓展：用“转化”思想求方程后行=%的解；

(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AO=21机，宽AB=8m,点P在AO上(4P

>PO),小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B,把长绳PB段拉直并固定在点P,

App

.%

♦•••

♦*、•

♦♦、、

♦♦、•

*、■

*»«■

・♦、«

*»•、

再拉直，长绳的另一端恰好落在点C,求AP的长.BC

25.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=5(x>0)的图象与直线y=2v+l

交于点A(1,/n)

(1)求2,m的值；

(2)已知点P(0,〃)(«>0),过点尸作平行于x轴的直线，交直线y=2x+l于点5,

交函数),=5(%>0)的图象于点C横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

①当〃=1时，写出线段BC上的整点的坐标；

②若y=((x>0)的图象在点A,C之间的部分与线段A8,8C所围成的区域内(包括

边界)恰有6个整点，直接写出〃的取值范围.

26.(12分)某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙，

它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4,〃，宽48=3%,抛物线的最高点E到BC

的距离为4八

(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y="2+优"wo)表示.求该抛物线的

函数表达式；

(2)现将A型活动板房改造为8型活动板房.如图②，在抛物线与A力之间的区域内加

装一扇长方形窗户BGMM点G,M在AO上，点N,尸在抛物线上，窗户的成本为50

元/"P.已知GM=2m,求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本

=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)

(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的8型活动板房，每月能售出100个，

而单价每降低10元，每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个8型活动板房.不

考虑其他因素，公司将销售单价〃（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w

（元）最大？最大利润是多少？

2021-2022学年河北省保定师范附属学校九年级（上）期末数学

试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共16个小题：1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共

42分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）。

1.（3分）方程f=2x的解是（）

A.X'—Q.B.xi=:2,X2^OC.xi=y/2.,X2^OD.x=0

【解答】解:，-2x=0,

x（x-2）=0,

x=0或x-2=0,

所以工1=0,X2=2.

故选：B,

2.（3分）如图是一段空心的钢管，则它的主视图是（）

AC1

3.(3分)如图，AB//CD//EF,若一=一，BD=5,则。尸=()

CE2

A.5B.10C.15D.2.5

【解答】W：'."AB//CD//EF,

.BDAC1

''DF一CE-2’

BP—=

DF2

解得：DF=IO.

故选：B.

4.（3分）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制

了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（）

实验次数10020030050080010002000

频率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333

A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

B.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

C.抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5

D.抛一枚硬币，出现反面的概率

【解答】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的

概率为3不符合题意；

8、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是1,符合题意；

C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为；，不符合题意；

。、抛一枚硬币，出现反面的概率为点不符合题意，

故选：B.

5.（3分）如图，在4X5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都

在这些小正方形的顶点上，那么sin/ACB的值为（）

【解答】解：如图，过点A作4H_L8C于H.

在RtZXAC”中，・.・A”=4,CH=3,

：.AC=VAH2+CH2=J42+32=5,

An4

**.sinZAC//=—宁

故选：D.

6.（3分）在解方程2?+4x+l=0时，对方程进行配方，文本框①中是嘉嘉作的，文本框②

中是琪琪作的，对于两人的做法，说法正确的是（）

2X2-4X=-1,

jisn-白+1

4X2-8X+4=2,）1

I⑵荔=2.|J（x-l）2=》

②①

A.两人都正确B.嘉嘉正确，琪琪不正确

C.嘉嘉不正确，琪琪正确D.两人都不正确

【解答】解：两人的做法都正确.

故选：A.

7.（3分）如图，四边形ABCD和是以点0为位似中心的位似图形，若OA：0A'

=2：3,则四边形ABC。与AEC/7的面积比是（）

A.4：9B.2：5C.2：3D.在：遮

【解答】解：•••四边形ABCO和A'B'CD'是以点。为位似中心的位似图形，。4

0Ar=2：3,

：.DA：D'A'=OA：OAr=2：3,

24

--

・・・四边形ABC。与四边形4‘B'CD'的面积比为:39

故选：A.

8.（3分）双曲线y=1^y=,在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分

别交双曲线于A、B两点，连接OA、0B,则AAOB的面积为（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：设直线AB与x轴交于点C.

轴，

；.AC_Lx轴，BC_Lx轴.

,/点A在双曲线y='的图象上，.♦.△40C的面积=1x5=f.

点B在双曲线y=|的图象上，.IACOB的面积=|x3=1.

CQ

A/XAOB的面积=ZV1OC的面积-△COB的面积=^-^=1.

故选：A.

9.（3分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1

所示菱形，并测得NB=60°,接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC=

图1图2

A.20cmB.30cmC.40cmD.20V2c/n

【解答】解：如图1,2中，连接AC

图1图2

在图2中，•.•四边形ABC。是正方形，

ZB=90°,

"：AC=40V2cm,

：.AB=BC=苧AC=40cm,

在图①中，VZB=60°,BA=BC,

.♦.△ABC是等边三角形，

：.AC^BC=40cm,

故选：C.

10.（3分）如图，用长为20〃?的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11〃?），围成中间

隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料

做了宽为所的两扇小门.若花圃的面积刚好为40序，设AB段的长为切b则可列方程

为（）

墙长11m

A.x(22-3x)=40B.x(20-2x)=40

C.x(18-3x)=40D.x(20-3x)=40

【解答】解：设AB=x米，则BC=（20-3x+2）米，

依题意，得：x（20-3x+2）=40,即x（22-3%）=40.

故选：A.

11.（2分）如图，在三角形纸片ABC中，AB=9,AC=6,BC=12,沿虚线剪下的涂色部

分的三角形与△4BC相似的是（）

B1?C

【解答】解：在三角形纸片48c中，A8=9,AC=6,BC=\2.

661AB9313

A.因为荔=不=不对应边二=n=二，-5t故沿虚线剪下的涂色部分的三角

BC122BC12424

形与△ABC不相似，故此选项错误；

B.因为三=：=:对应边经=，=二又/4=NA,故沿虚线剪下的涂色部分的三

AC63AB93

角形与aABC相似，故此选项正确；

44AB9343

C.因为——=一，对应边一=一=一，即：-丰一.故沿虚线剪下的涂色部分的三角形

AB9BC12494

与aABC不相似，故此选项错误；

D、因为：=对应边经===：,故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与4

63BC12232

ABC不相似，故此选项错误；

故选：B.

12.（2分）如图，已知4、B是反比例函数），（A>0,x>0）图象上的两点，8C〃x轴，

交y轴于点C,动点P从坐标原点。出发，沿O-A-BfC匀速运动，终点为C,过点

尸作PMLx轴，PN，y轴，垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S,点P运动

的时间为f,则S关于r的函数图象大致为（）

s.

C.nD.n

【解答】解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S=K，保持不变，故排

除8、D；

②点P在上运动时，设路线。一4一8一。的总路程为/，点P的速度为“，则S=OC

XCP=OCXa-at),因为/,OC,a均是常数,

所以S与f成一次函数关系.故排除C.

故选：A.

13.（2分）关于x的方程"M+x-机+1=0,有以下三个结论：①当相=0时，方程只有一个

实数解；②当机W0时，方程有两个不相等的实数解；③无论，"取何值，方程都有一个

负数解，其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【解答】解：当机=0时，x=-l,方程只有一个解，①正确：

当mWO时，方程nvr+x-加+1=0是一元二次方程，△=1-4m（1-m）=1-4m+4m2

=（2巾-1）220,方程有两个实数解，②错误；

把zn^+x-，〃+1=0分解为（x+1）（mx-m+1）=0,

当x=-l时,m-1-m+l=O,即x=-1是方程“M+x-〃[+]=o的根，③正确；

故选：C.

14.（2分）如图，抛物线y=a?+〃x+c,的对称轴为直线x=l,与x轴一个交点的坐标为（-

1,0）,其部分图象如图所示，下列结论：①ac<0；②b<0；③方程ax2+/?x+c=O的两

个根是xi=-1,双=3；④当y>0时,x的取值范围是-l<x<3.其中结论错误的是（）

A.①B.②C.③D.④

【解答】解：•••抛物线开口向下,

：.a<0,

Vc=3>0,

/.ac<0,所以①正确；

抛物线的对称轴为直线x=1,

.b_

.•一而-1'

：.b=-2a>0,所以②错误；

♦.•抛物线的对称轴为直线x=\,

而点（-1,0）关于直线x=l的对称点的坐标为（3,0）,

二方程苏+云+。=0的两个根是xi=-1,X2=3,所以③正确；

二当-1<尤<3时，>->0,所以④正确；

故选:B.

15.（2分）如图，矩形A8CC中，AB=8,AD=3.点E从。向C以每秒1个单位的速度

运动，以AE为一边在4E的右下方作正方形AEFG.同时垂直于C。的直线MN也从C

向。以每秒2个单位的速度运动，当经过多少秒时.直线MN和正方形4EFG开始有公

【解答】解：过点尸作尸。_LC£＞于点。，

;在正方形AEFG中，ZAEF=90°,AE=EF,

：.Z1+Z2=9O0,

VZDAF+Z1=90°,

：.ZDAE^Z2,

在△4。£和4£'(26中，

(ZD=ZFQE

]Z.DAE=乙QEF，

(AE=EF

.MADEm/\EQF(AAS),

：.AD=EQ=3,

当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时：DQ+CM^,

t+3+2t》8,

解得：t>

故当经过1秒时.直线MN和正方形AEFG开始有公共点.

故选：A.

16.（2分）对于题目：在平面直角坐标系中，直线）=一，+4分别与x轴、y轴交于两点A、

B,过点4且平行y轴的直线与过点B且平行x轴的直线相交于点C,若抛物线

-2ax-3a（«^0）与线段BC有唯一公共点，求〃的取值范围.甲的计算结果是

4

-贝

乙的计算结果是3

A.甲的结果正确

B.乙的结果正确

C.甲与乙的结果合在一起正确

D.甲与乙的结果合在一起也不正确

【解答】解：y=ax^-2ax-3a,令y=0,则x=-l或3,令x=0,贝！Iy=-3a,

故抛物线与x轴的交点坐标分别为：（-1,0）、（3,0）,与y轴的交点坐标为：（0,-

3〃），

函数的对称轴为：x=l,顶点坐标为：（1,-44），

4

直线）=一寻+4分别与x轴、y轴交于两点4B,则点A、B的坐标分别为：（5,0）、（0,

4）,则点C（5,4）.

（1）当”>0时，

当抛物线过点C时，抛物线与线段8C有一个公共点，

将点C的坐标代入抛物线表达式得：4=254-10a-3a,解得：a=

故抛物线与线段有唯一公共点时，«>|；

（2）当aVO时,

当顶点过BC时，此时抛物线与8C有唯一公共点，

即-4。=4,解得：〃=-1；

当抛物线过点8时，抛物线与8c有两个交点，

将点8的坐标代入抛物线表达式得：-3a=4,解得：。=-箓

故当抛物线与线段3c有一个公共点时，a<-1,

14

综上，a>可或a<-可或a=-1；

故选：D.

二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17和18题每空3分，19题每空2分，把答案

写在答题卡对应横线上）

,x5x+y8

17.（3分）如果一=一，那么---

y3yS—

x5

【解答】解：•••一=

y3

•二设x=5攵，y=3kf

.x+y5k+3k

・•y-3k

8k

=3k

8

=y

故答案为：

18.（3分）若x=-1是关于x的一元二次方程aj?+bx-1=0的一个根，则2022-2a+2h

的值为2020.

【解答】解：把x=-1代入方程a^+bx-1=0QW0）得。-/?-1=0,

••ci~b1,

A2022-2a+2b

=2022-2（a-b）

=2022-2X1

=2022-2

=2020.

故答案为：2020.

19.（4分）如图，正方形A8CO的边长为2,连接30,点P是线段AO延长线上的一个动

点，NP8Q=45°,点。是8。与线段延长线的交点，当8。平分NP8。时，PD=

QQ（填"V"或"=”）；当3。不平分NP3。时，PD・OD=8.

【解答】解：①当8。平分NP8Q时，

•・・NP8Q=45°,

：.ZQBD=ZPBD=22.5°,

•・•四边形A8CO是正方形，

：.AB=BC,NA=NC=90°,ZABD=ZCBD=450,

ZABP=ZCBQ=22.5Q+45°=67.5°,

在aAB尸和△C3Q中，

(ZA=ZC

^\AB=BC，

{^ABP=乙CBQ

:AABPmACBQ(ASA),

；・BP=BQ,

在△Q3。和△P3。中，

BQ=BP

:"80=乙PBD,

BD=BD

:AQBD迫4PBD(SAS),

:・PD=QD；

②当8。不平分NPB。时，

*：AB//CQ,

：./ABQ=/CQB,

VZQBD+ZDBP=ZQBD+ZABQ=45°,

，ZDBP=ZABQ=NCQB,

VZBDQ=ZADQ+ZADB=900+45°=135°,

NBDP=/CDP+/BDC=90°+45°=135°,

:・/BDQ=/BDP,

:•丛BQDs丛PBD,

.BDQD

••—=,

PDBD

：.PD*0D=BD2=22+22=8,

故答案为：—,8.

三、解答题(本大题共7小题，共68分。第20题12分；21题-23题每题8分，24和25

题每题10分；26题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

20.(12分)解下列一元二次方程：

(1)4G+3)2=25；

(2)X2+3X-4=0.

【解答】解：⑴方程整理得：(x+3)2=竽，

开方得：x+3=±|,

解得：Xl=—2，X2=一学；

(2)方程/+3工-4=0,

分解因式得：(K-1)(x+4)=0,

所以x-1=0或x+4=0,

解得：Xl=l,X2=-4.

21.(8分)已知：如图，在菱形A5CO中，对角线AC、8。相交于点O,DE//AC,AE//

BD.

(1)求证：四边形AOQE是矩形；

(2)若AB=2,DE=1,求四边形AODE的面积.

E

BC

【解答】（1）证明：AE//BD,

二四边形AODE是平行四边形，

•••四边形ABC。是菱形，

：.AC1BD,

：.ZAOD=90°,

四边形AO0E是矩形；

（2）解：：四边形4OOE是矩形，

：.AO=DE=\,

；4B=2,

：.BO=\IAB2-AO2=V3,

：.OD=BO=V3,

二四边形AOOE的面积=AO・OO=lxb=V3.

22.（8分）从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3

科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想

政治、地理4科中任选2科.

（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是

1

（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概

率.

【解答】解：（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想政治三科中选一

科，因此选择生物的概率为点

故答案为：—；

（2）用树状图表示所有可能出现的结果如下:

可就佶良

《化学、生物）

《化字、思想独方）

《化学•河理）

《生物、化学）

《生物・思想做若）

《生物地理）

《思理诙自、化学）

《思津世治、生物》

《思想读言、168）

《惚度化学）

《地理生物）

（他建，（售款治,

共有12种可能出现的结果，其中选中“化学”“生物”的有2种，

.口_2_1

=

•♦r（化学生物）=Y26*

23.（8分）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上,

托板长48=115，"〃?，支撑板长C£>=70〃?〃?，且CB=35w，〃，托板A8可绕点C转动.

图①图②备用图

（1）当/CDE=60°时，

①求点C到直线DE的距离；（计算结果保留根号）

②若NDCB=70。时，求点A到直线OE的距离（计算结果精确到个位）；

（2）为了观看舒适，把（1）中NDCB=70°调整为90°,再将CO绕点。逆时针旋转，

使点8落在£>E上，则CD旋转的角度为33.4°.（直接写出结果）（参考数据:sin50°

-0.8,cos500-0.6,tan500仁1.2.sin26.6°七0.4,cos26.6°-0.9,tan26.6°七0.5,

V3=1.7）

【解答】解：（1）①如图，过点C作CFLDE于E,过点C、A分别作DE的平行线和垂

线相交于点G,

在RtZkCQF中，ZCDF=60°，CD=70mmf

：.CF=CD^in60°

=70x坐

=35V3(mm),

即点C到直线DE的距离为35Wmm；

②当NOCB=70°时，

VCG//DE,

・・・NGCO=NCD尸=60°,

又•：NDCB=70。,

AZACG=180°-70°-60°=50°,

在RtZXACG中，AC=AC-BC=H5-35=S0(/WH),ZACG=50Q

・・・AG=AC・sin50°

^80X0.8

=64(mm),

点A到直线DE的距离为AG+CF=64+35V3«124(mm)；

(2)旋转后的图形如图③所示，

在RtaB'C。中，B'C=35mm,CD=CD=70mn,

D,C,

AtanZCZDB'=合=0.5,

又；tan26.6°~0.5,

：.ZCDB'=26.6°,

J.ZCDC'=60°-26.6°=33.4°,

故答案为：33.4°.

图③

G

B/：\

EFD

图②

24.(10分)阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方

程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，

三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个

一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产

生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的

基本数学思想一一转化，把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一

些新的方程.例如，一元三次方程*3+/_"=0,可以通过因式分解把它转化为x(/+x

-2)=0,解方程x=0和/+x-2=0,可得方程9+/-2x=0的解.

2

(1)问题：方程6/+14/-12x=0的解是：xi=0,X2--.X3=3；

(2)拓展：用“转化”思想求方程7^月=%的解；

(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCO的长AD=2L”，宽48=8%,点P在AO上(AP

>PD),小华把一根长为27,"的绳子一段固定在点B,把长绳PB段拉直并固定在点P,

A____________£____________p

再拉直，长绳的另一端恰好落在点C,求AP的长.B

【解答】解：⑴V6?+14x2-12r=0,

：.2x(3x2+7x-6)=0.

：.2x(3x-2)(x+3)=0.

•*.2x=0或3x-2=0或x+3=0.

2

・=0,X2=w，X3=~3.

2

故答案为：-3；

(2)方程C2x+3=x,两边平方得2x+3=/,

A?--3=0.

(%-3)(x+1)=0.

，X1=3,X2=-I.

经检验，x=3是原方程的根，x=-1不是原方程的根.

所以原方程的解为x=3.

(3)设AP的长为xm,则。P的长为(21-x)in.

由题意，得忡+刀+”21一小尸+8?=27,

移项，得“21-％)2+82=27-迎2+02,

两边平方，得(21-x)2+64=27