证明不等式的常见技巧-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（解析版）

专题28证明不等式的常见技巧

【高考地位】

证明数列不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的证明技巧。这类问题的求解策略往往是：

通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地选择不等式的证明技巧.在

高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.

方法一比较法

万能模板内容

使用场景一般不等式证明

解题模板笫•步通过两个实数a与。的差或商的符号(范围)确定a与b大小关系；

第二步得出结论.

例1设实数满足aw。，求证：a4+b4>ab(a2+b2).

【答案】详见解析.

【解析】第一步，通过两个实数a与b的差或商的符号(范围)确定〃与。大小关系:

作差得J+64—ab(金+i*)=a^(a—b)+b^(.b—d)

22

=(a--XJ-分)=(a-bp(a+ab+b)

=(a-b)2[(a+^2+h2].

因为awb,所以a力不同时为0,故(。+2)2+=必>o,(a-b)2>0,

第二步，得出结论：

所以(a-犷3+2)2+L2]>0,即有J+/>易(/十方2).

24

考点：不等式的证明.

【点评】两个多项式的大小比较常用的两种方法是作差法和作商法.

【变式演练1】【2020年全国普通高等学校统一招生考试试验检测卷】设不等式-2<k-1|-k+2|<0的解

集为M且。，beM.

、、十口ab1

(1)证明：；十三<7；

364

(2)比较|1-4闺与21a一2的大小.

【答案】(1)证明见解析；(2)\l-4ab\>2\a-t\.

【分析】

(1)先将,一1|一次+2|变成分段函数形式，即可求得集合M,则可得跳网的范围，利用绝对值的三角不

等式，即可进行证明；

(2)将两式分别平方，利用作差法比较大小即可.

【详解】

3(x<-2)

(1)证明：一卜+2|=«—2元一1(-2v><]),不等式等价为｛cc,

-2<-2x-l

-3(x>l)

解得—，从而M=(|,

22122J

,:a、beM,

同<：且M,

乙乙

ab,

—+-<为+为iJxLLL!

3631161132624

（2）•.[1-4闻>0,2k-4>0,

：.\l-4abf-4\a-bf=（l-Sab+l6a2b2）-4（a2-2ab+^=（4a2-1）（4Z>2-1）,

由（1）知/<，,h2<-,即4/一1<。口.4/一1<0，

44

（4«2-1）（4/?2-l）>0,叫1—4ahf>4\a-bf,

故|1-4明>2卜一4.

方法二.分析法

万能模板内容

使用场景一般不等式证明

解题模板第一步从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件；

第二步把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题；

第三步如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立.

例2设a,0,ceR+,ab+bc+ca23,证明：a5+b5+c5+a3(b2+c2)+b3(c2+a2)+c3(a2+b2)>9»

【答案】原命题等价于(4+/+C3)32+〃+C2)N9,利用分析法。

【解析】第一步，从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件：

原命题等价于(/+/+1)(/+/+1»9,又(d+/+cy29c+1)3,

第二步，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题：

故只需要证明/+/+1之3成立。

第三步，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立：

利用已知条件，这是显然的。

【变式演练2】吉林省通化市梅河口五中2020届高三高考数学(文科)七模】设函数/(x)=|2分+4.

⑴若/(元)43的解集为[1,4],求实数。，(的值;

(2)当”=1,〃=2时，若存在x°eR，使得/小)+|2/一1|45+加一>成立的根的最大值为加，且

实数P,q满足p3+/=M,证明：0<p+qW2.

a-\\a--\

【答案】(1)成，(2)证明见解析.

b=-51》=5

【分析】

(1)就。=0、。<0、a>0分类求解后结合已知的解集可得的值;

(2)利用绝对值不等式求得|2x+2|+|2x-l|最小值为3,解不等式3W5+/n—后可得加=2,最后利

用综合法和分析法可证0<〃+“W2.

【详解】

(1)/(x)W3即为|2⑪+4<3,所以一342办+匕43.

若a=0,/(%)=网，〃x)43的解集不可能为[1,4],舍.

?+a3—A

当〃>0时，/(x)<3的解为一^一<%<--,

2a2a

[3+匕，

所以3.f「解得，a=1

h=-5

---二3L

、2a

当"0时，/(x)W3的解为」」，

2a2a

\....3..+...h-4-A---------

rQ——1

所以3d「解得

h=5

----=ii

.2a

a—\

综上，\,「或<

b=-5b=5

(2)当a=l,/?=2B,t,y(x^+|2x—1|=|2x+2|+|2x—1|>|2x+2—2x+l|=3,

当且仅当(2%+2乂2%—1)<0时等号成立，

故5+〃?—6223即加2—加一240，故一lW/n42,所以Af=2.

故〃、媾=2.

因为/+彳3=2>0,故p3>(_g)3,所以〃>一4即〃+9>0.

要证：p+q<2,即证：P<2-q,

即证：p3«(2-q)3,也就是即证：〃3《8—I2g+6q2一

即证：2M8—12q+6q2,也就是即证：l—Zq+q^NO,

因为(1—q)2NO恒成立，故l—2q+q2»0必成立，

故p+qW2.

综上，0<p+qW2.

方法三.综合法

万能模板内容

使用场景一般不等式证明

解题模板第一步从己知或证明过的不等式出发，逐步推出其必要条件；

第二步根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式；

第三步得出结论.

1125

例3已知ci+b—1,求证：（ad—）~+（。-1—）'>—

ab2

【答案】详见解析.

【解析】第一步，从已知或证明过的不等式出发，逐步推出其必要条件：

【解析】；a+b=l：.l=(a+b)1=a2+b2+2ab<2(a2+62),『+/之1

又f+不=(4+6)'(F+K)NX2.J-二8♦

a'b'cTb、a,b

第二步，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式：

/.(a+l)2+(Z»+^)2=(a2+62)+4+(4+X)>^+4+8=^.

第三步，得出结论：

(a+—)2+(6+-)2>—

ab2

【点评】其证明过程最关键的一步是连续利用两次基本不等式放缩得到所证的结果，但要特别注意的是两

次不等式的放缩能否均取得到等号，需进行验证.

【变式演练3】【四川省巴中市2021届高三零诊考试】已知/(x)=|x-l|+|x+3].

(1)若存在X。使得/(%)+加2<〃?+6,求，”的取值范围；

(2)记乃是(D中的最大值且。3+尸=加0,证明0<。+匕W2.

【答案】(1)-1<W<2；(2)证明见解析.

【分析】

(1)先求出7(x)24,再解不等式4+加24根+6即得解：

(2)先证明a+h>0，再结合基本不等式证明a+bW2即得证.

【详解】

(1)由题得=|x-l|+|x+3|>|x—1—x—31=4,

所以4+根2<m+6,：.tn2-m-2<0,.,.+<0，

所以一1

(2)由题得/+63=2，

t2

所以2=3+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a--)2+-b2],

24

b、3o

因为(a——)2+-b2>Q,所以a+人>0.

24

3I

2=(。+力(a?-ab+b?)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>(a+/?)[(a+h)2——(tz+/?)2]=—(tz+Z?)3,(当且仅当

44

a=6时取等)

所以(a+b)3<8,/.tz+/?<2.

所以0<〃+。42得证.

方法四放缩法

万能模板内容

使用场景一般不等式证明

解题模板第一步根据已知找出其通项公式4=/(");

第二步然后运用恰当的放缩法对通项进行放缩：

第三步利用数列求和公式即可得出结论.

例4设S“=+7^3+…++1).求证"(〃；D<S“<

【答案】详见解析.

【解析】第一步，根据已知找出其通项公式4=/(«)：

此数列的通项为对=阿百承=12…出

第二步，然后运用恰当的放缩法对通项进行放缩；

vk<Jk(左+1)<无一11=4,；，

第三步，利用数列求和公式即可得出结论：

二力TVS.<*/+；)，即华3<铲片喈

【点评】①应注意把握放缩的“度”：卜一述不等式右边放缩用的是均值不等式J茄v生叱，若放成

2

阿而<%+1则得s“<f(k+1)=("+D(〃+">("I)?,就放过“度，，了！②根据所证不等式的结构特征来

y22

选取所需要的重要不等式，这里nI---------,।+・♦•+%<忖+…+」，其中〃=2,3等的各式及

j—-《％…an-

+•••+nVn

%an

其变式公式均可供选用。

115

-<++

【变式演练4】求证：----出---4-9-3-

(n+l)(2n+l)

【答案】见解析.

【解析】一方面：因为▲<二

所以经<1+咕115

-+---+------

52n-l3

另一方面:14—+—I----1——>1+------H-------+…4--------------1------=------

49rr2x33x4w(〃+1)〃+1〃+1

当心时羔

所以综上有正嬴产+%在…春港科网

考点：放缩法；不等式的证明.

【变式演练5】设.、b、c是三角形的边长，求证---+―-—+—-—>3.

b+c—aC+Q—ba+b-c

【答案】见解析.学&科网

【解析】由不等式的对称性，不妨设aNbNc,^\b+c-a<c^a-b<a+b-c^2c-a-b<0,

2a-b-c>0

.ab.c、a4bqe&

b+c-ac+a-ba^b-cb+c-ac+a-ba+b-c

2a—b-c2b-a-c2c-a-b2a-b-cIb-c-a2c-a-b.

----------------1---------------1------------->-----------+----------+-----------=0

b+c—ac+a-ba-Vb-cc+a-bc+a-bc+a-b

7）+「一〃「+〃一/）〃+/1—二

考点：放缩法；不等式的证明..

n+l

【变式演练6】【四川省巴中市2021届高三零诊考试】已知数列｛%｝满足q=2,an+l=2an+2.

a

（1）证明：数列n为等差数列;

2"

a111c

⑵设d=才,证明：至+国+…+炉＜2・

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【分析】

（1）根据盘"-2=1，结合等差数列的定义可证结论；

22

111

（2）由（1）知，"=1+5—1）x1=〃，根据--一一522）放大后裂项求和，川一正不等代成M..

b：几一1n

【详解】

因为箫母=24+2h

(1)2=%+1_4=1

2"i2"2"2"

a

所以数列n是首项为1,公差为1的等差数列.

2"

(2)由(1)知，/,,=1+(«-1)x1=n,

1111111

所以R=F当”22时,---=----<----------=-----------

*〃b；n2(n-l)nn-1n

所以4+2+…+4<]+l一!+!」+...+11c1c

-----=2---<2

mb；区b：223n-lnn

方法五数学归纳法

万能模板内容

使用场景对于含有〃(〃GN)的不等式类型

解题模板第一步验证当"取第一个值时不等式成立：

第二步.当“取笫一个值时不等式成立，如果使不等式在〃=攵5eN)时成立的假设

卜，还能证明不等式在〃=攵+1时也成立；

第三步这个不等式对“取第一个值以后的自然数都能成立得出结论.

例5若七>0(i=1,2,3,…,〃)，观察下列不等式:

。+吟+f*(X|+%2+*3)(---1----1---)-9,…，

x}x2x3

请你猜测(玉+4+…+乙)(1-+2•+…+'-)将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。

尤Ix2X”

【答案】(X1+X2+…+Xn)(。+…+工)>n2(n>2),证明见解析

X]X2Xn

【解析】笫一步，验证当〃取第一个值时不等式成立：

证明如下:

1°当〃=2时,结论成立;

第：步，当〃取第一个值时不等式成立，如果使不等式在〃=Z(〃eN)时成立的假设下，还能证明不等式

在〃=左+1时也成立：

2°假设”=左时，结论成立，即(演+X2H----l-X^X—+—+••+—)

毛X)xk

那么，当〃=2+1时，，(X]+/+,••++S+1)(---1----F…H----1----)==

玉x?xk

(x,+x2+---+xj(—+—+•••+—)+(X)+x2+---+xj--+x,+1(—+—+•••

再n2XkmX2

2

+-)+1>k+2(xt+x2+---+xk)(—+—+••-+—)+1N攵2+2攵+1=(%+1)2

xkVMXk

显然，当〃=%+l时，结论成立。

第三步，这个不等式对〃取第一个值以后的自然数都能成立得出结论：

由1°,2°知对于大于2的整数〃，(阳+马+…+/)(」•+」-+…+」-)2〃2成立。(12分)

王££

考点：用数学归纳法证明不等式.

【点评】应用数学归纳法最关键的一步是当假设使不等式在〃=Z(“eN)时成立的假设下，如何证明不等

式在〃=%+1时也成立.学&科网

考点：放缩法；不等式的证明.

【变式演练7】已知数列｛%｝满足ai=2,an+1+2a„=(-1)"(n0Af).

(1)求证：数列｛%-(-1)”｝是等比数列;

(2)比较与"的大小，并用数学归纳法证明；

(3)设2=±二，数列｛a｝的前n项和为%,若Tn<m对任意应N*恒成立，求实数m的取值范围.

44+1

【来源】2021年高考数学二轮复习讲练测(浙江专用))

【答案】(1)证明详见解析；(2)同2券；证明详见解析；(3).

【分析】

a-(-Dn+l

(1)由+24=(-1)"得递推式上一匕“,-2,可得证明;

(2)由(1)求出lq,l,再用数学归纳法证明;

(3)求得｛d｝,用裂项相消可求得答案.

【详解】

4川-(一1严-2q+(-1)"一(一1严-2q,+2(T)"

(1)证明：由+2““=(-1)"得

。“一(一1)"«„-(-1)"

且首项ai+l—3*0,

团数歹(){%-(-1)"}是公比为-2,首项为3的等比数列.

(2)由(1)知：«„-(-1)"=3x(-2)"-',

04=3x(-2)"'+(-1)“=(-1)"T(3X2"T-1),

a|aj=3x2n-|-l,

下面利用数学归纳法证明：同2怨.

(。"=1时，|ai|=|3-1|=2,=2,01ai|>.

弘+1

(//)假设/=如",|或但2一.

vi3(A+1

贝ljn=k+l,|a*+i|=|3x2*-1|=|2(3x2-l)+l|>2x^t!+1>.

综上可得："=k+l时成立.

综上可得：假设成立.

因此团碓W*,㈤之昔土

—2"-2n

(3)b=-----=-----：------：----------------

n(—1)1(3x21—1)(—I)〃(3x2”—1)

2”211、

=------------------——(-Z-----------------)

(3x2/,-,-l)(3x2N-l)33x2'i-l3x2〃一1

,2,111111211、1

07?.=-(-----1-------1------：------------)x=-(----------)v-，

“3255113x2n''-l3x2"—l323x2"-l3

1

0>—.

3

【点睛】

本题考查数列递推式、数学归纳法、数列的求和，要有好的运算能力、推理能力.

方法六换元法

万能模板内容

使用场景对于一般的不等式证明

解题模板第一步恰当的换元，适当的引入参数；

第二步利用已知求出新元的取值范围；

第三步根据现有的不等式放缩法得出结论.

例7求证1<后<1+N*,"22).

V77-1

【答案】见解析.

【解析】第一步，恰当的换元，适当的引入参数:

令4=班i=1+4，这里hn>0(«>1),

笫二步，利用已知求出新元的取值范围：

则有〃=(1+4)”>与2片=°<4<偌

第三步，根据现有的不等式放缩法得出结论:

从而有1<&=1+儿<

【点评】通过换元化为累的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用.

【变式演练8】已知：a+h+c=\,求证：ab+bc+ca<-.

3

【答案】见解析.

【解析】设-f,b=^-at(t&R),贝i]c=g+(l+a)f,

+Q+

=——(1+<1+.

所以，ab+be+ca<—

3

考点：换元法；不等式的证明.

【高考再现】

I.【2016高考浙江理数】已知实数a,b,c()

A.^|a2+/?+c|+|a+fe2+c|<l,贝ij42+/+/<100

B.^\a2+b+c\+\a2+b-c\<l,贝Iq2+/+c2<」()o

C.若|a+b+0+|a+上心区1,则a2+/+cyoo

D.^\a2+h+c\+\a+h2-c\<\,贝!)672+Z?2+c2<100

【答案】D

【解析】

试题分析：举反例排除法：

A.令。=6=10,c=-L10,排除此选项,

B.令a=104=-100,c=0,排除此选项，

C.令4=100)=-100,c=0,排除此选项，故选D.

考点：不等式的性质.

【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法.解答本题时能够对四个选项逐个利用

赋值的方式进行排除，确认成立的不等式.

2.【2015年陕西卷】设/'(%)=lnx,0<a<b,若p=/(、须)，q=f(笠与，r=|(/(a)+/(&)).则下列关

系式中正确的是

A.q=r<pB.q=r>p

C.p=r<qD.p=r>q

【答案】c

【解析】p=fC.Vab)=InVab,q=f(半)=In?,r=+f(b))=jlnab=InVab,函数/(x)=Inx

在(0,+8)匕单调递增，因为号所以/(手)>所以q>p=r,故选C.

【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性.

3.【2014年四川卷】若a>b>0,c<d<0,则一定有()

AA.->匕-「B.a-—<-匕"C.a-、>-。-D.a-<-

dccccdcd

【答案】B

【解析】

因为c<d<0,所以—c>-d>0,0<—■<——Za>b>0,所以三>—■>0,变形得：<之选D.

-c-d-d-cac

4.【2014年四川卷】若a>/?>O,cvdvO,则一定有()

abababah

A.—>—B.—<—C.—>—D.—<—

cdcddcdc

【答案】D

【解析】本题主要考查不等关系。已知a>人>0,c<4<0,所以一L>一工>0,所以一色>一2,故,

dcdcdc

故选。

5.【2011年上海市文科数学】若a,b6R,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是

A.a24-&2>2abB.a4-h>2y/abC.--4->-7=D..+三之2

abyjabab

【答案】D

【解析】

试题分析：满皂始繁*空富前，所以A错；：盗釉影，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当

领,自颛向.

1£5s晟4st.

__-•一堂鬟J一第一二鬟

浏/丹曲•,::颜时，B错；同时C错；，股或蠲都是正数，根据基本不等式求最值，晶满[能痛，故

D正确.

考点：不等式的性质

6.12015高考浙江，理20]已知数列｛《,｝满足q=g且%M=(〃eN*)

(1)证明：—(〃eN*)；

—

1c1

(2)设数列的前〃项和为S“，证明------<^<-~~-(〃€*).

(">"2(〃+2)n2(n+l)

【答案】(D详见解析；(2)详见解析.学&科网

试题分析：(1)首先根据递推公式可得再由递推公式变形可知

——=------=------G[1,2],从而得证；(2)由--------=——1<_JW2得,

aaaaaa

„+\„~n1-nn+\,i。"+1%+1

1<---<2,从而可得计二即可得证.

-an2(”+1)n+2

试题解析：(1)由题意得，anA-aK=-a^<0,BPanA<an,an<^,由=Q-

得4=(1-4_1乂1一。1)--(1-q)%>0,由•得，

区=—=J-HL2],即14当-42；(2)由题意得a/=4-a/i，

。八一。八1-44+1

.二Su=q①，由•1--工==""'和1K2得,1K1——_L42,

，鹏1。咒1。n-i。朽14

.e.n<——<2w,因此"......-an^i-.........(〃wN)②,由①②得

限42(〃+1)〃+2

_J_<^<_2_.

2(n+2)n2(n+1)

【考点定位】数列与不等式结合综合题.

【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式，不等式的证明等知识点，属于较难题，第一小问易证，利

用条件中的递推公式作等价变形，即可得到型」=再结合已知条件即可得证，第二小

《川a“-a；\-an

问具有较强的技巧性，苜先根据递推公式将S.转化为只与a-有关的表达式，再结合已知条件得到的

取值范围即可得证，此次数列自2008年之后作为解答题压轴题重出江湖，算是一个不大不小的冷门(之

前浙江各地的模考解答题压轴题基本都是以二次函数为背景的函数综合题)，由于数列综合题常与不等式，

函数的最值，归纳猜想，分类讨论等数学思想相结合，技巧性比较强，需要平时一定量的训练与积累，在

后续复习时应予以关注.

7.12015高考广东，理21]数列.｛4｝满足q+2%+…〃。“=4—空(〃wN*),

(1)求生•的值；

(2),求数列｛。,｝前〃项和《；

(3)令瓦=%,2=勺+,+^+,+…+:)4(〃22),证明：数列他,｝的前〃项和S,满足

<2+2In及.

〃一|

【答案】（1）—；（2）2—（耳）I;（3）见解析.

3

【解析】(1)依题3%=(q+2%+3a3)-(q+2%)=4-

4

£

4

=(a+2a+---na)-[a-b2a+---(n-l)a_J=4-^^-

（2）依题当时，nanl2K12n1

又q=4-9=1也适合此式,

数列｛&｝是苜项为1,公比为;的等比数列，故4

+l+L…+,+1+；%

（3）依题由包=-~=.......-%知〃=%，打吟

n2n

+】+；+加,

1+L..JI11

S=h+b2T----\-b=(q++,,,+〃〃1+—十・・・+—

n}n2n2n

1<2xli...l

1+-+...++++

2n2n

—则/(x)=U=?

记/(X)=lnx+—>0,

・・・，⑺在（l,+oo）上是增函数,又"1）=0即〃力〉0,

又左22且上wN.时，—>：1,

k-1

k-k1k

•••f\=In------n——-l>Ognin—>-

fc-1k-lkk-lk

k—1

i<ln~,…,-<In—^―,艮［1有L-l…+L<ln：_ln」+…+ln-=ln〃,

2132nM-123n12w-1

2x1+11

•-li一+•.•+-<2—21n〃,SPS<2+21nw.

3nn

【考点定位】前〃项和关系求项值及通项公式，等比数列前”项和，不等式放缩.

【名师点、睛】本题主要考查前”项和关系求项值及通项公式，等比数列前”项和，不等式放缩等，转化与化

归思想的应用和运算求解能力，属于高档题，此题(1)(2)问难度不大，但第(3)问难度较大，苜先应

能求得邑=；1+；+…+-击；，并由2-击＜2得到邑＜2x,+；+-+?；,再用构造函数

(f(x)=lnx+L-l(x＞l))结合不等(In白＞1)放缩方法或用数学归纳法证明

X/C~~1rC

1,+1-1-r-+・・•+1—＜11-1ln〃.

23n

8.12015高考湖南，文21】f(x)=ae2cosx(xe[0,+oo),记x〃为/(%)的从小到大的第〃(〃wN*)个

极值点。

(I)证明：数列｛/(%)｝是等比数列；

(II)若对一切〃wN*,x〃恒成立，求。的取值范围。

yf^TF--

【答案】(I)略；(II)[----e2,+00)

【解析】

试题分析：(D由题，(x)=JIa/cos(x+.),令广(力=0,求出函数的极值点，根据等比数列定义

4

即可得到结果；(H)由题意问题等价于史£。「二恒成立问题，设€(。=M">0),然后运用导项知识

a—J乃t

得到[g®)]mE=min[g(»g(w)]=min[g(3g(当]=g(勺=-e1,所以—<-e*,求得

44471a71

3,得到。的取值范围;

4

试题解析：(I)fr(x)=aexcosx-aexsinx=\/2aexcos(x+—)

jrjrRrr

r

令/'(力=。，由xNO,得4+二=加1——>gpx=m7i--zmeA*,

424

而对于cos(x+马，当左eZ时，

4

若2k兀一三<x+三<2k7T+三)即2左；r一三二vx<2左；T+工,贝ijcos(x+更)>0；

242444

若2上乃+/<%+二<2左；r+三士，即2左笈+2<xv2k;r+二,贝i_|cos(x+±)<0；

242444

因此，在区间((加-1)兀加万-乂)与(加乃-氾，加%+工)上，/'(X)的符号总相反，于是当

444

34TT37

7

x=m7T---swe2V*B^,f(x)取得极值，所以xn=n7T---,neA*,此时，

44

m--3兀1>72rus-^L.

f(x“)=ae4cos(?7^--~)=(-1)—ae4,易知/0)H0,而

(_y

/(%)

=-eK是常数,

1ZU)4T

(—严

2

5«

故数列｛/(%)｝是首喷为了(再)=一a。'，公比为一产的等比数列。

(ID对一切/可/(“恒成立，即“乃-兰4当qjT恒成立，亦即

42

也w二4?恒成立，

a»3万

nit——

4

设g⑺=一">0)，则g'⑺=一^'，令g'(f)=O得：=1,

tt

当0<f<1时,g⑺<0,所以g(f)在区间(01)上单调递曲

当时，gr(t)>0,所以g(f)在区间(L+O。)上单调递增：

因为x*e(O])，且当〃之2时，/e(L+<»),X“<XN，所以

[g®)K=min[g(»g&]=min[g令吟)]=吟="

、4-、历N—

因此，〃wN*,±恒成立，当且仅当弓B-工方"，解得当一62,

故实数°的取值范围是d/.'+8),

【考点定位】恒成立问题；等比数列的性质

【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时，如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向，如果

是不等式恒成立问题，要使用不等式恒成立的各种不同解法，如变量分离法、最值法、因式分解法等，总

之解决,这类问题把数列看做特殊函数，并把它和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了.

9.【2015高考陕西，文21]设/(x)=x+x2d---+x"-1,n&N,n>2.

⑴求力'(2);

力(x)在(。，|1"2丫

(U)证明:内有且仅有一个零点(记为%),且0<凡---<——

23⑴

【答案】⑴《'(2)=(〃-1)2"+1；(II)证明略,详见解析.

【解析】

试题分析：⑴由题设4(x)=l+2x+…+M”,所以£；(2)=l+2x2+…+〃2m，此式等价于数列

{〃-2宜}的前“项和，由错位相减法求得力(2)=-1)2"+1；

(H)因为/(0)=T<0,j>l-2xj||>0,所以»(x)在(0,|)内至少存在一个零

22

点，又<'(x)=l+2x+…+叱1>(),所以<(x)在(0.)内单调递增，因此.{(x)在(0：；)内有目只有

3J

一个零点%,由于力3==二一1,所以0=〃4)=口立一1,由此可得4二+/"“>3故

1—xI-。.222

试题解析：⑴由题设£：(x)=l+2x+…+MX"T,

所以£：(2)=1+2X2+…+〃2”T①

由2/：(2)=lx2+2x22+…+〃2"②

.①一②得一£。)=1+2+2?+…+2"T_n2"

1-22

-n-2"=(l-n)2n-l,

1-2

所以加2)=(〃-1)2"+1

（n）0^/（o）=-i<o

所以刀（x）在（o,|）内至少存在一个零点，

又£（x）=l+2x+…+亚—＞0

所以/年）在（a§内单调递熠，

因此，＜（力在（0,|）内有且只有一个零点a.,

由于启力=4-1,

1-X

1-/7门

所以0=力（4）=丁=-1

1-品

由此可得%+

故］＜凡＜,

【考点.定位】1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.

【名师点睛】（1）在函数出现多项求和形式，可以类比数列求和的方法进行求和；（2）证明零点的唯一可

以从两点出发：先使用零点存在性定理证明零点的存在性，再利用函数的单调性证明零点的唯一性；（2）

有关函数中的不等式证明，一般是先构造函数，再求出函数在定义域范围内的值域即可：（4）本题属于中

档题，要求有较高逻辑思维能力和计算能力.

10.12019新课标1］已知a,b,c为正数，且满足abc=l.证明：

（1）-+-+-＜a2+b2+c2t

abc

（2）（a+b）3+（Z?+c）3+（c+〃）3224.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

(1)利用abc=l将所证不等式可变为证明：a2+b2+c2>bc+ac+ab,利用基本不等式可证得

l(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ac,从而得到结论；(2)利用基本不等式可得

(a+城+e+c)3+(c+4>3(a+8)e+c)(c+a),再次利用基本不等式可将式转化为

(“+〃)3+("+域+仁+心24耳儿)2,在取等条件一致的情况下，可得结论.

【详解】