湖北省武汉市2024-2025学年高二数学上学期期中试题含解析

Page22湖北省武汉市2024-2025学年高二数学上学期期中试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线的方向向量是，则直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解，【详解】由题意得直线的斜率为，则直线的倾斜角是，故选：C2.直线，，若，则的值为（）A B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】依据两直线垂直可得出关于的等式，即可得解.【详解】因为，则，解得或.故选：D.3.在下列四个命题中，正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大B.过点的直线方程都可以表示为：C.经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为：D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为【答案】C【解析】【分析】依据直线倾斜角和斜率的关系，以及点斜式，两点式，截距式方程的适用范围，对每个选项进行逐一分析，即可推断和选择.【详解】对A：当直线的倾斜角时，倾斜角越大，斜率越大；当时，不存在斜率；当时，倾斜角越大，斜率越大，故A错误；对B：当直线斜率不存在时，不行以用表示，故B错误；对C：经过随意两个不同的点，的直线，当斜率等于零时，，，方程为，能用方程表示；当直线的斜率不存在时，，，方程为，能用方程表示，故C正确，对D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，，故D错误.故选：C.4.已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据切线长，半径以及圆心到点的距离的关系，求得圆心到直线的距离，再求切线长距离的最小值即可.【详解】圆，其圆心为，半径，则到直线的距离；设切线长为，则，若最小，则取得最小值，明显最小值为，故的最小值为，即切线长的最小值为.故选：A.5.已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设，利用三角形的重心坐标公式可得，将其代入可得结果.【详解】分别为椭圆的左、右焦点，设，G点是三角形的重心则，得，又是椭圆E上一动点，，即，又G点是三角形的重心，所以点G的轨迹方程为故选：B6.已知椭圆，点关于直线的对称点落在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得点关于直线的对称点的坐标，依据点的坐标满意椭圆方程，整理化简求得，再结合离心率计算公式求解即可.【详解】易知点关于直线的对称点为，依据题意可得：，故可得或，又，故；则离心率.故选：D.7.过椭圆左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆交于、两点，其中为线段的中点，线段的长为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设、、，利用点差法，化简可得，结合已知条件可得，将其代入上式化简可求得结果.详解】设、、，由题意得，，两式相减，得，因为为线段的中点，且直线的倾斜角为，所以．因为，直线的倾斜角为，，易知点在其次象限，则，，所以，所以，得，所以，即，所以．故选：D.8.已知过定点的直线与圆C：相交于A，B两点，当线段的长为整数时，全部满意条件直线的条数为（）A.11 B.20 C.21 D.22【答案】C【解析】【分析】先求出的范围，找到为整数的条数即可.【详解】由已知圆，得所以圆心为，半径，且设定点为，易知在圆内，当与垂直时，，最小为当经过点时，此时最大为故，即又因为，，的长为整数所以当时，直线的条数各为两条，当时，直线的条数为一条，共条.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于曲线，下面说法正确的是（）A.若，曲线C的长轴长为4B.若曲线是椭圆，则的取值范围是C.若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是D.若曲线是椭圆且离心率为，则的值为或【答案】ACD【解析】【分析】依据双曲线、椭圆的学问对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】曲线，A选项，，，则，A选项正确.B选项，若曲线椭圆，则，解得且，所以B选项错误.C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，C选项正确.D选项，曲线是椭圆且离心率为，，由B选项的分析可知且，当时，椭圆焦点在轴上，，解得；当时，椭圆焦点在轴上，，解得，所以的值为或，D选项正确.故选：ACD10.已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（）A.若两圆外切，则B.若两圆公共弦所在的直线方程为，则C.若两圆的公共弦长为，则D.若两圆在交点处的切线相互垂直，则【答案】AB【解析】【分析】依据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设圆为圆，圆的圆心为，半径.设圆为圆，圆的圆心为，半径..A选项，若两圆外切，则，A选项正确.B选项，由两式相减并化简得，则，此时，满意两圆相交，B选项正确.C选项，由两式相减并化简得，到直线的距离为，所以，即，则解得或，C选项错误.D选项，若两圆在交点处的切线相互垂直，设交点为，依据圆的几何性质可知，所以，D选项错误.故选：AB11.已知两点的距离为定值，平面内一动点，记的内角的对边分别为，面积为，下面说法正确的是（）A.若，则最大值为2B.若，则最大值为C.若，则最大值为D.若，则最大值为1【答案】BC【解析】【分析】设点坐标，依据条件分别求出动点的轨迹方程，再由三角形ABC的面积，转化为由轨迹方程求的最大值即可得解.【详解】设，动点，对A，，即，化简可得C的轨迹方程，所以三角形ABC的面积，即C点为时，三角形ABC面积最大，故A错误；对B，由题意可得，化简可得C的轨迹方程，所以，即C点为时，三角形ABC面积最大，故B正确；对C，由知，动点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（除去长轴上的两个顶点），椭圆方程为，三角形ABC的面积，即当C运动到短轴端点时，三角形面积最大，故C正确；对于D，由题意，化简可得C的轨迹方程，三角形ABC的面积，由双曲线中的范围知，三角形ABC的面积的最大值为，故D错误.故选：BC12.已知分别为椭圆左、右焦点，下列说法正确的是（）A.若点的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段长度的最小值为B.若椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是C.若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是D.若点的坐标为，椭圆上存在点P使得，则椭圆的离心率的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】A选项，设出，，则，表达出，分与两种状况，得到不同状况下的线段长度的最小值，A错误；B选项，先得到上下顶点能够使得为等腰三角形，再数形结合得到为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，列出不等式组，求出答案；C选项，分与两种状况，第一种状况成立，其次种状况下得到P点与上顶点或下顶点重合时，最大，数形结合列出不等式，最终求出离心率的取值范围；D选项，设，，则，表达出，问题转化为在上有解问题，数形结合得到，求出离心率的取值范围.【详解】设，，则，，，若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，线段长度的最小值为；若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，线段长度的最小值为，综上：A错误；如图，椭圆左右顶点为，上下顶点为，明显上下顶点能够使得为等腰三角形，要想椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，以为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，则要满意，且，即，解得：，且，故椭圆的离心率的取值范围是，B正确；若，此时与椭圆有公共点，故存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，此时，即；若，即时，如图所示：连接OP，OB，明显，，则，因为在上单调递增，要想最大，只需最大，故当最小时，满意要求，故P点与上顶点或下顶点重合时，最大，故当时满意要求，所以，即，所以，解得：，所以，综上：若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是，C正确；设，，则，椭圆上存在点P使得，即在上有解，即在上有解，令，留意到，，故只需满意，由①得：，由②得：或，综上：则椭圆的离心率的取值范围是，D正确.故选：BCD【点睛】离心率时椭圆的重要几何性质，是高考重点考察的学问点，这类问题一般有两类，一是依据肯定的条件求椭圆的离心率，另一类是依据题目条件求解离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于的等式或不等式，并且依据化为的等式或不等式，求出离心率或离心率的范围，再求解椭圆离心率取值范围时常用的方法有：一、借助平面几何图形中的不等关系；二、利用函数的值域求解范围；三、依据椭圆自身性质或基本不等式求解范围等.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则______.【答案】【解析】【分析】依据渐近线、焦点以及求得.【详解】依题意双曲线的渐近线，由焦点得，由，解得.故答案为：14.写出访得关于的方程组无解的一个的值为______.（写出一个即可）【答案】，3，（写出一个即可）【解析】【分析】依据方程组无解，探讨其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的状况得解.【详解】明显，当时，不表示直线，无解，故方程组无解；当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点，若两直线平行，则，解得.若两直线不平行时，过点，即，解得或，此时，不过点，方程组无解.综上，的取值为.故答案为：，3，（写出一个即可）15.已知椭圆的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，点坐标是，则的最大值是______.【答案】13【解析】【分析】设椭圆左焦点，依据椭圆的定义将转化为，结合图形的几何性质，即可求得答案.【详解】由可知，，设椭圆左焦点，则，当且仅当，，共线时且当在的延长线上时等号成立．的最大值为，故答案为：.16.已知直线与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，若四点共圆，则的值为______.【答案】4【解析】【分析】设出所在圆的圆心以及圆方程，依据圆心坐标满意的垂直平分线，结合直线为圆与圆的相交线直线，比较系数，即可求得结果.【详解】设所在圆的圆心为，则圆方程为；又的中点坐标为，，故垂直平分线的斜率，则的垂直平分线所在方程为：，即，故；因为直线为圆与圆的相交弦，故两圆方程作差可得：，即，又直线方程为，则，解得.故答案：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.直线过点，且倾斜角比直线的倾斜角大.（1）求直线的方程；（2）若直线与直线平行，且距离为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）和.【解析】【分析】（1）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则由题意可得，再利用两角和的正切公式可求出，即可得直线的斜率，从而可求出直线的方程；（2）由题意可设直线的方程为，再利用两平行线间的距离公式列方程求解即可.【小问1详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则题意得，所以，所以直线的方程为，即，【小问2详解】由题意可设直线的方程为，因为直线与直线的距离为，所以，解得或，所以直线的方程为和.18.已知三点都在圆上.（1）试求圆C的方程；（2）若斜率为的直线与圆交于不同两点，且以为直径的圆恰好过点，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）依据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的方程.（2）设出直线的方程，依据“以为直径的圆恰好过点”求得到直线的距离，结合点到直线的距离公式求得直线的方程.【小问1详解】由题意知三点，，构成的是以PQ为斜边的直角三角形，所以覆盖它且面积最小的圆是的外接圆，故圆心是线段PQ的中点，半径，所以圆C的方程是.【小问2详解】设直线l的方程是：，即，因为以为直径的圆恰好过点，，所以圆心C到直线l的距离是，即解得：.所以直线l的方程是：或.19.已知圆.（1）求过点且与圆相切的直线方程；（2）已知点．则在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数，若不存在，说明理由．【答案】（1）或；（2）存在，点P的个数为2,理由见解析【解析】【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求解，（2）由题意列式得轨迹方程，由圆和圆的位置关系求解，【小问1详解】由题意圆C：，圆心，半径，1）当直线l的斜率不存在时，直线l：，符合题意；2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：即，则圆心C到直线l的距离，解得，所以直线l的方程为即综上，直线l的方程为或；【小问2详解】假设圆C上存在点P，设，则C：，又，即，P的轨迹是圆心为，半径为3的圆.因为，所以圆C：与圆相交，所以点P的个数为220.如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，分别是线段的中点，是线段上的一点（1）若是线段的中点，试证明平面；（2）已知直线与平面所成角为.①若和的面积分别记为，试求的值；②求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）①；②【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定即可证明.（2）①利用向量法和三角形面积公式即可求得的值，②利用等体积法即可求得体积.【小问1详解】∵，分别为线段，，∴，又∵，∴，面PAD，面PAD，∴面PAD.【小问2详解】分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，，，，，设平面AEF的法向量，则，所以，取，设，则则，整理得，解得或（舍去)，①②∵，且21.已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为其左焦点，过的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）试求△面积的最大值以及此时直线的方程.【答案】（1）；（2）最大值为，此时直线l的方程.【解析】【分析】（1）依据已知条件，列出满意的等量关系，求得，则椭圆方程得解；（2）对直线的斜率进行探讨，在斜率存在时，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理求得弦长和点到直线的距离，即可表达出三角形面积关于参数的函数关系，进而求函数的最大值即可.【小问1详解】依据题意可得：，，又，解得，，，故椭圆的标准方程为：.【小问2详解】①当直线l斜率为零时，明显不满意题意；②直线l的斜率不为零，设其方程为：，联立椭圆方程：可得：，设A，B的坐标分别为，，则，，，点O到直线AB的距离，，令，则，故对函数，，易知在单调递增，在单调递减，故，当且仅当，即时取得等号；故△面积的最大值为，此时直线l的方程.下证：在单调递增.