高中数学-求曲线方程（一）教学设计学情分析教材分析课后反思

课标分析

高中数学新课标指出：“高中数学课提倡体现数学的文化价值”这一基本理念。

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门学科，”解析几何研究的主要问题

就体现了数形结合的重要思想方法。解析几何里用坐标法研究曲线的一般程序是：建立适当

的坐标系;求出曲线的方程;利用方程讨论曲线的几何性质；说明这些性质在实际中的应用。

因此求曲线的方程突出了坐标法的重要性，重视数学思想方法的教学。我们应结合教学内容,

把反映出来的数学思想方法的教学，作为高中数学教学的一项重要任务来完成，

学情分析

上节课学习了“曲线的方程和方程的曲线”后，学生对这种必须同时具备纯

粹性和完备性的概念有了初步的认识，对用代数方法研究几何问题的科学性、准

确性和优越性等已有了初步了解，对具体(平面)图形与方程间能否对应、怎样

对应的学习已经有了自然的求知欲望.

由于学生数学基础不太好，思维不够活跃，课堂中需要放慢速度，让学生真

正体会求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点(x,y)横纵坐标间的等量关系，

积极探究求曲线方程的核心方法。

求曲线的方程评测练习

班级姓名

1.已知力(2,5)、6(3,-1),则线段的方程是()

A.6x+y—17=0B.6x+y—17=0(x23)

C.6x+y-17=0(xW3)D.6x+y-17=0(2WxW3)

2.到点(一1,—2)的距离等于3的动点〃的轨迹方程是()

A.(x+1)-+(y+2)2=3B.(x+l)~+(y+2)'=9

C.(^-l)2+(y-2)2=3D.U-l)2+(y-2)2=9

3.已知4(一1,0),8(1,0),且加•砺=0,则动点"的轨迹方程是()

A./+/=1B.x+y=2

C.x+y=1±1)D.半+/=2(王/土地)

4.等腰直角三角形底边两端点是A(-2,0),B(l,0),顶点C的轨迹是

(A)一条直线(B)一条直线去掉一个点(C)一个点(D)两个点

5.若/ABC的顶点A(l,l),B(3,6),且面积为3,则顶点C的轨迹方程为

(A)5x-2y+3=0(B)5x-2y-9=0(C)5x-2y+3=0或5x-2y-9=0(D)5x+2y-9=0

6.动点P到y轴的距离等于它到点Q(3,0)的距离，动点P的轨迹方程为

(A)x2+y2-7x+9=0(B)x2+y2-6x+10=0(C)y2+6x-9=0(D)y2-6x+9=0

7、一个动点到直线x=8的距离是它到点4(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹

方程.

8、已知平面上有两定点A,B,|A5|=2a(a>0),平面上一动点M到A,B两点距

离之比为2：1；求动点M的轨迹方程、并说出轨迹的形状。

9、二封段.等于10,两端点A.B分别在x轴和y轴上滑动，M在线段AB

上且而=4MB,求点M的轨迹方程。

10、线段AB与CD互相垂直平分于点O,|AB|=4,|CZ)|=2,动点P满足|尸/4卜归却=|尸。归。,

求动点尸的轨迹方程.

《求曲线的方程》观评记录

《求曲线的方程》这堂课，教学基本功扎实，教学重点、难点把

握得当，教师引导层层深入。教学从一个实际问题的解决入手，由此

引入课题求曲线的方程。通过问题探究垂直平分线方程，在已有的旧

知识上逐步展开，比较自然，给出求曲线方程的直接法。再总结求曲

线的方程的一般步骤，这样让学生更容易接受。然后通过典例剖析、

学以致用、活学活用进一步加深求曲线的步骤，锻炼学生的思维能力，

体会数学的应用。其实一堂课的题不在多，而在于精。

建议：课堂上教师是主导、学生是主体。本节课师生互动方面做

得不够。比如在讲典例时、可以让学生说出他们自己的建立坐标系的

方法，然后对比选择最优的建系方式。

启示：“因材施教”是教学的真谛，教师也要随机应变，注重课堂

的生成并及时解决问题。教师在教学中，要善于捕捉、组织、判断各

种信息，有效组织课堂教学，提高认识自己的反思能力和自觉进行心

理调控的能力等。

教材分析

求曲线的方程是高中数学选修2-1第二章第一节内容的第二课时，本节重点

重点探讨求曲线方程的方法一一直接法，让学生理解坐标法的思想。求曲线方程

是解析几何研究的两大类问题之一，既是重点也是难点，主要包括两种类型求曲

线的方程：一是已知曲线形状时常用待定系数法；二是动点轨迹方程探求，本课

的重点主要是探索动点的曲线方程.

曲线和方程，既是直线与方程的自然延伸，又是圆锥曲线学习的必备，是后

面平面曲线学习的理论基础，“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形

式.“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式；求曲线方程是用

方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题.体现了坐

标法的本质一一代数化处理几何问题，是数形结合的典范.

求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y）横纵坐标间的等量关系，

但如何获得曲线的方程呢？通过创设情景，激发学生兴趣，充分发挥其主体地

位的作用，学习过程具有较强的探究性.本课内容又为后面的轨迹探求提供方法

的准备，并且以后还会继续完善轨迹方程的求解方法

.曲线的方程是解析几何的核心.求曲线方程的过程类似于数学建模的过程,

它贯穿于解析几何的始终，通过本课例题与变式，要总结规律，掌握方法，为后

面圆锥曲线等的轨迹探求提供示范.

一、教材分析

求曲线的方程是高中数学选修2-1第二章第一节内容的第二课时，本节重点重点

探讨求曲线方程的方法一一直接法，让学生理解坐标法的思想。求曲线方程是解

析几何研究的两大类问题之一，既是重点也是难点，主要包括两种类型求曲线的

方程：一是已知曲线形状时常用待定系数法；二是动点轨迹方程探求，本课的重

点主要是探索动点的曲线方程.

曲线和方程，既是直线与方程的自然延伸，又是圆锥曲线学习的必备，是后

面平面曲线学习的理论基础，“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形

式.“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式；求曲线方程是用

方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题.体现了坐

标法的本质一一代数化处理几何问题，是数形结合的典范.

求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y）横纵坐标间的等量关系，

但如何获得曲线的方程呢？通过创设情景，激发学生兴趣，充分发挥其主体地

位的作用，学习过程具有较强的探究性.本课内容又为后面的轨迹探求提供方法

的准备，并且以后还会继续完善轨迹方程的求解方法

.曲线的方程是解析几何的核心.求曲线方程的过程类似于数学建模的过程,

它贯穿于解析几何的始终，通过本课例题与变式，要总结规律，掌握方法，为后

面圆锥曲线等的轨迹探求提供示范.

二、学情分析

上节课学习了“曲线的方程和方程的曲线”后，学生对这种必须同时具备纯

粹性和完备性的概念有了初步的认识，对用代数方法研究几何问题的科学性、准

确性和优越性等已有了初步了解，对具体（平面）图形与方程间能否对应、怎样

对应的学习己经有了自然的求知欲望.

由于学生数学基础不太好，思维不够活跃，课堂中需要放慢速度，让学生真

正体会求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y）横纵坐标间的等量关系，

积极探究求曲线方程的核心方法。

三、目标分析

1.教学目标

知识技能目标

（1）、理解坐标法的作用及意义.

（2）掌握求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系求

曲线方程.

过程方法目标

（1）通过学生积极参与，亲身经历曲线方程的获得过程，体验坐标法在处理几

何问题中的优越性，渗透数形结合的数学思想.

（2）通过自主探索、合作交流，层层深入，培养学生发散思维的能力，深化对

求曲线方程本质的理解.

情感、态度与价值观目标

通过合作学习，学生间、师生间的相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，

体会数学的理性与严谨，逐步养成质疑的科学精神.

2.教学重点和难点

重点：求曲线方程的方法、步骤

难点：几何条件的代数化

四、教学分析

1.教法分析：教师引导、探究发现

遵循以学生为主体，教师为主导，以问题的提出、问题的解决为主线，始终

在学生知识的“最近发展区”设置问题，通过学生主动探索、积极参与、共同交

流与协作，在教师的引导和合作下，学生于问题的分析和解决中实现知识的建构

和发展，通过不断探究、发现，让学习过程成为心灵愉悦的主动认知过程.

2.学法分析：自主探究、互相讨论、探索发现

由于学生在尝试问题解决的过程中常会在新旧知识联系、思想方法运用等方

面遇到一定的困难，需要教师指导.作为学生活动的组织者、引导者、参与者，

教师要帮助学生重温与问题解决有关的旧知，给予学生思考的时间和表达的机会,

共同对（解题）过程进行反思等，在师生（生生）互动中，给予学生启发和鼓励，

在心理上、认知上予以帮助.这样，在学法上确立的教法，能帮助学生更好地获

得完整的认知结构，使学生思维、能力等得到和谐发展.

3.设计理念

求曲线方程就是将曲线上点的几何表示形式转化为代数表示形式。在这转化

过程中，学生通过积极参与、勇于探索的学习方式，让学生的学习过程成为教师

指导下的再创造，这也正是建构主义理论的本质要求；遵循学生认知规律，尊重

学生个体差异，立足教材，通过对例题的再创造，体现理论联系实际、循序渐进

和因材施教的教学原则，让不同层次的学生得到不同层度的发展;通过激发兴趣，

强调自主探索与合作交流，让学生逐步地从学会走向会学，由被动走向主动，由

课堂走向社会，为学生的终身学习和终身发展奠定良好的基础，也是当前新课程

所追求的基本理念.

五、教学过程

根据本课教学内容特点，抓住问题中形成轨迹的动点具备的几何条件，运用

坐标化的手段及等价转化与数形结合的思想方法，突破难点，突出重点.本课的

教学设计思路是：

创设情景一一从解决生活上的实例出发，引入课题，激发学生的求知欲望，抓

住学生迫切一试的认知心理，自然引入坐标法的意义及曲线方程的求法.

问题探究一一从学生最熟知的直线方程入手，既回顾前面所学内容，又能自然

引入本节求曲线方程的一般方法一直接法，让学生初步感受求曲线方程的过程。

典例剖析一一例题体现知识的前后联系.通过例题的呈现，学生借助已有的知

识经验，自主探求获得问题的求解，在教师的引导下，让学生感受求曲线方程的

含义及求解步骤；在没有坐标系的情况下，选择建系合适方法，进一步完善求曲

线方程的步骤。总结出建立坐标系的一般规律。

学以致用一一利用学生探究认知水平，运用获得的知识解决情景创设中的实际

问题，一方面可以考察学生运用所学数学知识解决实际问题的意识和能力；另一

方面是学生思维的自然顺应，，是“一般一一特殊”的过程.全面完成教学目标.

通过解决实际问题，让学生感受数学建模的意义，初步体会数学的应用价值，激

发学生兴趣。

活学活用一一此题解法比较灵活，既可用一般求解思路，亦可活用几何性质找

到解决问题的突破口，熟练列出几何限制条件，从而转化成坐标表示。深化对认

知结构的理解，运用数形结合的思想方法，突破难点，突出重点。

教

学教学内容学生活动设计意图

环

节

问题引入：在美丽的南沙群思考：1.形成轨迹感

岛中，甲岛与乙岛相距8海巡逻舰的运动轨迹是什知

创

里，一艘军舰在海上巡逻么？（激起学生浓厚兴2.感受数学的

设

（甲岛、乙岛同侧），，巡趣）价值

情

逻过程中，从军舰上看甲乙有求知欲望，有所思索3.自然引入课

景

两岛，保持视角为直角，你但不知方程是什么（学题“求曲线的方

认为军舰巡逻的路线应是生可能想到需要建立坐程”

怎样的曲线，你能为它写出标系）

一个方程吗？

1.自主求解1.充分肯定学

已知两点坐标为A（-l-l）,

可能解法：用点斜式求生利用已有的

直线方程知识经验顺利

B（3,7）,求线段AB的垂直

问求解

平分线的方程.y-3=-1（x-i）

2.将“待定系数

题法”导向轨迹方

即x+2y—7-0

程求法，让学生

2.（在教师引导下）探初步体验求曲

探索动点满足的几何条线方程的方法

件，进而讨论、探求曲与步骤

线方程

究3.比较方法，得出启示.3.进行必要的

口头表述：求曲线方程反思

需要的步骤

求曲线方程的一般步骤：1.学生通过互相讨论，1.通过“体验一

归（优化）归纳总结，以自己的语一理解——归

1.建系设点言完善求曲线方程的一纳一一应用”逐

纳2.写限制条件般步骤步实现教学目

3.坐标代入2.学生思考：证明可以标

总4.化简方程不作要求，那么如何保2.检验过程和

5.证明----不作要求证完备性呢？结果.养成质疑

结（检验）与反思的习惯

已知一条直线/和1.相互讨论、合作交流，1、了解常见的

它上方的一个点F,让学生提出遇到的问题建系策略，真正

典（无法代数处理，需要突破建系难点

点F至h的距离是2。

先建系）难点：建系2、最后一步验

一条曲线也在/的

例（学生直觉或结合计算证不要求证明”

上方，它上面的一的繁简可以快速建系，不是“不需要证

剖点到F的距离减去但理解不会深刻）明”，要求学生

至h的距离的差是2.探究发现问题中的养成对曲线方

析2,建立适当的坐标几何关手，进而转化成程检验的意识

系，求这条曲线的坐标表示。——检验过程、

3.思考求出的方程是否检验结果，为学

方程。

为曲线方程？生思维的发散

留有空间（让不

同认知水平的

学生都得到发

展）

在美丽的南沙群岛中，甲岛学生思考讨论如何转化学生再从“一般

学与乙岛相距8海里，一艘军成数学问题——特殊”，考

舰在海上巡逻（甲岛、乙岛自主探索，表述解答过察学生运用所

以同侧），，巡逻过程中，从程学数学知识解

军舰上看甲乙两岛，保持视决实际问题的

致角为直角，你认为军舰巡逻意识和能力；是

的路线应是怎样的曲线，你学生思维的自

用能为它写出一个方程吗？然顺应，自然释

放，形成首尾呼

应

活已知点C的坐标是（2,学生讨论：通过比较让学

2）,过点C直线CA与x轴解决问题的突破口，可生学会对比，寻

学交于点A,过点C且与直线以从那些条件出发找几求更简洁的解

CA垂直的直线CB与y轴交何限制条件题方法，活用几

活于点B,设点M是线段AB的何性质

中点,求点M的轨迹方程.

用

小求曲线方程的一般步骤：理解求法、步骤，相互帮助学生形成

结

建系设点一一写限制条件讨论，明确关键步骤是完整的认知结

反

——建立方程——化简方哪一步，时间允许可以构

思

程----检验发表看法

作

P37:习题2.1

业作业分为两种形课后作业自主

A组：3、4B组1、2

布式，体现作业的巩固性完成

置弹性作业

已知平面上有两定点A,B,和发展性原则，而弹性

\AE\=2a（a>0），平面上一作业不作统一要求，供

动点M到A,B两点距离之

学有余力的学生课后研

比

究.同时，它也是新课标

为2：1;求动点M的

;方程、并说出轨迹的形状。里研究性学习的一部

分.

教学流程图

创

学

问

活

以

设

题

复学

致

情

探

活

用

景

习究

用

回

反

思

效果分析

本节课以学生的“数学活动”为主线，以问题的解决为目的，

让学生自主探索（直译法）求曲线方程的思路，以积极的情感态度、

用亲身体验与创造的方法来学习数学，获得广泛的数学活动经验，进

而掌握曲线方程的求法在教师的引导下，让学生经历“数学化”、

“再创造”的活动过程，为学生发展数学思维能力提供有效的途径。

本节课从实际问题入手，激发学生兴趣，进而解决实际问题，

前后呼应。通过活学活用环节，让学生巩固已学知识，熟练掌握求曲

线方程的一般方法一直接法。为今后学习圆锥曲线打下坚实的基础。

求曲线的方程（一）教学反思

本内容包含“曲线与方程”和“求曲线的方程”。上节课引入

“曲线的方程”和“方程的曲线”概念，并通过概念的简单应用，使

学生初步理解概念；本节给出求轨迹方程的一般步骤和方法，通过求

轨迹方程帮助学生进一步理解、掌握曲线方程的概念.在教学设计中，

主要考虑贯彻教材编写意图问题，注重利用学生在学习“直线的方程”

“圆的方程”中建立的已有经验，通过适当的问题引导学生学习，这

样的安排充分注意了学生已有的认知基础，有利于学生主动构建概念。

我认为这样的设计对学生理解概念、发展能力都有积极意义，但做好

这一点必须有充足的时间让学生进行归纳、思考、总结.从实际的教

学情况来看,在概念的引入上是比较成功的，学生在课堂中的表现和

教学设计的预设比较一致。

本节课以学生的“数学活动”为主线，以问题的解决为目的，

让学生自主探索（直译法）求曲线方程的思路，以积极的情感态度、

用亲身体验与创造的方法来学习数学，获得广泛的数学活动经验，进

而掌握曲