专题07 函数的单调性与最大(小)值-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

2/2专题07函数的单调性与最大(小)值（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 4【考点1】确定函数的单调性(区间) 4【考点2】求函数的最值 6【考点3】函数单调性的应用 7【分层检测】 8【基础篇】 8【能力篇】 10【培优篇】 11考试要求：1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识梳理知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1.有关单调性的常用结论在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的单调性相反.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．4．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（

）A． B．C． D．5．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（

）A． B． C． D．6．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点突破考点突破【考点1】确定函数的单调性(区间)一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．（2023·广东惠州·一模）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（

）

A． B．C． D．二、多选题3．（2023·全国·模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间（单位：天）之间的函数关系．则下列说法中正确的是（

）A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C．天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%D．天后，小菲的单词记忆保持量不足20%4．（2024·河南·一模）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（

）A．若，，则实数m的取值范围为B．若，，则实数m的取值范围为C．若，，则实数m的取值范围为D．若，，则实数m的取值范围为三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数，对于定义域内任意的x，y，都有，且在上单调递减，则不等式的解集为.6．（2023·北京密云·三模）设函数.①当时，的单调递增区间为；②若且，使得成立，则实数a的一个取值范围.反思提升：1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.易错警示函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.【考点2】求函数的最值一、单选题1．（2024·陕西·模拟预测）函数满足，且，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．2．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（

）A． B． C．0 D．84．（2022·福建漳州·一模）已知函数，则（

）A．的定义域为 B．是偶函数C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为三、填空题5．（2023·云南保山·二模）对于函数，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称为“倒戈函数”，设函数是定义在上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是.6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知，，，则的最小值为．反思提升：1.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【考点3】函数单调性的应用一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2024·广西贺州·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（

）A．是奇函数B．为增函数C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为D．4．（2023·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，设函数，则下列结论成立的是（

）A．函数的图象关于对称B．C．当实数时，函数在区间上单调递减D．在区间内，若函数有4个零点，则实数的取值范围是三、填空题5．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是.6．（21-22高三上·浙江绍兴·阶段练习）已知函数，则对任意的，存在、（其中、且），能使以下式子恒成立的是.①；②；③；④.反思提升：1.利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个单调区间内，然后利用单调性比较大小.2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“f”符号脱去，转化为关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域.3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（

）A．有零点 B．是单调函数C．是奇函数 D．是周期函数2．（2021·甘肃金昌·二模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数为奇函数B．函数的值域为C．当时，函数的图象关于直线对称D．函数的增区间为，3．（2023·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2023·贵州·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（

）A．是偶函数B．在上单调递增C．的图象关于直线对称D．的图象与轴围成的三角形面积为2二、多选题5．（2023·辽宁抚顺·二模）已知函数，且满足，则实数的取值可能为（

）A． B． C．1 D．26．（2023·福建南平·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．7．（2021·江西·模拟预测）已知函数，则下列叙述正确的是（

）A．的值域为 B．在区间上单调递增C． D．若，则的最小值为-3三、填空题8．（2024·辽宁·一模）已知圆：，直线交圆于、两点，点，则三角形面积的最大值为.9．（2021·山东淄博·一模）已知函数在上的最大值是6，则实数的值是.10．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是．四、解答题11．（2022·河南郑州·一模）定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，.(1)求在上的解析式；(2)判断在上的单调性；(3)当为何值时，方程在上有实数解.12．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为，且图象关于点对称．(1)求函数的解析式和单调递增区间；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【能力篇】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·全国·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，，则下列结论中正确的是（

）A．的图象关于轴对称B．在上单调递增C．的解集为D．若对恒成立，则实数的取值范围为三、填空题3．（2024·山东淄博·一模）设方程，的根分别为p，q，函数，令则a，b，c的大小关系为.四、解答题4．（2022·全国·模拟预测）已知函数．(1)求不等式的解集；(2)，，使得，求实数的取值范围．【