4.4探索三角形相似的条件（提升版）（含答案）-北师大版数学九年级上册

4.4探索三角形相似的条件（提升版）夯实基夯实基础黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。一、选择题1．如图，在由小正方形组成的方格纸中，△ABC和△PDE的顶点均在格点上，要使△ABC∽△PDE，则点P所在的格点为（）A．P1 B．P2 C．P32．如图，能使△ABC∽△ADE成立的条件是（）A．∠A=∠A B．∠ADE=∠AED C．ABAD=AC3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△AED∽△ABC的是（）A．∠AED＝∠ABC B．∠ADE＝∠ACBC．ADAC=ED4．神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是137.5°．我们知道圆盘一周为360°，360°−137.A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割5．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．APAB=AB6．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝4，则AC的长为（）A．（6-25） B．（25-2） C．（5-1） D．（3-5）7．下列判断中，正确的是（）A．各有一个角是76°的两个等腰三角形相似B．邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似C．各有一个角是45°的两个等腰三角形相似D．邻边之比为2：3的两个等腰三角形相似8．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，CD与BE交于点F，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠ABE=∠ACD B．DFC．ABBE=AC9．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（）A． B．C． D．10．一个钢筋三脚架三边长分别为30cm，60cm，80cm，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为40cm和90cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（）A．一种 B．两种C．三种 D．四种或四种以上巩固积巩固积厚宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。二、填空题11．图中的两个三角形是否相似，（填“是”或“否”）.12．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=20，则AC的长度是13．已知线段AB=4cm，C是AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC=.（结果保留根号）14．如图，在△ABC中，点D在AB上，连接CD．请添加一个条件，使得△ACD∽△ABC，然后再加以证明．15．已知线段AB=4，P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，则AP=．优尖拔优尖拔高书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。三、解答题16．如图，点D为△ABC边AB上一点，连接CD，AD=2，BD=6，AC=4.求证：△ACD∽△ABC.17．如图，在△ABP和△CDP中，∠B=∠C=90°，点P在BC上，且∠APD=90°，证明：△ABP∽△PCD．18．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足CA19．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFC=∠B．求证：△DCF∽△CEB．20．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC.求证：△ADE∽△DBF．

答案与解析答案与解析1．答案:B解析：解：△ABC中，AB是正方形的对角线，∴∠ABC=135°，且AB=12+即ABBC要使△ABC∽△PDE，则∠PDE=∠ABC=135°，观察图形，只有P2D是正方形的对角线，即且DP2=即DP∴点P2故答案为：B.分析：易得∠ABC=135°，AB=2，BC=2，要使△ABC∽△PDE，则∠PDE=∠ABC=135°，观察图形可得只有∠P2DE=135°，且DP2．答案:C解析：解：由题意得，∠A=∠A，若添加ABAD=ACA、B、D均不能判定△ABC∽△ADE，故不符合题意；故答案为：C.分析：直接根据相似三角形的判定定理进行判断即可.3．答案:A,B,D解析：解：A、∵∠AED＝∠ABC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，符合题意；B、∵∠ADE＝∠AC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，符合题意；C、ADACD、∵ADAC∴△AED∽△ABC，符合题意.故答案为：ABD.分析：直接根据相似三角形的判定定理进行判断即可.4．答案:D解析：解：∵137.∴体现了“黄金分割”．故答案为：D．

分析：利用“黄金分割”的定义求解即可。5．答案:D解析：解：A、∵∠ABP=∠C，∠A=∠A，

∴△ABP∽△ACB，故A不符合题意；

B、∵∠APB=∠ABC，∠A=∠A，

∴△ABP∽△ACB，故B不符合题意；

C、∵∠A=∠A，APAB=ABAC，

∴△ABP∽△ACB，故C不符合题意；

D、∵∠A=∠A，APAB分析：图形中隐含了公共角∠A=∠A，利用有两组角分别对应相等的两三角形相似，可对A，B作出判断；再利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C，D作出判断.6．答案:B解析：解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝5−12AB＝2（故答案为：B.分析：根据黄金分割的特点可得AC＝5−17．答案:B解析：A.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故A选项不符合题意．B.因为比值为2：1，所以大边一定是腰，所以对边成比例，相似，故B选项符合题意．C.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故C选项不符合题意．D.没有指明谁是底边谁是腰，无法判定，故A选项不符合题意．故答案为：A．

分析：利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。8．答案:C解析：解：∵∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，∴△ABE∼△ACD，故A选项不符合题意；∵∠DFBF=EF∴△DFB∼△EFC，∴∠DBF＝∠ECF，∵∠BAE=∠CAD，∴△ABE∼△ACD，故B选项不符合题意；∵ABBE=ACCD，∴C选项符合题意；∵AD·AB=AE·AC，∴ADAE=AC∴△ABE∼△ACD，故D选项不符合题意；故答案为：C．

分析：相似三角形的判定：两角分别相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.9．答案:D解析：解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=75°，∠A=30°，A、三角形各角的度数都是60°，B、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，C、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，D、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故答案为：D．

分析：利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。10．答案:B解析：解：由相似三角形对应边成比例得，只能将40cm长的作为一边，将90cm长的截成两段，设从90cm的钢筋上载下的两段分别长xcm，ycm，当40cm长的边对应30cm长的边时，3040=60此时x+y>90，所以此截法不可行；当40cm长的边对应60cm长的边时，30x=60此时x+y<90，所以此截法可行；当40cm长的边对应80cm长的边时，30x=60此时x+y<90，所以此截法可行，综上所述，截法有两种，故答案为：B．

分析：由相似三角形对应边成比例得，只能将40cm长的作为一边，将90cm长的截成两段，设从90cm的钢筋上载下的两段分别长xcm，ycm（x＞y），分三种情况讨论：①当40cm长的边对应30cm长的边时，②当40cm长的边对应60cm长的边时，③当40cm长的边对应80cm长的边时，利用相似三角形的性质分别求解即可.11．答案:是解析：解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为180°−70°−45°=65°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似，故答案为：是分析：根据内角和定理求出第一个三角形另一个内角的度数，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似进行判断.12．答案:10解析：解：∵点C是线段AB的黄金分制点，且AC>BC，AB=20，∴AC=5故答案为：105分析：根据黄金分割的特点可得AC=5−113．答案:2解析：解：∵C为线段AB的黄金分割点，并且AC＞BC，AC为较长线段；∴AC=4×5−12=故答案为：25分析：根据黄金分割的特点可得AC=5−114．答案:∠ACD=∠B（答案不唯一），证明见解析解析：解：添加∠ACD=∠B，又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，故答案为：∠ACD=∠B（答案不唯一）．

分析：利用相似三角形的判定方法求解即可。15．答案:2解析：解：∵点P是AB的黄金分割点，AP＞BP，

∴AP2=BP×AB，

∴AP2=4（4-AP）

解之：AP=25−2（取正）

分析：利用已知点P是AB的黄金分割点，AP＞BP，可得到AP2=BP×AB，由此可得到关于AP的方程，解方程求出符合题意的AP的值.16．答案:证明：∵AD=2，BD=6，∴AB=8，∴ADAC=24=又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC解析：由线段的和差关系可得AB=AD+BD=8，根据已知条件可得ADAC17．答案:证明：∵∠APD=90°，∠B=∠C=90°∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=90°∴∠BAP=∠CPD又∵∠B=∠C∴△ABP∽△PCD解析：利用“一线三等角”证明△ABP∽△PCD即可。18．答案:解：△ACD∽△BCA；∵CA∴CACD∵∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA．解析：根据两边成比例且夹角相等可证△ACD∽△BCA.