初中数学竞赛实数部分强化练习3

初中数学竞赛实数部分强化练习3

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.若|“+2|+（b-1）=0,则a+b的值为（）

A.-3B.-1C.1D.3

2.设〃，9均为大于3的素数，则使/+5pq+4/为完全平方数的素数对（p，4）的个

数为（）

A.1B.2C.3D.4

3.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要

将其排列成前多后少的梯形队阵（排数23）,且要求各行的人数必须是连续的自然

数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空当处，那么，满足上述要求排法

的方案有（）.

A.1种B.2种C.4种D.0种

4.1898年6月9日英国强迫清政府签约，将香港975.1平方公里土地租借给英国99

年.1997年7月1日香港回归祖国，中国人民终于洗刷了百年耻辱，已知1997年7

月1日是星期二，那么，1898年6月9日是星期（）.（注：公历纪年，凡年份为

4的倍数但不是100的倍数的那年为闰年，年份为400的倍数的那年也为年，年的2

月有29天，平年的2月有28天.）

A.-B.三C.四D.五

5.对任意的整数x,定义x@y=x+y-肛，则使得

（x@y）@z+（y@z）@x+（z@x）@y=0的整数组（x,y,z）的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

6.在数列1,2,3.....100中，设其中是一个整数的平方的数有，"个，能写成a2b

的数有〃个，其中。是素数且存1,b是正整数，贝明+〃的值（）

A.小于50B.等于50C.大于50且小于100D.等于100

7.八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中，甲组同学平均每人

收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小

组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（）人.

A.12B.13C.14D.15

8.若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如

4=22—（）2,12=42-22,20=6-4。，下列关于神秘数的叙述，正确的个数为

().

①2008是神秘数；

②任意两个正奇数的平方差是神秘数；

③任意两个正奇数的平方差不是神秘数；

④在1~100这100个数中，神秘数有13个.

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

9.若。，b,c,d均为素数，且满足2«+Z>=〃，3b-c=2d,则d的最小值是

10.若素数〃，夕满足7词+2=/+43/+1,则p+g=

11.有一个三位数，将这个三位数减去它的各位数字之和的两倍，得差为261,则这

个三位数是.

12.”=3x5x〃?，b=3x7xm,是大于0的自然数，如果a和0的最大公因数是6,

那么4和6的最小公倍数是（）.

13.已知P,q,『为素数，且P3整除pq+“+6-1,则.

14.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为.

15.对于实数尸，我们规定：用｛4｝表示不小于四的最小整数.例如：｛«｝=2，

｛6｝=2,现在对72进行如下操作:

72第一次,｛月｝=9第二次乂码=3第；次>｛码=2,即对72只需进行3次操作

后变为2.类比上述操作：对36只需进行次操作后变为2；如果只需进行3

次操作后变为2的所有正整数中最大的数为

1_11________1

16.若四个有理数a,b,c,d满足:则

a-2015一方+20167^2017-7+2018

a,b,c,”的大小关系是

三、解答题

17.已知A-2B=7〃2-7而，B=-a2+6ab+~l.

⑴求A；

(2)已知(a+1)2+。-2|=0,求A的值.

18.从1,2,3,…，2010中最多能挑出多少数，使其中的任何两个数之和不被其差

整除?

y2

19.已知：2(w+2)2+|n-l|=0求6，力。/--4mn-3(mn--inn'j-2(/wi+3/nw')的值.

20.有一个〃位自然数岫4…g/?能被xo整除，依次轮换个位数字得到的新数

bcd-gha能被xo+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数cd…g/zM能被xo+2整

除，按此规律轮换后,d…g/ia此能被xo+3整除，…,痴加…g能被-1整除，

则称这个〃位数两匚9是初的一个“轮换数”.例如：60能被5整除，06能被6整

除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，

432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”.

(1)若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换

数”.

(2)若三位自然数而是3的一个“轮换数”，其中斫2,求这个三位自然数诙.

21.如图，点AQ,0),B(b,2)且I“-4|+(〃+3)M.

(1)求A、B两点的坐标.

⑵求SAAOB.

22.长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间

查看江水及两岸河堤的情况.如图1,灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，

灯B射线自8P顺时针旋转至8。便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的

速度是“°/秒，灯8转动的速度是"/秒，且“、人满足|。-3加+(a+力4)2=0.假定这一

带长江两岸河堤是平行的，即尸Q〃MN,且/8A245。

(1)求a、b的值；

(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，4

灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)如图2,两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过

C作CZ)_LAC交PQ于点。，则在转动过程中，NA4C与N8C。的数量关系是否发生

变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围.

D

参考答案：

I.B

【解析】

【分析】

先根据偶次方的非负性、绝对值的非负性可得“、b的值，再代入代数式计算即可得.

【详解】

解：|a+2|+(Z>-1)=0,|a+2|>0(fe-1)>0,

由偶次方的非负性、绝对值的非负性得：a+2=0,%-1=0,

解得a=-2,b=l,

a+b=—2+1=—1,

故选:B.

【点睛】

本题考查了代数式求值、偶次方的非负性、绝对值的非负性，熟练掌握偶次方和绝对值的

非负性是解题关键.

2.B

【解析】

【分析】

【详解】

设。2+5pg+4/=/("为自然数)，则(p+2q)2+pq=，W2,

B|J(//?-/?-2q)(机+p+2q)=pq.

由于。，夕为素数，且机+P+2q>0,机+p+2g>q,所以帆-p-2q=l,

m+p+2q=pq,

从而的—2p—4q—1=0,即(p-4)(q-2)=9,所以(〃M)=(5,11)或(7,5).

所以，满足条件的素数对(P，q)的个数为2.

3.B

【解析】

【分析】

【详解】

选艮理由：设最后一排有％个人，共有〃排，那么从后往前各排的人数分别为

答案第1页，共14页

k,k+\,k+2,---,k+{n-\),由题意可知A"+=100,

2

即n[2k+(n-l)]=200.

因为火,〃都是正整数，且心3,所以〃<2%+(〃-1),且〃与2Z+5-1)的奇偶性不同.

将200分解质因数，可知〃=5或“=8.

当〃=5时，々=18；当〃=8时，4=9.

因此共有两种不同方案.

4.C

【解析】

【分析】

【详解】

选C.理由：已知1997年7月1日是星期二，则易推知1997年6月9日是星期一.而

1898年6月9日至1997年6月9日共99年，其中闰年24次，所以

99x365+24=99+24=4(mod7),

1-4三一3三4(mod7).

5.D

【解析】

【分析】

【详解】

(x@,y)@z=(x+y-孙)@z=(x+y-孙)+z-(x+y-孙)z=x+y+z-xy-yz-zx+xyz,

由对称性，同样可得

^y@z)@x=x+y-\-z-xy-yz-zx+xyz,^z@x)@y=x+y+z-xy-yz-zx+xyz.

所以，由已知可得x+y+z-孙-yz-zx+孙z=0,即(x-l)(y-l)(z-l)=-1.

所以，x,，，z为整数时，只能有以下几种情况：

x-l=l

,y-l=i,

z—1=-1

所以，(％%2)=(2,2,0)或(2,0,2)或(0,2,2)或(0,0,0),故共有4个符合要求的整数组.

6.B

【解析】

答案第2页，共14页

【分析】

先写出100以内可以写出整数平方的数确定〃，再列举出100以内的素数确定。的取值范

围，再结合0%进一步缩小”的取值范围，然后根据b是整数分类解答即可确定〃，最后求

和即可.

【详解】

解：100以内可以写出整数平方的有：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100,共10

个，即"2=10;

：100以内的素数有1、2、3、5、7、11、13、…

...在100以内，可以“2可以是有4,9,25,49

•・“是整数

...①助在100以内，也就是4的倍数，100以内有25个；

②汕在100以内，也就是9的倍数，100以内有11个；

③25》在100以内，也就是25的倍数，有25,50,75,100,4个；

③49b在100以内，也就是49的倍数，有49,98,2个；

减去4、9的公倍数36,72两个，一共”=25+11+4+2-2=40（个）

m+n=10+40=50.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了数字的计算和规律探索，灵活运用平方、素数、整数、公倍数以及识记常

见数的特点成为解答本题的关键.

7.A

【解析】

【分析】

【详解】

解选A.理由：设甲、乙、丙三个小组的学生人数分别为x,y,z.由题意得

17x+20y+21z=233.

因233=17x+20y+21z>17x+17y+17z,则

23312

x+y+z<---=113O—.

1717

X233=17x4-20^4-2lz<21x+21y+21z,则

答案第3页，共14页

233一2

x+y+z>=11—

2121

21?

于是，11—<x+y+z<13—.

2117

由于x,y,z均为正整数，则

x+y+z=12或x+y+z=13.

(i)当x+y+z=13时，由方程组

x+y+z=13,

•+20y+21z=233消去X,得3y+4zM,此方程无正整数解.

(ii)当x+y+z=12时，由方程组

£ZL=233消去%，得4f=19,此方程有正整数解.

故x+y+z=12,即三个小组共有学生12人.

X-Fy+z=12,

实际上，由于x,y,z均为正整数，并结合方程组4x+y=19,可解得

(x,y,z)=(3,7,2),(4,3,5).

8.B

【解析】

【分析】

【详解】

解选B.理由：设两个连续偶数为2Z+2和乂，则(2A+2)2-(2Z)2=4(2A+l).

又歌+1是奇数，从而，神秘数是4的倍数，但不是8的倍数.

设任意两个正奇数为2机+1和2〃+1,则

(2m+-(2”+1)2=4(，"+"+l)(w-n).

由于机+〃+1与吁”的奇偶性相反，从而，(2机+1)2-(2〃+1)2是8的倍数.故

(2机+1)2-(2〃+1)2不是神秘数.

又2008=8*251,故2008不是神秘数.

不难验证：1~100之间的神秘数有4x1,4x3,…,4x25.共计13个.

综上，知③、④正确.

9.17

答案第4页，共14页

【解析】

【分析】

根据题意，求得的最小值，可将等式变形得到船=6-c,贝I"-，,是合数，且为4的倍数，以

此为突破，求得

【详解】

2a+b=d®,3b-c=2d®

①x2-②得：4a-b+c=0,

即4a=b-c,

・•・求d的最小值，则。尽量小

当4=2时，b-c=8,

根据20以内的素数可知，8=ll,c、=3,或者〃=13,c=5

此时4=%+6=4+11=15,此时d为合数，故不符合题意，

当Z?=13,c=5时，

此时d=2a+b=4+13=17,

经检验，a,》,Gd皆为素数，满足题意，

故答案为：17.

【点睛】

本题考查了素数的定义，二元一次方程组的加减消元法，掌握20以内的素数是解题的关

键.

10.9

【解析】

【分析】

【详解】

显然P,4不能均为奇数（否则等式左边为偶数，右边为奇数），于是。=2或勺=2.

（1）若0=2,则可得g3T4才+343=0,解得q=7,检验知（p,q）=（2,7）为一组解.

（2）若4=2,则可得29p=43p3+9,此式一边为奇数一边为偶数，没有整数解.

综上可知。=2,夕=7,所以。+q=9.

11.297

【解析】

答案第5页，共14页

【分析】

设百位上的数为x,十位上的数为必个位上的数为z,则100x+10y+z—2（x+y+z）=261

计算可得98x+8y-z=261,首先判断98x的取值范围确定x的值，再判断8y的取值范围确定

y的值，最后求出z即可.

【详解】

解：设百位上的数为x,十位上的数为y,个位上的数为z,

贝ij100x+10y+z-2（x+y+z）=261

98x+8y-z=261

98x=261-8y+z

V0<><10,0<z<10

/.181<261-8y+z<271

.,.181<98x<271

取整数

.".x=2

同理可得y=9,z=7

故答案为297.

【点睛】

本题考查了有理数的数字特征，解题的关键是判断数字的取值范围.

12.210

【解析】

【分析】

根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因

数与独有质因数的连乘积求解；首先根据〃和，的最大公因数是3X,〃=6,求出机=2,带

入加值，进而求出〃和匕的最小公倍数是几.

【详解】

解：4=3X5X〃7

b=3x】xm

a和b的最大公因数是3xm=6,

所以m—2,

答案第6页，共14页

。和。的最小公倍数是3x2x5x7=210.

故答案为：210.

【点睛】

考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是

最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的

可以用短除法解答.

13.10

【解析】

【分析】

【详解】

设gP""+少T=_L+）+1--由题意知A是正整数，又P，q,r22,所以左

pqrpqrpqr2

从而A=BP<pq+qr+rp-\=pqr,于是可知〃，q,厂互不相等.

当24p<q<r时，pqr=pq+qr+rp-\<3qr,所以q<3,故q=2.

于是2pr=4r+2q+2―l,故（q-2）（r-2）=3,所以q-2=l,―2=3,即夕=3,

r=5,

所以,（p,q,r）=（2,3,5）.

再由乙q,r的对称性知，所有可能的数组（p,q,r）共有6组，即（2,3,5）,（2,5,3）,

（3,2,5）,（3,5,2）,（5,2,3）,（5,3,2）.

于是p+q+r=10.

14.21504

【解析】

【分析】

【详解】

显然首位数字不能为0,末位不能为0和5.

当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及

万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个

数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为

8x7x8x7x6=18816个.

答案第7页，共14页

当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选，

十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为8x8x7x6=2688个.

所以，满足条件的五位数的个数为18816+2688=21504(个).

15.3256

【解析】

【分析】

仿照题目已知的例题即可解答.

【详解】

解：由题意得：

现在对36进行如下操作：

36"｛序｝=6'父｛6｝=3写:｛指｝=2,

•••对36只需进行3次操作后变为2；

现在对256进行如下操作：

256)｛V256｝=16父｛标｝=4曾｛4｝=2,

如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；

故答案为:3,256.

【点睛】

本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解已知条件的规定：用｛)｝表示不小于

斤的最小整数，是解题的关键.

16.c>a>b>d

【解析】

略

17.(\)A^5a2+5ab+\4

(2)9

【解析】

【分析】

(1)表示出A,然后去掉括号，再根据整式的加减运算方法进行计算即可得解；

(2)根据非负数的性质列式求出小匕的值，然后代入进行计算即可得解.

答案第8页，共14页

(1)

解：'JA-2B=la2-1ab,B=-a2+6ab+l

：.A=2B+(1a2-lab)

=2(-a2+6ab+l)+C7a2-lab')

--2a2+12ah+14+la2-7ah

=542+5岫+14；

(2)

■:(a+1)2+|儿2|=0,(a+1)2>0,\b-2\>0

.«+l=0,A>-2=0,

解得a=-l,b=2,

原式=5x(-1)2+2X(-1)x2+14=5-10+14=9.

【点睛】

本题考查整式的加减、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的

条件，利用非负数的性质解答.

18.670个

【解析】

【分析】

【详解】

解：从给定数中挑出1,4,7,10,2008这些数来，这些数中任意两数的差为3的倍

数，而任意两数之和除以3余2,故挑出的数中任意两数之和不被其差整除.设上述挑选

出来的数有〃个，则1+5-1)x3=2008,〃=670,故挑出的数的个数不小于670.

我们证明，挑出的数的个数不能多于670个.事实上，挑出的数中任意两个数之差的绝对

值不等于1(1显然整除两数之和)，也不能为2(否则，当这两数同奇偶时，其和被2整

除)，所以任意两个数之差的绝对值不小于3,若挑出数的个数大于670,则其中最大数不

小于1+(671-1)x3=2011,矛盾.

综上所述知，最多挑出670个数.

19.-mi'+mn;0.

【解析】

【分析】

根据非负数性质，得出机+2=0,«-1=0,解方程求出机=-2,n=l,然后将多项式去括号，

答案第9页，共14页

合并同类项，代入求值即可.

【详解】

解：,.,2(m+2)2+|n-l|=0,2(m+2)2>0,|n-11>0,

m+2=0,n—\=0,

解得tn=-2,n=\,

(tiirn1--4,加-3\mn--mn3

LI3

=6m2n3-[-4/w？-3mn+5/nn,J-2mn-bnrn',

—6m2n+4mn}+3mn-5mfiy—2mn—6m2n3,

=-mr'+nm»

当zn=-2,"=1时,原式=-(-2)xl3+(-2)xl=2-2=0.

【点睛】

本题考查非负数性质，整式加减化简求值，掌握非负数性质，整式加减化简求值方法世界

关键.

20.⑴见解析；

⑵这个三位自然数为201,207,255

【解析】

【分析】

(1)先设出两位自然数的十位数字，表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数即可；

(2)先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出。的可能值，进而

用4整除，得出c•的可能值，最后用能被3整除即可.

(1)

设两位自然数的十位数字为x,则个位数字为2x,

.,.这个两位自然数是10x+2x=12x,

•••这个两位自然数是能被6整除，

•••依次轮换个位数字得到的两位自然数为I0X2X+A21X

•••轮换个位数字得到的两位自然数为25能被7整除，

.•.一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，这个两位自然数一定是“轮换数”.

(2)

•..三位自然数正是3的一个“轮换数”，且。=2,

答案第10页，共14页

...100a+10/7+c能被3整除，

即：10b+c+200能被3整除，

第一次轮换得到的三位自然数是100/7+1Oc+«能被4整除，

即WOb+lOc+2能被4整除,

第二次轮换得到的三位自然数是100c+10a+匕能被5整除，

即100c+6+20能被5整除，

V100c+fe+20能被5整除，

.•北+20的个位数字不是0,便是5,

b=0或b=5,

当6=0时，

V100/7+10c+2能被4整除，

••.lOc+2能被4整除，

r.c只能是1,3,5,7,9；

,这个三位自然数可能是为201,203,205,207,209,

而203,205,209不能被3整除，

•••这个三位自然数为201,207,

当b=5时，V100Z?+10c+2能被4整除，

10c+502能被4整除，

，c只能是1,3,5,7,9；

,这个三位自然数可能是为251,253,255,257,259,

而251,253,257,259不能被3整除，

,这个三位自然数为255,

即这个三位自然数为201,207,255

【点睛】

此题是数的整除性，主要考查了3的倍数，4的倍数，5的倍数的特点，解本题的关键是用

5的倍数求出6的值.

21.(1)点A(4,0),点、B(-3,2)

(2)SM0B-4

【解析】

【分析】

答案第II页，共14页

(1)根据非负数性质得出a-4=0,6+3=0,解方程得出a=4,b=-3即可;

(2)过点8作BCLx轴于C,根据点8(-3,2),点A(4,0),求出BC=2,04=4,然

后利用三角形面积公式计算即可.

(1)

2

解：,/Ia-4|+(6+3)2=0,|a-4\>0,(b+3)>0,

.,.a-4=0,〃+3=0,

解得a=4,b--3,

.•.点A(4,0)