山东省新高考联合质量测评2024届高三数学上学期12月联考试题

Page27本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置.2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.若为虚数单位，复数，则等于（）A. B. C. D.3.已知，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.4.将半径为3，圆心角为的扇形卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.5.设函数（且）在区间单调递减，则a的取值范围是（）A. B.C. D.6.设函数（）的导函数的最大值为2，则在上的最小值为（）A. B.C D.7.记非常数数列的前n项和为，设甲：是等比数列；乙：（，1，且），则（）A.甲是乙的充要条件 B.甲是乙的充分不必要条件C.甲是乙的必要不充分条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件8.已知，，，且，则的值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知一组数据，，…，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则所剩下的数据的（）A.平均数不变 B.中位数不变 C.标准差不变 D.极差不变10.根据《中华人民共和国噪声污染防治法》，城市噪音分为工业生产噪音，建筑施工噪音、交通运输噪音和生活环境噪音等四大类.根据不同类型的噪音，又进一步细化了限制标准.通常我们以分贝（dB）为单位来表示声音大小的等级，30～40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为v的声音对应的分贝数为（dB），那么满足：.对几项生活环境的分贝数要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商业、工业混合区：50～60dB，安静住宅区、疗养院：30～40dB.已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为，，，则（）A.B.C.若声音强度由降到，需降为原来的D.若要使分贝数由40提高到60，则声音强度需变为原来的100倍11.已知是定义在上不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（）A. B.奇函数C.关于点对称 D.12.已知正四棱锥的侧棱长是x，正四棱锥的各个顶点均在同一球面上，若该球的体积为，当时，正四棱锥的体积可以是（）A. B. C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行．现将甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到6个项目中参加志愿活动，且每名志愿者只能参加1个项目的志愿活动，则有且只有3人分到同一项目中的情况有__________种．（用数字作答）14.若将上底面半径为2，下底面半径为4圆台型木块，削成体积最大的球，则该球的表面积为__________．15.设函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围是__________．16.函数的所有零点之和为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．（1）求内角B的大小；（2）若面积为，，，求线段BM的长．18.某班级为了提高学习数学、物理的兴趣，组织了一次答题比赛活动，规定每位学生共需回答3道题目．现有两种方案供学生任意选择，甲方案：只选数学问题；乙方案：第一次选数学问题，以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选数学问题，若回答错误，则下一次选物理问题．数学问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分；物理问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知A同学能正确回答数学问题的概率为，能正确回答物理问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答顺序无关．（1）求A同学采用甲方案答题，得分不低于100分的概率；（2）A同学选择哪种方案参加比赛更加合理，并说明理由．19.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，设，．（1）证明：；（2）当为何值时，平面与平面的夹角的余弦值最大．20.已知正项数列的前n项和为，；数列是递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10，，的等比中项为8．（1）求，的通项公式；（2）设，为的前n项和，若能成立，求实数的最大值．21.某学校新校区在校园里边种植了一种漂亮的植物，会开出粉红色或黄色的花．这种植物第1代开粉红色花和黄色花的概率都是，从第2代开始，若上一代开粉红色的花，则这一代开粉红色的花的概率是，开黄色花的概率是；若上一代开黄色的花，则这一代开粉红色的花的概率为，开黄色花的概率为．设第n代开粉红色花的概率为．（1）求第2代开黄色花的概率；（2）证明：．22.设（其中）．（1）讨论的单调性；（2）设，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．普高大联考试卷类型：A山东新高考联合质量测评12月联考试题高三数学2023.12本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置.2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得集合，结合集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】由集合，又因为，可得.故选：C.2.若为虚数单位，复数，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得，再结合共轭复数的概念，即可求解.【详解】由复数，所以.故选：A.3.已知，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将平方求出，利用夹角公式即可求出与的夹角.【详解】∵，∴，即，，故，∴，又∵，∴．故选：C4.将半径为3，圆心角为的扇形卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，扇形的弧长为，则，母线，所以圆锥的高，所以圆锥的体积.故选：B5.设函数（且）在区间单调递减，则a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，则（且），然后分和两种情况结合复合函数的单调性求解即可.【详解】令，则（且），当时，在定义域内递增，因为区间单调递减，所以在区间单调递减，所以，解得．当时，在定义域内递减，因为区间单调递减，所以需要在区间单调递增，则，显然不满足要求，综上，故选：B．6.设函数（）的导函数的最大值为2，则在上的最小值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，依题意可得，利用余弦函数性质可求出的最小值.【详解】∵的最大值为2，∴．∴，，∴，∴，即，的最小值为．故选：D.7.记非常数数列的前n项和为，设甲：是等比数列；乙：（，1，且），则（）A.甲是乙的充要条件 B.甲是乙的充分不必要条件C.甲是乙的必要不充分条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当甲成立时利用等比数列求和公式可得乙成立，当乙成立时利用数列前n项和与通项之间关系可知甲成立，从而可得结果.【详解】若，则（），∴，，．∵，1，∴，∴数列是以为公比的等比数列．若数列为等比数列，且，则．又，∴，∴，此时，1，，所以甲是乙的充要条件．故选：A．8.已知，，，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对已知等式化简结合可求出，则可求出，然后对变形化简可得，从而可求出的值.【详解】因为，所以，所以．因为，所以，因为，所以，，所以．由，得，即，所以，所以．又，所以．故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知一组数据，，…，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则所剩下的数据的（）A.平均数不变 B.中位数不变 C.标准差不变 D.极差不变【答案】ABD【解析】【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质可判断A，由中位数的概念可判断B，由标准差计算公式可判断C，根据极差定义可判断D.【详解】设，，…，的平均数为，可知，故A正确．新数据的中位数为，故B正确．原数据的标准差为，且新数据标准差为，故C错误．因为最大值和最小值不变，故极差不变，故D正确．故答案为：ABD．10.根据《中华人民共和国噪声污染防治法》，城市噪音分为工业生产噪音，建筑施工噪音、交通运输噪音和生活环境噪音等四大类.根据不同类型的噪音，又进一步细化了限制标准.通常我们以分贝（dB）为单位来表示声音大小的等级，30～40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为v的声音对应的分贝数为（dB），那么满足：.对几项生活环境的分贝数要求如下，城市道路交通主干道：60～70dB，商业、工业混合区：50～60dB，安静住宅区、疗养院：30～40dB.已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区测得声音的实际强度分别为，，，则（）A.B.C.若声音强度由降到，需降为原来的D.若要使分贝数由40提高到60，则声音强度需变为原来的100倍【答案】AD【解析】【分析】根据题目分贝数函数求出，，，即可判断ABC，再分别求出40分贝数和60分贝数对应的声音强度即可判断D.【详解】由题意可知，，即，得，，即，得，，即，得，则，所以，与大小关系不确定，由此可知A正确，B错误；因为，，所以，C错误；当声音强度的等级为60dB时，有，即，得，此时对应的强度.当声音强度等级为40dB时，有，即，得，此时对应的强度，所以60dB的声音与40dB的声音强度之比，D正确.故选：AD11.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（）A. B.为奇函数C.关于点对称 D.【答案】ACD【解析】【分析】令，可判定A正确；令，得到，可判定C正确，B错误；根据题意，推得，得到的周期为，令，求得，结合函数的周期性，求得，可判定D正确．【详解】由对于任意都满足，令，则，所以A正确；令，可得，即，所以函数关于点对称，所以C正确，B错误；又由为偶函数知关于直线对称，即，可得，则，所以，所以函数的周期为，令，则，可得，，所以，所以D正确．故选：ACD．12.已知正四棱锥的侧棱长是x，正四棱锥的各个顶点均在同一球面上，若该球的体积为，当时，正四棱锥的体积可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，根据正四棱锥的结构特征以及外接球的性质分析可得，结合体积公式可得，利用导数求其单调性和最值，即可得结果.【详解】因为球的体积为，所以球的半径为．设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则，即，又因为，即，整理得，可得，令，则，因为，，令，解得；令，解得；可知在内单调递增，在内单调递减，当时，取到最大值；当时，；当时，；所以正四棱锥体积．因为，，所以正四棱锥的体积可以是，.故选：BD．【点睛】关键点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行．现将甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到6个项目中参加志愿活动，且每名志愿者只能参加1个项目的志愿活动，则有且只有3人分到同一项目中的情况有__________种．（用数字作答）【答案】120【解析】【分析】分三步完成，第一步从四名志愿者中选取三名志愿者，第二步从6个项目中选取2个项目，第三步把志愿者分配到两个项目中，再利用分步乘法计数原理可得答案..【详解】可分三步完成，第一步，从四名志愿者中选取三名志愿者，有种选法；第二步，从6个项目中选取2个项目有种不同的选法；第三步，把志愿者分配到两个项目中有种分配方法；故共有（种）不同的分配方法．故答案为：120.14.若将上底面半径为2，下底面半径为4的圆台型木块，削成体积最大的球，则该球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】球的体积最大，当且仅当该球为圆台的内切球，利用圆台轴截面与球的截面大圆关系求出球半径即可.【详解】依题意，削成的球体积最大，当且仅当该球为圆台的内切球，设球半径为，过圆台轴的截面截球所得大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆，则梯形的高为，由圆的外切四边形性质可知，等腰梯形的腰长为，因此，解得，所以球的表面积.故答案为：15.设函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合函数与方程之间的关系，以及正弦函数的性质即可求解.【详解】由题知，又因为，所以．因为，所以，当或，或时，，要满足函数在区间内恰两个零点，则，解得．故答案为：.16.函数的所有零点之和为______．【答案】15【解析】【分析】在同一坐标系内作出函数与的图象，根据与的图象都关于直线对称求解．【详解】解：令，．显然与的图象都关于直线对称．在同一坐标系内作出函数与的图象，如图所示：由图象知：它们的图象有6个公共点，其横坐标依次为，，，，，，这6个点两两关于直线对称，∴，则．∴函数所有零点之和为15．故答案为：15四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．（1）求内角B的大小；（2）若的面积为，，，求线段BM的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合正弦定理边角互化，正弦的和角公式即可求出，进而得答案；（2）结合（1），根据面积公式得，进而得，进而由余弦定理得，为直角三角形，再结合题意，借助勾股定理求解即可.【小问1详解】因为，所以由正弦定理边化角得，所以因为所以，因为，所以，因为，所以．【小问2详解】因为的面积为，，所以，所以．因，所以，，所以，所以，即为直角三角形，因为，所以，所以．18.某班级为了提高学习数学、物理的兴趣，组织了一次答题比赛活动，规定每位学生共需回答3道题目．现有两种方案供学生任意选择，甲方案：只选数学问题；乙方案：第一次选数学问题，以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选数学问题，若回答错误，则下一次选物理问题．数学问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分；物理问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知A同学能正确回答数学问题的概率为，能正确回答物理问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答顺序无关．（1）求A同学采用甲方案答题，得分不低于100分的概率；（2）A同学选择哪种方案参加比赛更加合理，并说明理由．【答案】（1）（2）选择乙方案参加比赛更加合理，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用独立重复试验的概率计算公式，即可求解；（2）若采用甲方案，则其得分X的可能取值为0，50，100，150，求得相应的概率，列出分布列，求得；若采用乙方案，则其得分Y的可能取值为0，30，50，80，100，150，求得相应的概率，列出分布列，求得，结合，即可求解.【小问1详解】解：张同学采用甲方案答题，得分不低于100分的情况为至少答对两道试题，所以其概率为．【小问2详解】解：张同学选择乙方案参加比赛更加合理．理由如下：若采用甲方案，则其得分X的可能取值为0，50，100，150，，，，．所以的概率分布列为050100150所以X的数学期望为．若采用乙方案，则其得分Y的可能取值为0，30，50，80，100，150，所以，，，，，．所以Y的概率分布列为0305080100150所以的数学期望为．因为，所以张同学选择乙方案参加比赛更加合理.19.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，设，．（1）证明：；（2）当为何值时，平面与平面的夹角的余弦值最大．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，证得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得，即可证得；（2）由平面，得到平面的法向量为，再求得的法向量，利用向量的夹角公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】证明：因为直三棱柱，底面，又因为底面，所以，因为，且，所以AB⊥BF，又因为，且平面，所以平面，所以，，两两垂直，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，，又由，则，所以，，因为，所以，即．【小问2详解】解：因为平面，可得平面的一个法向量为，由，，设平面的法向量，则，取，可得，，所以，设平面与平面DEF所成二面角的平面角为，则，当时，取最小值为，此时取最大值为，此时．20.已知正项数列的前n项和为，；数列是递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10，，的等比中项为8．（1）求，的通项公式；（2）设，为的前n项和，若能成立，求实数的最大值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用的关系式即可求得是等差数列，可得；再利用等比数列定义即可求得，可得；（2）采用分组求和并利用等差、等比数列前项和公式即可求得，不等式能成立等价于，利用单调性可求得.【小问1详解】由可得，当时，，两式相减得，∴，即．∵，∴（），即可得是等差数列．由，得，∴，即．由题意得，即，解得或．∵是递增的等比数列，∴，所以，得，∴．所以和的通项公式为，．【小问2详解】由（1）得：．能成立，等价于能成立，化简得能成立，即．设，则，∴是递减数列，故的最大值为．∴，因此的最大值为．21.某学校新校区在校园里边种植了一种漂亮的植物，会开出粉红色或黄色的花．这种植物第