高中数学函数的最大(小)值练习题（含答案）

第2课时函数的最大(小)值

囱阑图圃园图(教师独具内容)

课程标准：1.理解最值的概念，了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用

导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

教学重点：在闭区间上求函数的最值.

教学难点：与函数最值有关的参数问题.

'新知I

1.对函数最值的两点说明

(1)给定的区间必须是闭区间，y=f(x)的图象在开区间上虽然连续不断，但

不能保证有最大值或最小值.

例如：函数f(x)=；,xW(O,2),y=f(x)的图象在(0,2)上连续不断，但y

=f(x)没有最大值和最小值.

(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y=

f(x)有最大值和最小值.

2.函数极值与最值的内在联系

(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一

个整体性概念.最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是

整个区间内所有函数值中的最小值.(关键词：局部概念)

(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值

是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能

有一个.(关键词：整个定义区间)

(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，

有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极

值.(关键词：极值与最值的区别)

,畲i评价自测I

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)函数的最大值一定是函数的极大值.()

(2)开区间上的单调连续函数无最值.()

(3)函数f(x)在区间［a,句上的最大值和最小值一定在两个端点处取

得.()

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

⑴设函数f(x)=e2*+3x(xeR),则F3(填“有”或“无”)最值.

(2)已知函数尸f—f—x,该函数在区间［0,3］上的最大值是.

(3)已知函数/■(数=—A+3/+%(xW［―2,2］),f(x)的最小值为1,则加=

核心素养.

-------------------------------------------------------------------------HEXINSUYANGXINGCHENG---------------------------------------------------------------------------

题型一求已知函数的最值

例1(1)求函数/'(才)=#-1*-2矛+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值；

(2)求函数f(%)=gx+sinx在区间［0,2n］上的最大值与最小值.

［跟踪训练1］(1)求函数F(x)=一炉+3/—6x+5在［―1,1］上的最值；

(2)求函数f(x)=e'(3—f)在区间⑵5］上的最值.

题型二由函数的最值确定参数的值

例2已知函数/U)=aV—6a2］的最大值为3,最小值为

-29,求a,8的值.

93

［跟踪训练2］设.函数/1(x)=*3—宁”+力在区间［―1,1］上的最大

0乙

值为1,最小值为一乎，求函数的解析式.

题型三利用函数最值证明不等式

例3已知函数F(x)=e'—ln(x+4.证明：当勿忘2时，f(x)>0.

［跟踪训练3］设f(x)=x—：—21nx.证明：当时，f(x)20恒成立.

题型四利用函数最值解决不等式恒成立问题

例4已知/'(x)=xlnx>g(x)=己+@人一x+2.

(1)求函数F(x)的单调区间；

(2)若对任意*e(0,+8),2f(x)Wg'(x)+2恒成立，求实数a的取值范

［跟踪训练4］已知函数f(x)=xlnx(x>0).

(1)求/tr)的单调区间和极值;

—x+川x-3

(2)若对任意(0,+8),f(x)》恒成立，求实数加的最大值.

题型五与函数图象有关的综合问题

例5已知函数f(x)=—,xeR.

e

(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；

(2)作出函数的大致图象；

(3)求出方程f(x)=a(a6R)解的个数.

［跟踪训练5］若函数f(x)=*,xe%+8).

(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；

(2)作出函数的大致图象；

(3)求出方程f(x)=a(a6R)解的个数.

题型六导数在解决实际问题中的应用

例6如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线的岸边力处，乙厂与

甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40km的6处，乙厂到河岸的垂足〃与/相距

50km,两厂要在此岸边合建一个供水站乙从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分

别为每千米3a元和5a元，间供水站。建在岸边何处才能使水管费用最省？

CD

［跟踪训练6］用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,

先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°,再焊接而成(如图)，

问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

随堂水平达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.函数f(x)=2x—COSX在(-8,4-00)J2()

A.单调递增B.单调递减

C.有最大值D.有最小值

2.某产品的销售收入必(万元)是产量x(千台)的函数：y,=17/a>0),生产

成本%(万元)是产量x(千台)的函数：yz=2f—x"(x>0),为使利润最大，应生产

()

A.6千台B.7千台

C.8千台D.9千台

3.(多选)已知In为一%一弘+2=0,在+2.2—4—21112=0,记/仁(为一苞尸

2

+(y-y2),则以下正确的为()

212

A."的最小值为£B.当〃最小时，x=—

520

46

C."的最小值为£D.当科最小时，尼=£

55

4.函数/'5)=7"，xe［—2,2］的最大值是,最小值是.

5.已知函数f(x)=lnx—x+1,xG(0,+8),求函数f(x)的最大值.

课后课时精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1.函数F(x)=x3—12x+l在闭区间［―3,0］上的最大值、最小值分别是()

A.1,—1B.1,-17

C.17,1D.9,-19

2.g(x)=|J|,—加(注1)在区间［0,1］上的最小值为()

11

A.21B.-2一

C.1D.-1

3.已知函数f(力,g(x)均为［a,物上的可导函数，在［a,6］上连续且

F(x)〈g’3,则f(x)—g(x)的最大值为()

A.f(a)—g(a)B.f(6)—g(6)

C.f(a)—g(0D.f(6)一g(a)

JI

4.函数尸x+2cosx在0,5上取最大值时，x的值为()

冗

A.0B.—

6

Jiit

C.-D.-

O乙

5.(多选)已知函数/'(x)的定义域为部分对应值如下表，f(x)的导

函数y=f'(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是()

X-1045

/U)1221

A.函数/'(x)的极大值点有2个

B.函数f(x)在［0,2］上是减函数

C.若—句时，F(x)的最大值是2,则亡的最大值为4

D.当l〈a<2时，函数尸F(x)—a有4个零点

二、填空题

6.函数y=x^\xG［0,4］的最大值为.

7.某公司租地建仓库，每月土地占用费必(万元)与仓库到车站的距离成反比，

而每月库存货物的运费必(万元)与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10

km处建仓库，封和兵分别为2万元和8万元，那么当仓库建在离车站km

处时，费用之和最小，费用之和的最小值为万元.

8.若a为实数，对任意46当*6(0,4］时，不等式61nx+系-9X

+aW府恒成立，则实数a的最大值是.

三、解答题

9.已知函数f(x)=e*-#x-喙.

(1)求f(x)的最小值；

OQ

(2)求证：e*—Inx>而.(参考数据：65)

10.如图，在尸地正西方向8km的1处和正东方向1km的6处各有一条正

北方向的公路力。和BD,现计划在力。和初路边各修建一个物流中心£和F,为缓

解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路阳和卯，设/由1=。(0〈

北

(1)为减少对周边区域的影响，试确定反尸的位置，使△必£与的面积

之和最小；

(2)为节省建设成本，求使出十炉的值最小时和跖的值.

B级：“四能”提升训练

1.已知函数/'(x)=lnx+a(1—T).

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当/'(x)有最大值，且最大值大于2a—2时，求a的取值范围.

2.已知函数f(x)=lnx+ax的图象在点(大，f(力)处的切线方程为丁=3X一

1.

(1)求a的值；

(2)已知4W2,当x>l时，f(x)〉dl—；|+2x-l恒成立，求实数4的取值范

围;

(3)对于在(0,1)中的任意一个常数b,是否存在正数如使得e^+,,-^-2+^

<1,请说明理由.

第2课时函数的最大(小)值

囱阑图圃园国(教师独具内容)

课程标准：1.理解最值的概念，了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用

导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

教学重点：在闭区间上求函数的最值.

教学难点：与函数最值有关的参数问题.

'新知I

1.对函数最值的两点说明

(1)给定的区间必须是闭区间，y=f(x)的图象在开区间上虽然连续不断，但

不能保证有最大值或最小值.

例如：函数=-,xW(0,2),y=f(x)的图象在(0,2)上连续不断，但y

X

=f(x)没有最大值和最小值.

(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y=

f(x)有最大值和最小值.

'|x\TWxWl,,

例如：函数/作图可知/'(X)无最小值.

,1*=0,

2.函数极值与最值的内在联系

(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最大值和最小值是一

个整体性概念.最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是

整个区间内所有函数值中的最小值.(关键词：局部概念)

(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值

是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能

有一个.(关键词：整个定义区间)

(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值,

有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极

值.(关键词：极值与最值的区别)

:■评价自测E

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)函数的最大值一定是函数的极大值.()

(2)开区间上的单调连续函数无最值.()

(3)函数f(x)在区间［a,6］上的最大值和最小值一定在两个端点处取

得.()

答案⑴X(2)V(3)X

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

⑴设函数F(x)=e2'+3x(xdR),则f(x)(填“有”或“无”)最值.

(2)已知函数尸该函数在区间［0,3］上的最大值是.

(3)已知函数f(x)=-1+3戈+m(xW［—2,2］)，f{x}的最小值为1,则m=

答案(D无(2)15(3)1

核心素养.

-------------------------------------------------------------------------HEXINSUYANGXINGCHENG---------------------------------------------------------------------------

题型一求已知函数的最值

例1(1)求函数/'(*)=第一21—2*+5在区间［—2,2］上的最大值与最小值；

(2)求函数M=；x+sinx在区间［0,2"］上的最大值与最小值.

［解］(1)因为f(x)=炉一1y一28+5,所以f(x)=3/—x—2.令/(x)

2

=0,得否=一鼻，x=l.

o2

因为/-1］=吗，〃。:"又〃一？)：一［,*2)=7,所以函数/'(x)在［一

yOyZILt

2,2］上的最大值是7,最小值是一1.

(2)f(x)=J+cosx,令F(x)=0,

乙

2冗4n

解得x=F~或^=—

oo

所以函数F(x)在［0,2n］上的最大值是Ji,最小值是0.

「一博隰展陶…..................-.....

求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数为零的点，无需

判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值

进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.

［跟踪训练1］⑴求函数f(x)=一f+3/-6矛+5在［-1,1］上的最值；

(2)求函数f(x)=e'(3—力在区间⑵5］上的最值.

解(l)：/(x)=—3y+6x—6=—3(V—2x+2)=—3(x—1)'—3,

：.f(x)在［一1,1］内恒小于0.

在［―1,1］上为减函数,

.•.当X=—1时，取得最大值为f(-1)=15；

当x=l时，取得最小值为f(l)=l.

即f(即在上的最小值为1,最大值为15.

(2)Vf(x)=3e'—exx-2e'x,

f(x)=—e'(*+2x—3)—'—e"(x+3)(x—1),

•••在区间⑵5］上，f(x)=—e*(x+3)(x—1)<0，

函数f(x)在区间⑵5］上单调递减，

.,.当x=2时，函数f(x)取得最大值/'(2)=-e:

当x=5时,函数f(x)取得最小值f(5)=-22e1

题型二由函数的最值确定参数的值

例2已知函数/'(x)=a/-6a*+6,—1,2］的最大值为3,最小值为

-29,求a,8的值.

［解］由题设知aWO,否则/'5)=6为常函数，与题设矛盾.

f(x)=3。*-12ax=3a*(x—4),令■F(x)=O,得

%=0,均=4(舍去).

(1)当a>0,且x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：

X-1(―1,o)0(0,2)2

f(X)+0—

f(x)Ta+b/b—16z+6

由表可知，当x=O时，/tv)取得极大值，也就是函数在［-1,2］上的最大值,

Af(0)=3,即6=3.

又F(—l)=-7a+3,f(2)=-16a+3〈f(—l),

F(2)=-16a+3=—29,解得a=2.

(2)当a<0时，同理可得，当x=0时，f(x)取得极小值，也就是函数在[-1,2]

上的最小值，

/./(0)=-29,即6=—29.

又f(-l)=-7a-29,f(2)=—16a—29>/■(—1),

；"(2)=-16a—29=3,解得a=—2.

综上可得，a=2,8=3或a=—2,6=—29.

直弱国昼........................

由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时

一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是

方程思想的应用.

93

［跟踪训练2］设鼻<a<l,函数/'(才)=f一谟/+8在区间上的最大值

O乙

为1,最小值为一平，求函数的解析式.

解f(x)=34—3ax,令/(x)=0,

得x=0或x=a.

当x变化时，f1(x),f(x)的变化情况如下表:

X-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1

f'(X)+0—0+

3,33.

f{x)—1^-a+b/b—y+Z>1—b

乙

从上表可知，当x=0时，f(x)取得极大值6,而/'(0)>f(a),f(l)〉f(—1),

故需比较f(0)与/'(1)的大小及/'(一1)与f(a)的大小.

3

因为A0)-/(l)=7a-l>0,

乙

所以f(x)的最大值为/'CO)=6,所以，=1.

又/'(—1)—/(a)=^(a+l)-(a—2)<0,

33

所以F(x)的最小值为A-1)=-1—7.a+b=~~a,

乙乙

所以一去?=一乎，

所以a=*.

O

故所求函数的解析式是f(x)-乎f+l.

题型三利用函数最值证明不等式

例3已知函数f(x)=e'—ln(x+血.证明：当/W2时，f{x}>0.

［证明］当xG(—m,+8)时，In(x+勿)<ln(x+2),

故只需证明当勿=2时，f{x}>0.

当加=2时，函数-(x)=。,一一^在(一2,+8)上单调递增.

x十2

又f(-1X0,f(0)>0,故/(x)=0在(-2,+8)有唯一实根的且

吊£(—1,0).

当(―2,吊)时，fr(x)<0；当(吊，+8)时，ff(才)〉0,

从而当才=刘时，f(x)取得最小值.

由/(小)=0得e刘="：2'第

(及+2)=一即,

1¥2

故f(x)°,9>0.

吊十Z&i十乙

综上，当加W2时，f{x}>0.

:…得牌鼎廨........................

本题的证明遵循了一般解法，但要注意到两个函数分别是对数函数和指数函

数，因此需要进行分离.事实上，还可以利用搭桥的方式，通过传递进行证明.应

选择一个一次式或多项式，使之能够在指数和对数之间起到桥梁作用，而且不增

加计算量，此时经验的作用凸显，因为e*21+x,所以找到使l+*21n(加+x)

成立的力是解决本题的关键.

［跟踪训练3］设f(x)=x—，—21nx.证明：当时，/(*)20恒成立.

X

证明F(X)=X—%—21nx的定义域为(0,+8).

(x)=1+J2x—2x+1%—1

7二/—20,

在［1,+8)上是单调增函数，

.•.F(x)在］,+8)上的最小值为f(i).

.•.f(x)2F(l)=l—1—251=0对于*£［1,+8)恒成立.

题型四利用函数最值解决不等式恒成立问题

例4已知f(x)=xlnx,g{x)=xaY—x+2.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若对任意xe(0,+8),2F(x)Wg'(x)+2恒成立，求实数a的取值范

［解］(1)函数f(x)=xln*的定义域为(0,+8),

f(x)=lnx+1.

令f(x)〈0,得lnx+l<0,解得0<水工

e

.♦.〃*)的单调递减区间是(0,

令f(x)>0,得Inx+l>0,解得x>士

e

・・・Ax)的单调递增区间是g,+8).

(2)g'(才)=3/+2HX—1,

由题意得2xlnxW3V+2ax+l恒成立.

31

V^>0,21nx—J*一二在入£(°，+8)上恒成立.

乙乙x

31

设力(x)=ln—(^>0),

乙c»X

令力'(x)=0,得名=1,a=一：(舍去).

O

当X变化时，力'(X),力(X)的变化情况如下表:

X(0,1)1(1，+°°)

力'3+0—

力(才)/极大值

二当X=1时，力(X)取得最大值，且力(X)皿=力(1)=-2,

.,.若a2/?(x)在xW(0,+8)上恒成立，

则力(x)皿=-2,即a»—2,

故实数a的取值范围是[—2,+8).

「一圆园居周........................

(1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来

解决.若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论.

(2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略

①a>/1(x)恒成立Qa>f(x)1rax，a</'(x)恒成立oaVf(x)加”；

②/'(*)>g(x)+4恒成立=A<"(x)—gj)].；

③/'(x)>g(x)恒成立o[f(x)—g(x)]3rl>0；

④a>F(x)能成立oaAMxUn，aVf(x)能成立QaVf(x)1rax.

[跟踪训练4]已知函数f(x)=xlnx(x>0).

(1)求/'(x)的单调区间和极值；

⑵若对任意*6(0,+8),f(x)三——----恒成立，求实数力的最大值.

解(1)由/'(x)=xln*(*>0),得/(x)=l+lnx,令/(*)>0,得*>\

e

令/(x)<0,得0<矛<上

e

的单调递增区间是g,+8),单调递减区间是(0,

故f(x)在处有极小值0=一%无极大值.

(2)由f(x)27y-3及/J)=*5x,得/次在@±±斗亘成立，

2x

问题转化为-----------

.,、2xlnx+系+3/.e,/、2矛+*—3

令g(x)=------;-----(*>0),则g'(x)=——'—，

XX

由g'(x)>00x>l,由g'(x)<0=0〈x〈l.

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以g(x)*n=g(l)

=4,

因此必忘4,所以实数力的最大值是4.

题型五与函数图象有关的综合问题

x

例5已知函数f(x)=—,xeR.

e

(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；

(2)作出函数的大致图象；

(3)求出方程f(x)=a(a6R)解的个数.

］-V

［解］(1)已知函数的定义域为R,f'(x)=一、，

e

令f(x)=0,得x=l.

当xe(—8,1)时，f'(才)〉0,当xe(l,+8)时，f(才)<0,

所以/'(x)的极大值为f(l)='

e

所以函数的单调递增区间为(一8,1),单调递减区间为(1,+8),

极大值为士无极小值.

e

x

(2)显然，当—8时，f(x)=———co,

e

x

又x>0时，F(x)>0,且尸+8时，f(^)—0,

e

V

所以作出f(X)=F的图象如下.

e

(3)由函数F(x)的图象得，当x=l时，f(x)有最大值f(l)='故方程f(x)

e

=a(a6R)解的个数为当a<0或a=：时，方程有一解；

当a〉(时，方程无解；

当0<ad时，方程有两解.

e

厂-爵喷国国-...........................

画函数f(x)大致图象的步骤如下：

(1)求出函数f(x)的定义域；

(2)求导数/(x)及函数/(x)的零点；

(3)用F(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出F(x)在

各区间上的正负，并得出/1(X)的单调性与极值；

(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；

(5)画出f(x)的大致图象.

［跟踪训练5］若函数f(x)=0：+8).

xe)

(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值;

(2)作出函数的大致图象；

(3)求出方程f(x)=a(aGR)解的个数.

解(1)已知函数的定义域为%+8)；

令f(x)=0,得x=#,

当xC(O,十)时，f(x)>0,

当xS(也,+8)时，f(x)<0,

所以f\x)=*的极大值为f«)=号12=!，

所以函数的单调递增区间为%单调递减区间为+8),

极大值为《，无极小值.

Inx

(2"(1)=。，当X-+8时，4)=丫-0,

1nx

所以作出/'(x)=r的图象如下.

X

釉^金)

1()15X

(3)由函数f(x)的图象得，当时，f(x)有最大值?.故方程/U)=a(a

GR)解的个数为当水一e?或a>4时，方程无解；

当一e^WaWO或a=4时，方程有一解;

当0＜水;时，方程有两解.

ze

题型六导数在解决实际问题中的应用

例6如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线的岸边力处，乙厂与

甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40km的8处，乙厂到河岸的垂足〃与4相距

50km,两厂要在此岸边合建一个供水站从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分

别为每千米3a元和5a元，问供水站。建在岸边何处才能使水管费用最省？

［解］设。点距〃点xkm,则区9=40,AC=50—x,

BC=y［cJ+B^=,+40：

又设总的水管费用为y元，依题意，得尸3a(50—才)+5八严后(0＜冢50).

则/卜行;4产令y'解得耳=30,而=一30(舍去).

在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x=30km处

取得最小值，此时是=50-矛=20(km).

故供水站建在4〃之间距甲厂20km处时，可使水管费用最省.

：­©©©©■—............

(1)根据题设建立数学模型，借助图象寻找各条件间的联系，适当选定变量,

构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出最值.

(2)在实际问题中，若函数在某区间内只有一个极值点，则只要根据实际意义

判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.

［跟踪训练6］用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,

先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°,再焊接而成(如图),

问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

解设容器的高为Xcm,容器的容积为，(x)cm3,

贝U，(x)=x(90—2x)(48—2x)=4系一276/+4320X(0〈矛〈24),

V(x)=127-552x+4320=12(7-46x+360)=12(x—10){x-

36)(0<K24).

令，'(x)=0,解得x1=10,而=36(舍去).

当0<水10时，V(x)>0,，(x)是增函数；

当10<“<24时，V(x)〈0,KY)是减函数.

因此，在定义域(0,24)内，只有当x=10时函数/(X)取得最大值，其最大值

为K(10)=10X(90-20)X(48-20)=19600.

故当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积是19600cm3.

随堂水平达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.函数f(x)=2x—cosx在(一8,十8)上()

A.单调递增B.单调递减

C.有最大值D.有最小值

答案A

解析因为F(x)=2+sinx>0恒成立，所以f(x)在(一8,+8)上单调递

增.

2.某产品的销售收入%(万元)是产量”(千台)的函数：y,=17/a>0),生产

成本%(万元)是产量*(千台)的函数：j^=2/-/U0),为使利润最大，应生产

()

A.6千台B.7千台

C.8千台D.9千台

答案A

解析设利润为y,则y=yi—y2=17^—(2/—/)=-27+18/(^>0),.*./

=-6f+36入=—6x(x—6).令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知x=

6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.

3.(多选)已知In为一必+2=0,总+2%一4—21n2=0,记/仁(为一房尸

+5—必)2,则以下正确的为()

212

A.〃的最小值为三B.当,"最小时，x=~

525

,46

C.〃的最小值为三D.当"最小时，x=~

525

答案BC

解析由In为一冬一弘+2=0,得弘=ln芯一为+2,故(及一也尸十(%一%)''

的最小值可转化为函数y=lnx-x+2图象上的点到直线x+2y—4—21n2=0

上的点的距离的最小值的平方.由y=lnx—x+2,得y'=~—1,与直线x+2y

X

—4—21n2=0平行的直线的斜率为一］则令，-1=一］解得*=2,.•.切点坐

乙X乙

标为(2,In2),...点(2,In2)到直线x+2y—4—21n2=0的距离d=

4

|2+21n彳1：21n2|=芈,即函数尸］口x-x+2图象上的点到直线x+2y

勺1+45

-4-21n2=0上的点的距离的最小值为芈，I.(必一%)2的最小值为

□

4

过点(2,In2)与x+2y—4—21n2=0垂直的直线为y—In2=2(x—2),

□

由产I—21n2=0,

即2x—y—4+ln2=0,解得即当〃最小时，

[2x—y-4+ln2=0,

莅=守故选BC.

4.函数f(x)=741,xd［—2,2］的最大值是,最小值是.

答案2—2

4/+1~2x•—4/+4

解析V//+12=/+12,

令y'=0可得x=l或x=-1.

又.."(1)=2,f(-D=-2,A2)4A-2)=4

...最大值为2,最小值为-2.

5.已知函数f(x)=lnx—x+1,xG(0,+8),求函数F(x)的最大值.

解f(x)的定义域为(0,+8),/-1.

令F(x)=0,解得x=L

当时，f(x)>0,f(x)在(0,1)上是增函数；

当x>l时，f(%)<0,f(x)在(1,+8)上是减函数,

故函数/Xx)在x=l处取得最大值f(D=o.

课后课时精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1.函数F(x)=f—12x+l在闭区间［―3,0］上的最大值、最小值分别是()

A.1,-1B.1,-17

C.17,1D.9,-19

答案C

解析令F(才)=3/—12=0,得入=±2,f(—2)=17,£(—3)=10,/(0)

=1,所以最大值为17,最小值为1.故选C.

2.g(x)=—Iog2(x+1)在区间［0,1］上的最小值为()

11

1-

A.2B.-2

C.1D.-1

答案B

解析因为g(x)=/)—log2(x+l)是减函数，所以g(x)在区间［0,1］上的最

小值为g(l)=—故选B.

3.已知函数f(x),g(x)均为［a,8］上的可导函数，在［a,8］上连续且

f(x)<g'(x),则/<x)—g(x)的最大值为()

A.Aa)—g{a}B.f(6)—g(6)

C.f(a)—g(b)D.f(8)—g(a)

答案A

解析令方(x)=f(x)—g(x),xd［a,b\,则/?'(x)=f(x)—g'(x)〈0,

.."(x)是［a,8］上的减函数..,"(x)max=［f(x)—g(x)］吨x=f(a)—g(a).故选A.

JT

4.函数y=x+2cosx在0,5上取最大值时，x的值为()

A.0B.~

b

JIJI

C.-D.—

o乙

答案B

解析f(x)=l—2sinx,令f(x)=0,得*=瓦，当xW0,a)时，

f'(x)>0,f(x)为单调递增函数，当xW田，5时，f(x)<0,f(x)为单调递

减函数，所以｛看)为f(x)在0,5上的极大值，也是最大值.故f(x)在区间

JI1JI

0,不上取最大值时，X的值为三.

5.(多选)已知函数Hx)的定义域为部分对应值如下表，f(x)的导

函数y=f'(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是()

K

-104\5x

X-1045

1221

A.函数/(*)的极大值点有2个

B.函数f(x)在［0,2］上是减函数

C.若—句时，F(x)的最大值是2,则亡的最大值为4

D.当1〈水2时，函数尸f(x)—a有4个零点

答案AB

解析由尸(x)的图象可知，当一1WK0或2〈矛<4时，/(x)>0,函数/<x)

为增函数，当0<底2或4<xW5时，f(x)<0,函数/'(x)为减函数，即当x=0时,

函数/'(x)取得极大值，当x=4时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)有两个极

大值点，故A正确；函数/'(x)在［0,2］上是减函数，故B正确；作出f(x)的图象

如图1,若—句时，f(x)的最大值是2,则［满足0WtW5,即右的最大

值是5,故C错误；由y=f{x)—a=0得f{x)=a,若F(2)Wl,当l<a<2时，f(x)

=a有四个根，如图2.若1<F(2)<2,当l〈a<2时，F(x)=a不一定有四个根，有

可能是两个或三个，如图3,故函数y=f(x)-a不一定有4个零点，故D错误.故

选AB.

二、填空题

6.函数〃=小b,,xW［0,4］的最大值为.

答案-

e

解析令y=f(x)=xe->,则/(x)=e~x—xe~'=e~\l—x),令f(x)=0,

411

得x=l.,.,/(())=0,/(4)=—,f(l)=e-=-,.,.函数的最大值为f(l)=一.

eee

7.某公司租地建仓库，每月土地占用费乃(万元)与仓库到车站的距离成反比，

而每月库存货物的运费%(万元)与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10

km处建仓库，y和%分别为2万元和8万元，那么当仓库建在离车站km

处时，费用之和最小，费用之和的最小值为万元.

答案58

解析依题意可设每月土地占用费弘=2,每月库存货物的运费加=人尤其

X

k

中X是仓库到车站的距离，ki，%是比例系数.由2=77得4=20；由8=10人得

4204x204

左=5.因此，两项费用之和为尸U>>0),/=一7+于令V=0,得X

=5或*=一5(舍去).当(KK5时，y'<0；当x>5时，y'〉0.因此，当x=5时,

y取得极小值，也是最小值，故当仓库建在离车站5km处时，费用之和最小，费

用之和的最小值为?+*=8万元.

8.若a为实数，对任意AW［—1,1］,当xe(0,4］时，不等式61nx+V—9x

+aWM恒成立，则实数a的最大值是.

答案7

解析因为对任意［—1,1］,当才金(0,4］时,不等式61nx+V—9*+aWAx

61rlx~\~x—QY~\~/?

恒成立，所以对任意在e［—1,1］,当xe(0,4］时，不等式一’十［一'一Wk

2

—a-nr161nx+第-9x+a),61nx+x-9x+a)”，

怛成立，即---------------WEn=---------------W—loaW-61n矛一半+

8x,所以当xW(0,4］时，不等式aW—61nx—兴+8x恒成立.令/'(*)=-61nx

_2x?+8x—6

—x+,xG(0,4]则aWf(x)Mi.，f'(x)=-----------

X

—2x—2*一32x—2x—3<0,

，当尸(x)>0时，'=>1<K3,

x0G<4

2x—2x一3>0,

当F(*)<0时，<'00<水1或3<xW4,所以函数F(x