2024年辽宁省盘锦市第一完全中学中考数学三模试卷

第1页（共1页）2024年辽宁省盘锦市第一完全中学中考数学三模试卷一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）今年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，数据384000用科学记数法表示为（）A．384×103 B．3.84×105 C．38.4×104 D．0.384×1062．（3分）“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示（）A． B． C． D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（x﹣1）0＝0（x≠1） B．x6÷（﹣x2）＝﹣x3 C．﹣x2•x3＝x5 D．x﹣2÷x3＝x﹣54．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．5．（3分）若，则a、b、c、d的大小关系为（）A．a＜b＜c＜d B．b＞d＞a＞c C．a＜d＜c＜b D．b＜a＜d＜c6．（3分）下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为3m，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（）A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系8．（3分）小张与小李相约去科技馆参观，该馆有A，B两个入口，D，E，F四个出口，他们从同一入口B进入后分散参观，他们恰好从同一出口走出的概率是（）A． B． C． D．9．（3分）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA方向匀速运动至点A停止，线段AP的长度为y，图2是表示y与x的函数关系的图象，下列结论①∠B＝60°，②AC＝7，④△ABC中AB边上的高为4，其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD＝AE；②分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧；③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+（）A．3 B．2+3 C．1+3 D．2二..填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）计算：多项式2x3y2+8x2y3分解因式时所提取的公因式是．12．（3分）在解分式方程：+2＝的过程中，需方程两边都乘以最简公分母．13．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△BCD的周长为16，则OB﹣OA的值为．14．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，当CD∥x轴时，CD＝．15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在AC上，且AD＝2，连接DE，点F，连接AG，FG，线段DE的长为．三．解答题（本题共8小题，共75分）16．（10分）计算题：（1）（2023﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°；（2）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数17．（8分）某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元价格上衣裤子进价（元/件）100150售价（元/件）125180（1）小东的商店购进上衣和裤子各多少件？（2）该商店第二次以原价购进上衣和裤子，购进上衣件数不变，而购进裤子件数是第一次的2倍，而裤子进行打折销售，若所有上衣和裤子全部售完，每件裤子至少打几折？18．（8分）财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量．近年来，各级政府注重民生问题，加大了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投入．某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输方面财政支出的情况，将这三个领域财政支出的数据进行收集、整理描述，下面给出部分信息：信息一：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图信息二：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表：统计量类别平均数中位数方差教育支出520.7mS21社会保障和就业支出448.3466.5S22交通运输支出292.3282.0S23（以上数据来源于《中国统计年鉴》）根据以上信息解决下列问题：（1）m＝；S21S22（填＞，＜号）；（2）根据以上信息，判断下列结论正确的是；（只填序号）①与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长；②2014﹣2019年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长；③2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的2倍还多．（3）该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中年的平均数大，你认为该小组去掉的年份是年．19．（8分）在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，以地面为x轴，以喷枪所在直线为y轴（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为y（m），水流的最高点与喷枪的水平距离为x（m）x+2.5（x≥0）请解答下列问题：（1）该喷枪的出水口到地面的距离为m；（2）当水流的最高点与喷枪的水平距离为7m时，求水流的最高点到地面的距离；（3）在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到1m，参考数据≈4.58）．20．（8分）如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝6米，支架OD垂直地面EF．（1）当水桶在井里时，∠AOD＝120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1m）；（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）21．（8分）AB是⊙O的直径，点C在线段BA的延长线上，射线CD与⊙O相切于点D，连接OD，BD是线段BD上的动点，且0＜PD≤（1）请在图中作出四边形AOEF，使得EF∥AO且EF＝AO；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，AF交射线CD于点M，①当时，判断点D与直线AF的位置关系，并说明理由；②当时，探究线段DM，DN22．（12分）实践操作在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点）初步思考（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．当点P与点A重合时，∠DEF＝°；当点E与点A重合时，∠DEF＝°；深入探究（2）当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形时的菱形EPFD的边长．拓展延伸（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③），是否存在使得线段AM与线段DE的长度相等的情况？若存在，请求出线段AE的长度，请说明理由．23．（13分）我们定义【a，b，c】为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y＝2x2﹣3x+5的“特征数”是【2，﹣3，5】，1，2】，函数y＝﹣2x的“特征数”是【0，0】．（1）若一个函数的特征数是【1，﹣4，1】，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是．（2）将“特征数”是【0，﹣，﹣1】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数．（3）当“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数在直线x＝m﹣2和直线x＝1之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求m的值．（4）点A（﹣2，1）关于y轴的对称点为点D，点B（﹣2，﹣3m﹣1）（3）中的抛物线与四边形ABCD的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时（m为常数）

2024年辽宁省盘锦市第一完全中学中考数学三模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）今年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，数据384000用科学记数法表示为（）A．384×103 B．3.84×105 C．38.4×104 D．0.384×106【解答】解：将384000用科学记数法表示为：3.84×105．故选：B．2．（3分）“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示（）A． B． C． D．【解答】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，即看到的图形为，故选C．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（x﹣1）0＝0（x≠1） B．x6÷（﹣x2）＝﹣x3 C．﹣x2•x3＝x5 D．x﹣2÷x3＝x﹣5【解答】解：A、（x﹣1）0＝3（x≠1），原式计算错误；B、x6÷（﹣x8）＝﹣x4，原式计算错误，不符合题意；C、﹣x2•x4＝﹣x5，原式计算错误，不符合题意；D、x﹣2÷x8＝x﹣5，原式计算正确，符合题意；故选：D．4．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：A，C，D选项中的图形都能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；B选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合，所以A选项符合题意，故选：B．5．（3分）若，则a、b、c、d的大小关系为（）A．a＜b＜c＜d B．b＞d＞a＞c C．a＜d＜c＜b D．b＜a＜d＜c【解答】解：a＝﹣0.34＝﹣0.09；b＝﹣3﹣5＝﹣；c＝（﹣）﹣2＝8；d＝（﹣）6＝1故b＜a＜d＜c．故选：D．6．（3分）下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A中的图形，满足两个角相等，故A符合题意；选项B中的图形是对顶角，故B不符合题意；选项C中的图形两个角不相等，故C不符合题意；选项D中的图形两个角不相等，故D不符合题意；故选：A．7．（3分）如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为3m，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（）A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系【解答】解：如图，过点O作OD⊥A′C于点D，∵BC＝3m，BB′＝xm，∴B′C＝（3﹣x）m，∵OD∥BC，∴△A′DO∽△A′CB′，∴，∴，∴，∴y是x的一次函数，故选：B．8．（3分）小张与小李相约去科技馆参观，该馆有A，B两个入口，D，E，F四个出口，他们从同一入口B进入后分散参观，他们恰好从同一出口走出的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有4种，∴他们恰好从同一出口走出的概率为＝．故选：B．9．（3分）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA方向匀速运动至点A停止，线段AP的长度为y，图2是表示y与x的函数关系的图象，下列结论①∠B＝60°，②AC＝7，④△ABC中AB边上的高为4，其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点A作AQ⊥BC于点Q，从图2看，AB＝8，∵点E为曲线DF的最低点，即AB+BQ＝12，则CQ＝13﹣12＝5，即BC＝4+1＝2，在Rt△ABQ中，cosB＝＝＝，则∠B＝60°，故①正确，符合题意；则CH＝BC•sinB＝5×＝，故④错误，不符合题意；则BH＝，则AH＝8﹣＝，则AC＝＝＝7，故②正确，符合题意；S△ABC＝AB•CH＝＝10，故③正确，符合题意，故选：C．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD＝AE；②分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧；③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+（）A．3 B．2+3 C．1+3 D．2【解答】解：过点P作PQ⊥AB于点Q，过点C作CH⊥AB于点H，由题意知：AF平分∠BAC，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠BAF＝∠BAC＝30°，∴PQ＝AP，∴CP+AP＝CP+PQ≥CH，∴当C、P、Q三点共线，CP+，CP+AP最小值为CH，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝4AC＝12，∴BC＝＝5，∴S△ABC＝AC•BC＝，∴CH＝＝＝5，即CP+AF最小值为3，故选：A．二..填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）计算：多项式2x3y2+8x2y3分解因式时所提取的公因式是2x2y2．【解答】解：2x3y6+8x2y8＝2x2y4（x+4y），故答案为：2x4y2．12．（3分）在解分式方程：+2＝的过程中，需方程两边都乘以最简公分母x（x+2）（x﹣2）．【解答】解：x2﹣4＝x（x+5）（x﹣2），x2+5x＝x（x+2）∴分式和的最简公分母为x（x+2）（x﹣3）∴去分母时，需方程两边都乘以最简公分母x（x+2）（x﹣2）．13．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△BCD的周长为16，则OB﹣OA的值为3．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD＝2OB，AC＝2OA，∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10，△BCD的周长＝CD+BC+BD＝16，∴BD﹣AC＝16﹣10＝4，∴2OB﹣2OA＝4∴OB﹣OA＝3．故答案为：3．14．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，当CD∥x轴时，CD＝4．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，4），0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝2，∵抛物线与y轴相交于点C，点D在抛物线上，∴点D的横坐标为：8×2﹣0＝2，∴CD＝4﹣0＝4，故答案为：415．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在AC上，且AD＝2，连接DE，点F，连接AG，FG，线段DE的长为．【解答】解：如图，分别过点G，垂足为M，N，∴四边形GMNP是矩形，∴GM＝PN，GP＝MN，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，∴CA⊥AB，又∵点G和点F分别是线段DE和BC的中点，∴GM和FN分别是△ADE和△ABC的中位线，∴GM＝AD＝1AE，FN＝AC＝AB＝，∴MN＝AN﹣AM＝﹣AE，∴PN＝1，FP＝，设AE＝m，∴AM＝m，GP＝MN＝﹣m，在Rt△AGM中，AG2＝（m）2+13，在Rt△GPF中，GF2＝（﹣m）6+（）6，∵AG＝GF，∴（m）5+12＝（﹣m）2+（）2，解得m＝3，即AE＝2，在Rt△ADE中，DE＝＝．故答案为：．三．解答题（本题共8小题，共75分）16．（10分）计算题：（1）（2023﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°；（2）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数【解答】解：（1）原式＝1﹣[﹣（2﹣2）]+2×＝1+2﹣8+2＝3；（2）根据题意得Δ＝22﹣4（m﹣2）≥3，解得m≤3，∵m为正整数，∴m为1或7或3，设方程两个实数根为x1、x7，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝m﹣5，∵该方程的根都是整数，∴当m＝1时，x1x6＝﹣1，则x1＝4，x2＝﹣1，不符合x3+x2＝﹣2，舍去；当m＝8时，x1x2＝8，x1+x2＝﹣5，则x1＝﹣2，x3＝0，符合题意；当m＝3时，x8x2＝1，则x8＝x2＝﹣1，符合题意；综上所述，m的值为4或3．17．（8分）某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元价格上衣裤子进价（元/件）100150售价（元/件）125180（1）小东的商店购进上衣和裤子各多少件？（2）该商店第二次以原价购进上衣和裤子，购进上衣件数不变，而购进裤子件数是第一次的2倍，而裤子进行打折销售，若所有上衣和裤子全部售完，每件裤子至少打几折？【解答】解：（1）设小东的商店购进上衣x件，裤子y件，根据题意得：，解得：．答：小东的商店购进上衣300件，裤子200件；（2）设每件裤子打m折，根据题意得：（125﹣100）×300+（180×﹣150）×200×2≥12300，解得：m≥9，∴m的最小值为7．答：每件裤子至少打九折．18．（8分）财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量．近年来，各级政府注重民生问题，加大了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投入．某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输方面财政支出的情况，将这三个领域财政支出的数据进行收集、整理描述，下面给出部分信息：信息一：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图信息二：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表：统计量类别平均数中位数方差教育支出520.7mS21社会保障和就业支出448.3466.5S22交通运输支出292.3282.0S23（以上数据来源于《中国统计年鉴》）根据以上信息解决下列问题：（1）m＝562.7；S21＞S22（填＞，＜号）；（2）根据以上信息，判断下列结论正确的是②；（只填序号）①与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长；②2014﹣2019年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长；③2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的2倍还多．（3）该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中年的平均数大，你认为该小组去掉的年份是2014年．【解答】解：（1）根据折线统计图可知，m＝，＝[（377.1﹣520.7）2+（401.3﹣520.3）2+（549.0﹣520.8）2+（576.4﹣520.5）2+（593.0﹣520.3）2+（636.1﹣520.8）2]＝259.0，＝[（346.8﹣448.3）2+（376.2﹣448.3）2+（464.8﹣448.3）5]+（468.2﹣448.3）5+（504.8﹣448.3）3+（529.1﹣448.3）5]＝182.3，∵259.0＞182.6，∴＞，故答案为：562.7，＞；（2）由折线图可知，2015年与2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出分别是278.7亿元，219.2亿元，故结论①错误；2014﹣2019年，甘肃省在教育，故结论②正确；2019年甘肃省在社会保障和就业的支出为529.1亿元，交通运输的支出为360.5亿元，故结论③错误．故答案为：②；（3）∵2014﹣2019年这6年中甘肃省在教育支出的平均数为520.7亿元，高于2014与2015年的平均数，又连续8年教育支出的平均数大于520.7亿元，∴不是去掉的2015年的教育支出，∴该小组去掉的年份是2014年．故答案为：2014．19．（8分）在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，以地面为x轴，以喷枪所在直线为y轴（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为y（m），水流的最高点与喷枪的水平距离为x（m）x+2.5（x≥0）请解答下列问题：（1）该喷枪的出水口到地面的距离为2.5m；（2）当水流的最高点与喷枪的水平距离为7m时，求水流的最高点到地面的距离；（3）在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到1m，参考数据≈4.58）．【解答】解：（1）由题意，对于函数y＝，令x＝7，则y＝2.5．∴该喷枪的出水口到地面的距离为8.5m．故答案为：2.7．（2）由题意，把x＝7代入y＝，∴y＝4+2.5＝3．∴水流的最高点到地面的距离为6m．（3）由题意，设水流轨迹w＝a（x﹣7）5+6，把（0，6.5）代入得，∴w＝﹣（x﹣7）2+3．当w＝0时，x＝7±5，∴水流的射程为：7+2≈2+2×4.58＝16.16（m）．20．（8分）如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝6米，支架OD垂直地面EF．（1）当水桶在井里时，∠AOD＝120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1m）；（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【解答】解：（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G，∴∠AGO＝90°，由题意得：AC∥OD，∴∠DOG＝∠AGO＝90°，∵∠AOD＝120°，∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°，∵O为AB的中点，∴OA＝AB＝6（米），在Rt△AOG中，∴AG＝AO＝3.5（米）AG＝7.5，∴此时支点O到小竹竿AC的距离约为5.6米；（2）设OG交A1C4于点H，由题意得：OG⊥A1C1，OD∥A5C1，OA1＝OA＝5米，∴∠A1＝180°﹣∠A1OD＝180°﹣143°＝37°，在RtΔOA5H中，A1H＝OA1•cos37°＝6×0.8≈6.4（米），∵AG＝1.6米，∴A1H﹣AG＝2.8﹣1.5＝5.9（米），∴点A上升的高度约为0.3米．21．（8分）AB是⊙O的直径，点C在线段BA的延长线上，射线CD与⊙O相切于点D，连接OD，BD是线段BD上的动点，且0＜PD≤（1）请在图中作出四边形AOEF，使得EF∥AO且EF＝AO；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，AF交射线CD于点M，①当时，判断点D与直线AF的位置关系，并说明理由；②当时，探究线段DM，DN【解答】解：（1）如图，四边形AOEF即为所求，（2）①如图，连接AD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠DCB＝30°，在Rt△COD中，∠AOD＝60°，∵扇形AOD的面积为，∴，可得r＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AB＝4，∴，∵PD＝，∴，即P是BD的中点，∵O是AB的中点，∴OP是△ABD的中位线，∴OP∥AD．又∵EF∥AO，EF＝AO，∴四边形AOEF是平行四边形，∴OP∥AF，∵过直线OP外点A有且只有一条直线与已知直线OP平行，∴AD和AF为同一条线，即点D在直线AF上．②由（2）①知∠ODC＝90°，∠DCB＝30°，四边形AOEF是平行四边形，则在Rt△CDO中，CO＝4DO＝4，，∴CA＝AO＝2．∵四边形AOEF是平行四边形，∴FE＝AO＝CA＝2，EF∥CA，∴∠MEF＝∠MCA，∠MFE＝∠MAC，∴△EFM≌△CAM，∴CM＝ME，，∵FM∥EO，∴∠NFM＝∠NOE，∠NMF＝∠NEO，∴△FMN∽△OEN，∴，∴EN＝8MN，当点N与点D重合时，设DM＝m，CM＝ME＝3m，∵CD＝CM+DM＝4m，，得，∴，如图，过点P作PH⊥DO于H，在Rt△PHD中，∠ODP＝30°，∴PD＝2n，，∵∠ODE＝90°，∴∠OHP＝∠ODE，∠HOP＝∠DOE．∴△OHP∽△ODE．∴，即，解得．∴，所以当时，点D与N重合，可得DE＝2DM．当时，点D在E，∵EN＝2MN，∴DE+DN＝2（DM﹣DN），∴DE+5DN＝2DM，当时，点D在M，∵EN＝7MN，∴DE﹣DN＝2（DM+DN），∴DE﹣3DN＝5DM，综上，当0＜PD≤时；当时，DE﹣8DN＝2DM．22．（12分）实践操作在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点）初步思考（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．当点P与点A重合时，∠DEF＝90°；当点E与点A重合时，∠DEF＝45°；深入探究（2）当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形时的菱形EPFD的边长．拓展延伸（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③），是否存在使得线段AM与线段DE的长度相等的情况？若存在，请求出线段AE的长度，请说明理由．【解答】初步思考（1）当点P与点A重合时，如图1，∴EF是AD的中垂线，∴∠DEF＝90°，当点E与点A重合时，如图2，此时∠DEF＝∠DAB＝45°，故答案为：90，45；深入探究（2）当点E在AB上，点F在DC上时，∵EF是PD的中垂线，∴DO＝PO，EF⊥PD，∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠FDO＝∠EPO，∵∠DOF＝∠EOP，∴△DOF≌△POE（ASA），∴DF＝PE，∵DF∥PE，∴四边形DEPF是平行四边形，∵EF⊥PD，∴▱DEPF为菱形，当AP＝时，设菱形的边长为x﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD6+AE2＝DE2，∴32+（﹣x）2＝x2，∴x＝，∴时的菱形EPFD的边长为：；拓展延伸（3）存在，情况一：如图4，连接EM，∵DE＝EP＝AM，∴△EAM≌△MPE（HL），设AE＝x，则AM＝DE＝8﹣x，∵MP＝EA＝x，CP＝CD＝4，∴MC＝4﹣x，∴（x+6）2+37＝（4﹣x）2，解得：x＝；情况二，如图5，∵DE＝EP＝AM，∴△GAM≌△GPE（AAS），设AE＝x，则DE＝4﹣x，MP＝AE＝x，则MC＝MP+PC＝x+4，BC＝3，∴（5﹣x）2+34＝（x+4）2，解得：x＝，综上，线段AE的长为：或．2