高中数学《椭圆及其标准方程》导学案

・产第二章圆锥曲线与方程

DIERZHANG2.1椭圆

2.1.1椭圆及其标准方程

卜课前自主预习

H基础导学

1.椭圆的定义

（1）平面内与两个定点B，F,的距离的和等于常数（现大于IQFR）的点的轨迹

叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的醺焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的幽能包

应用定义解题时，不要漏掉眼川+眼々|=2">/正2|这一个条件.

（2）集合的语言描述为P={MIMAI+\MFi\=2a,2a>\F]F2|}.

2.椭圆的标准方程

焦点在X轴上焦点在y轴上

2222

标准方程回次+'=\(a>b>0)园［+/=1(«>/?>0)

图形

焦距|FIF2|=E_2C

焦点坐标回（土c,0）土c)

a,b,c的

酷=—+c2

关系

品知识拓展

1.对椭圆定义中限制条件“常数（大于甲声2|）”的理解

⑴当动点M满足|MF||十|MF2尸常数>百尸2|时，动点M的轨迹为椭圆;

(2)当动点M满足|MF||十|MF2尸常数=尸内|时，动点M的轨迹为以长，尸2

为两端点的线段；

(3)当动点M满足眼向+配尸2|=常数<尸正2|时，动点M的轨迹不存在.

2.椭圆定义的双向运用

一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点

一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数).

3.椭圆的标准方程与焦点位置的关系

(1)椭圆的焦点在x轴上台标准方程中含f项的分母较大.

(2)椭圆的焦点在y轴上台标准方程中含J项的分母较大.

H自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“义”)

(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有。2=居+,2.()

(2)平面内到两个定点分，尸2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()

(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：4?+3)，2=1(其中A>0,B>0,

AWB).()

答案(1)V(2)X(3)V

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(l)a=5,c=3,焦点在x轴上的椭圆标准方程为.

22

(2)椭圆的方程为]+号=1,则。=,b=,c—.

(3)椭圆*+]=1上一点P到一个焦点的距离为4,则P到另一个焦点的距

离为.

(4)椭圆4/+/=4的焦点坐标为.

22

答案(磕+言=1(2)32.(3)6(4)(0,±73)

卜课堂互动探究

探究1椭圆的定义

22

例1如图所示，已知丹，F2是椭圆通+为=1的两个焦点.

(1)若椭圆上一点P到焦点F|的距离等于15,那么点P到另一个焦点F1的距

离是多少？

(2)过焦点Q作直线与椭圆交于A,8两点，试求△ABB的周长.

［解］由椭圆的标准方程可知/=100,所以。=10.

⑴由椭圆的定义得|「分|+|「巳|=2。=20,

又|PFi|=15,所以『外|=20—15=5.

(2)A/4BF2的周长为|A8|+\AF2\+\BF2\=(|AQ|+|5^|)+\AF2\+\BF2\=(|AF||+

阳引)+(|防什|引引).

由椭圆的定义可知|AQ|十|A&|=2a,|BF||十|BF2|=2a,故HBl+IAFzI+^Fzl

=4。=40.

拓展提升

椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|Mp|+|M&|=2a(2a>|QF2l),则点M的轨

迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.

(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程.因此，解题过

程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定

义求解.

【跟踪训练1】已知长为椭圆5f+9y2=45的左焦点，P为椭圆上半部分

上任意一点，A(l,l)为椭圆内一点，求|PQ|+附的最小值.

解由椭圆方程5/+9)2=45可知/=9,Z;2=5,C2=4,左焦点丹(-2,0),

右焦点?2(2,0),如图所示.P为椭圆上半部分上一点，由椭圆定义有|PF||十|PBI

=6.

而|P『i|+1网=|PQ|+1例+|PFd-『F2I=6一(IPF2IT网).

又|PQ|一|孙KlAFd，当且仅当P,A,B三点共线时，IPF2IT网=依尸2|=啦.

所以当P,A,F2三点共线时，|PR|+|B4|有最小值为6—啦.

探究2椭圆的标准方程

例2求满足下列条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点坐标分别为(0,—2),(0,2),且经过点(4,3g)；

(2)。=8,c—6；

(3)经过两点Pig,；),P2(0,—

［解］⑴由题意得，

2a川(4—0)2+(3啦+2)2+，(4-0)2+(3啦-2)2=12,得a=6.

又c=2,.,./?2=a2—C2=32.

22

所求的椭圆的方程为导咸=1.

(2)Va=8,c=6,：.b2=a2-c2=64~36=28.

22

当焦点在X轴上时，椭圆方程为言+去=1；

22

当焦点在y轴上时，椭圆的方程为点+去=1.

2222

故所求的椭圆方程为源+太=1或W+条=1.

04Zo04Zo

22

(3)①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为a+*=1(4＞。〉0),

"234

解得

X轴上的椭圆不存在.

②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为

=l(a>b>0).

2

21

下十斤1,a=4>

由题意得5解得

故所求椭圆的标准方程为¥+千,2=1.

45

［解法探究］例2(1)(3)有没有其他解法呢?

解(I)'..椭圆的焦点在y轴上，

22

设所求的椭圆方程为力+，=1(。》＞0).

由题意得产+m=i

ci~=36,

得

廿=32.

,«2—/?2=4,

22

二所求的椭圆方程为轰+a=1.

3ZJo

(3)设所求椭圆的方程为Ad+8y2=i(A〉o,B〉0,AWB).

4=5,

由题意得解得

出=4,

二所求的椭圆方程为5x2+4y2=l.

例3已知两圆G：(x-4)2+y2=i69,圆Q：(x+4)2+y2=9,动圆在圆G

内部和圆G相内切，和圆G相外切，求动圆圆心的轨迹.

［解］如图所示，由已知可得圆G与。2的圆心坐标分别为G(4,0),C2(-4,

0),其半径分别为ri=13,「2=3.

设动圆的圆心为C,其坐标为(x,y),动圆的半径为匚由于圆G与圆。相内

切，依据两圆内切的充要条件，可得|CC=ri-r.①

由于圆。2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|。2。=〃2+厂.②

由①+②可得|CGI+|CC2l=n+「2=13+3=16,即点C到两定点G与。2的

距离之和为16,且。。2尸8,可知动点。的轨迹为椭圆，且以G与C2为焦点.

由题意,得c=4,a=8,b~—c^一＜?—64—16=48.

二椭圆的方程为，•看=1,

。44o

22

二动圆圆心的轨迹为焦点在X轴上的椭圆，其方程为爱+左=1.

044o

拓展提升

求椭圆标准方程的方法

(1)求关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置明确其标准方程的形式，再利用

定义及d—。2=,2求出参数a,b,最后代入椭圆标准方程.

(2)待定系数法：构造a,b,C三者之间的关系，通过解方程组求出mb.但

是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”.

当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为〃比2+〃y2=]("?〉0,〃〉0,"?£〃).因

为它包括焦点在x轴上(能＜〃)或焦点在y轴上("z＞")两类情况，所以可以避免分类

讨论，从而达到了简化运算的目的.

(3)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，

验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定

值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后由定义确定椭圆的基本

量a,b,C,这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验.

【跟踪训练2](1)如图，设P是圆/+/=25上的动点，点。是P在x

4

轴上的投影，M为尸。上一点，且|MD|=qPD|.当P在圆上运动时，求点M的轨

迹。的方程，并判断此曲线的类型.

解设M点的坐标为(x,y),P点的坐标为(XP,yP),

xP=x,

5

)yp=4y-

•.•尸在圆上，.•/2+©），）=25,

22

即轨迹。的方程为宏+看=1.该曲线表示椭圆.

22

（2）求过点（一3,2）且与与+5=1有相同焦点的椭圆的方程.

解Vc2=9—4=5,焦点在x轴上，

22

...设椭圆的方程为5+孚£=L

aa—5

,点（-3,2）在椭圆上,

.,.巨+「u=L.・.a2=15.

aa—5

22

二所求椭圆方程为第十存=1.

探究3椭圆标准方程的应用

22

例4若方程寻一+-•匕=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数机的取值

\6—mm+9,

范围是（）

c，c7

A.-9<m<16B.—9<m<2

77

C16D.m>2

16-m>0,

m+9>Q,

{机+9>16—机,

7

解得/＜加＜16.

［答案］c

［结论探究］如果把例4的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样

解答呢？

解由题意得。2=("?+9)—(16—m)—2m—7,

所以c=y/2m—7,又］<机<16,

所以0<2〃L7<25,ce(0,5),

所以焦距2ce(0,10).

拓展提升

Im>0

229

方程5+5=1表示椭圆的条件是J心°，表示焦点在X轴上的椭圆的条件

〔机

">0,fm>0,

是《">0,表示焦点在y轴上的椭圆的条件是<〃>0,

Vm<n.

22

【跟踪训练3]⑴“3<旭<7”是“方程六+E=1表示椭圆”的（）

/7-mm一3

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

答案B

7—7?z>0,

{m-3>0,解

得3<m<l且mW5,

所以3Vm<7且m#5=>3<加<7,

而3<m<7推不出3<m<7且mW5.

x2y2

所以，“3。<7”是“方程六+—=1表示椭圆”的必要不充分条件.

/—tnm~3

22

（2）已知椭圆的标准方程为言+6=1（〃[〉0）,并且焦距为6,求实数〃?的值.

解,：2c=6,.'.c=3.

当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知廿=25,b2=n-r,a1=b1+

c2,得25=〃/+9,/.z?j2=16,又m>0,故机=4.

2222

当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知/=机2,b=25,a=h+c,

得〃/=25+9=34,又加>0,故机=病.

综上，实数加的值为4或用.

探究4椭圆的焦点三角形问题

22

例5已知椭圆3+号=1中，点P是椭圆上一点，吊，F2是椭圆的焦点，且

ZPFIF2=120°,求APFIF2的面积.

［解］由^'+］=1可知a=2,b=5,所以。=1。2一"=］,从而［F］F2|=2C

=2.

在△PF1F2中，由余弦定理得|P&|2=|PQ|2+历尸2『一2|PQ||F|F2|cosNPQB，

22

gP|PF2|=|PF1|+4+2|PF1|.®

由椭圆定义得|PFi|+|PF2l=2a=4.②

由①②联立可得IP昌尸?

所以SAPF］々=引0尸|ll^iFzlsinNPF\F2=/XqX2X-

［条件探究］例5中“NPQF2=120。”改为“NQPB=60。"，其他条件不

变，应该怎样解答？

解由已知a=2,b=-\［3,

得c=7a2—b'q4-3=1.

：.\FIF2\=2C=2,在△PQB中，

222

IF,F^=\PFi|+|PF2|-2|PFI||PF2|-COS60°,即4=(|PQ|+|PF2|)-2|PF,||PF2|

,O

-2|PF1H/F2|COS60.

.*.4=16-3|PFI||PF2|.

二|吗|「匕|=4,

0

?.SdPF'F?=%PF1||PF2|-Sin60=1x4X坐=小.

拓展提升

1.椭圆中焦点三角形的解题策略

在解焦点三角形的相关问题时，一般利用两个关系式：

(1)由椭圆的定义可得|PQ|,|PB|的一个关系式|PFi|+|PF2l=2a.

(2)利用正、余弦定理可得|PF||,|PBI的一个关系式.

这样我们便可求解出|PPI,|PF2|.

但是通常情况下我们是把|Pp|十|P&|,IPQHPF2I看成一个整体进行转化求

解，而不是具体求出IPQI与IP产¥的值，所以在解题时注意椭圆定义及正、余弦定

理的灵活运用.

2.焦点三角形的常用公式

(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.

(2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|BF2『=|MQF+|MF2|2-2|MQ||MF2|COSN

F\MF2.

JNFiMF)

(3)焦点三角形的面积5行叱2=2^MFI1眼尸2卜SinZF1MF2=层tan~—.

22

【跟踪训练4]椭圆，+]=1的焦点为Fi，尸2，点P在椭圆上，若IPAI

=4,则/F1PF2的大小为.

答案120°

解析V|PFi|=4,：.\PF2\=2a-4=6-4=2.

；|FIF2|=2C=2巾，...在△*2三中，利用余弦定理可得，

cosZFPF=iW+mM^p=_i

cosNQPB—2\PF}\\PF2\—2'

的大小为120°.

f----------------------------------1嬴誉断।-----------------------

1.椭圆定义的应用

(1)椭圆的定义式：|PFl|+|PF2|=2a(2a>|FiF2|).在解题过程中将IPF1I+IPF2I

看成一个整体，可简化运算.

(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，

若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的

定义来解决.

2.椭圆标准方程的两种应用

由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围).

(1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确

定从的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式/=从+。2求出c,即可写出

焦点坐标.

22

(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程5+5=1，当

m>n>0时,方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上

的椭圆.特别地，当"=〃?>0时，方程表示圆心在原点的圆.若已知方程的形式

不是标准方程，需先进行转化.

3.求椭圆标准方程的常用方法

(1)求关键量代入法；

(2)待定系数法；

⑶定义法；

(4)相关点法.

4.椭圆的焦点三角形问题

解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PFil+|PF2l=2a,利用这个关系式便可

求出结果，因此回归定义是求解椭圆焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中

要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.

I随堂达标自测

1.若平面内点M到定点Q(0,—1)、尸2(。,1)的距离之和为2,则点M的轨

迹为()

A.椭圆

B.直线/正2

C.线段尸正2

D.直线口正2的垂直平分线

答案C

解析|MR|+|MF2l=2=|F|F2|,所以点M的轨迹为线段QF2.

2

2.方程\+y2=i表示焦点在％轴上的椭圆，则机的取值范围为()

A.(1,+8)B.g+8)

C.[1,+0°)D.(-8,1)

答案A

2

解析因为方程]+/=：!表示焦点在工轴上的椭圆，所以〃?〉L

3.椭圆25*+16y2=1的焦点坐标为()

A.(±3,0)B.(±g,0)

C-(±20,0)D(0，殳)

答案D

丫22iiQ

解析椭圆的标准方程为十++=1,知焦点在y轴上，。2=h一生=五，

2516

故焦点坐标为(。，±&.

4.已知尸1，尸2是椭圆。=1(。>。>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一

—>—>

点，且PFi_LPB，若△PQF2的面积为9,则匕=.

答案3

解析设|PQ|=n,m=r2,

"r\+r2=2a,①

则由题意得＜|nr2=9,②

*+4=(2C)2,③

由①得一+2「正2+4=4。2,

由②得「1厂2=18,所以3+4+36=442,④

④一③得36=4a2—4c\即4Z?2=36,

所以匕2=9,b=3.

5.求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为(一4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0)；

(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).

解(1)由题意知椭圆的焦点在x轴上，

22

...设椭圆的标准方程为5+3=13＞。＞0).

由已知条件易知C=4,a=5,

/?2=a2—c2=25—16=9.

所求椭圆的标准方程为美+《=1.

ND7

(2):.椭圆的焦点在y轴上，

22

二设椭圆的标准方程为力+3=1伍＞/?〉0).

椭圆经过点(0,2)和(1,0),结合图象易知a=2,b=\,

2

.•.所求椭圆的标准方程为%/=].

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

22

1.已知点A(—3,0),8(0,2)在椭圆5+方=1上，则椭圆的标准方程为()

A-f+f=lB.^+^l

22

C.xy+y2、=1D.?y+^v;=1

答案B

加,*

解析由题意得4解得加2=9,,』，所以椭圆的标准方程为丁+

2.如图所示，一圆形纸片的圆心为。，尸是圆内一定点，M是圆周上一动点,

把纸片折叠使M与尸重合，然后抹平纸片，折痕为8,设。。与0M交于点P,

则点尸的轨迹是（）

A.椭圆B.直线

C.射线D.圆

答案A

解析根据题意知，CO是线段MF的垂直平分线，所以|MP|=|Pf],所以|P用

十|PO|=|PM+|PO|=|M。（定值），又因为叫01〉甲根据椭圆的定义可判断出点

P的轨迹是以尺。两点为焦点的椭圆.

3.方程叱》一2）2+；/+叱龙+2）2+丫2=10化简的结果是（）

x2V2X2y2

A-25+16=1B-25+21=1

层+¥=1谊=1

答案B

解析由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在龙

r2v2

轴上的椭圆，且c=2,a=5,所以"2="—c?=21,故化简结果为芯+去=1.

v22

4.椭圆天+v7=1上一点M到焦点为的距离为2,N是M/7]的中点，则|0N|

等于（）

3

A.2B.4C.6D，2

答案B

22

解析设椭圆的另一个焦点为国,因为椭圆会+《=1上一点M到焦点Fi

NDy

的距离为2即|MQ|=2,又|MFi|+|M&|=2a=10,所以|M&|=8.因为N是

的中点，。是FiB的中点，所以|CW|=TlMF2l=4.

22

5.命题p：方程六;十沿7=1表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立

的充分不必要条件是（）

A.3<m<5B.4<m<5C.l<m<5D.m>l

答案B

22

解析若方程x上+—v%=1表示焦点在y轴上的椭圆，则机一1>5>0,

5~mm—1

解得3</n<5.所以p成立的充要条件是3<机<5.结合四个选项可知,p成立的充分不

必要条件是4（机<5.

2222

6.我们把由半椭圆:+齐=1（》20）与半椭圆分+%=l（x<0）合成的曲线称作

“果圆”（其中/=/+c2,a>果c>0）.如图所示,设点Fo,Flf尸2是相应椭圆的

焦点，4,4和田，&是“果圆”与X轴和〉轴的交点，若△R）F|F2是边长为1

的等边三角形，则。，匕的值分别为（）

A.乎，1B，V3,1C.5,3D.5,4

答案A

22222

解析由题意知，/—廿=（乎）=,,^—C=^=1,.\tZ—C=l.

又°2=/+,2,.•./=],b=l.

二'填空题

7.已知椭圆57+62=5的一个焦点坐标是（o,2）,那么Z的值为

答案1

解析原方程可化简为f+?=l,SC2=1-1=4,得女=1.

8.在平面直角坐标系xOy中，己知△A3C的顶点4-4,0)和。(4,0),顶点8

qM—fy2,sinA+sinC

在椭圆行+乱=1上t・则sinB=---------

答案!

22

解析由椭圆方程总+]=1知，a=5,Z?=3,...c=4,即点A(—4,0)和C(4,0)

是椭圆的焦点.

又点8在椭圆上，：.\BA\+\BC\=2a=W,且|AC|=8.

于是，在△ABC中，由正弦定理，得

sinA+sinC|BC|+|B4|5

~sinB~\AC\~=4'

22

9.M是椭圆1上的任意一点，为,尸2是椭圆的左、右焦点，则MH卜\MF2\

的最大值是.