2023-2024学年广东省百色市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省百色市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.对四组数据进行统计，获得以下散点图，设①②③④图对应的相关系数分别为r1，r2，r3，r4，则r1，r2，r3，A.r2<r4<r3<r2.如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，可有(    )条不同路径．A.4 B.5 C.9 D.103.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.在第xℎ时，原油的温度(单位：℃)为y=f(x)(0≤x≤8)，若Δx→0limf(2+2Δx)−f(2)Δx=−6，则在第2ℎA.−3℃/ℎ B.3℃/ℎ C.−6℃/ℎ D.6℃/ℎ4.下列说法中正确的有(

)

①线性回归方程y​=b​x+a​至少经过一个样本点；

②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强；

③在回归分析中，决定系数R2A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.若(2x−3x)nA.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项6.设f′(x)是f(x)的导函数，已知f(x)=2f′(1)x−x2+lnx+1，则f(1)=A.12 B.1 C.32 7.在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数f(x)=1σ2πe−(x−78)22A.600 B.800 C.1200 D.14008.过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有(

)A.24种 B.36种 C.48种 D.60种二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.A村村民2016，2017，2019，2020年这四年的人均年纯收入y(单位：万元)与年份代号x之间的一组数据如表所示.若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为y=x−2，则下列说法正确的是(

)年份2016201720192020年份代号x4578人均年纯收入y2.1mn5.9A.m+n=8

B.2025年A村人均年纯收入约为7万元

C.从2016年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元

D.2020年的人均年纯收入残差值为0.110.设(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)n=A.an=1 B.n=8

C.a3=70 11.设定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若满足xf′(x)−f(x)=x2ex，且f(1)=eA.f(x)在R上单调递增 B.不等式f(x)≥e的解集为[1,+∞)

C.若f(x)≤eax恒成立，则a≥1e+1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知C25n+1=C2513.已知曲线C的方程为y=ln(x+1)+e2x+1，则曲线C在点14.阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有20%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有30%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占60%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

新高考“3+3”模式最大的特点就是取消了文理分科，除语文、数学、外语3门必考科目外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门中自主选择3门作为选考科目，为了了解学生对全文(政治、历史、地理)的选择是否与性别有关，某学校从高一年级的学生中随机抽取男、女生各25人进行模拟选科.经统计，选择全文的男生有10人，在随机抽取的50人中选择全文的比不选全文的多10人．

(1)请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为选择全文与性别有关；选择全文不选择全文总计男生女生总计(2)将样本的频率视作概率，估计在高一年级全体女生中随机抽取两人，恰好一人选择全文的概率．

附表：P(0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参公式：χ2=n(ad−bc)16.(本小题15分)

每年的6月5日是世界环境日，某校计划在6月5日开展社区垃圾分类宣传活动，学校现从12名志愿者中选调6名志愿者去某社区作宣传，其中这12名志愿者有2名教师、4名高一学生、4名高二学生和2名高三学生.求：

(1)若选调的志愿者中恰有1名教师，且不含高三学生，则不同选调方法有多少种？

(2)若选调的志愿者中必有教师，则不同选调方法有多少种？

(3)若选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，则不同选调方法有多少种？17.(本小题15分)

已知函数f(x)=−x3+92x2−6x+a(a∈R)．

(1)求f(x)在[−2,3]上的最大值；

18.(本小题17分)

中国男子篮球职业联赛(CBA)始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球(前四个是普通球，最后一个球是花球)，前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分．全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为23，且每次投篮是否命中相互独立．

(1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D(X)；

(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；

(3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望．19.(本小题17分)

设f(x)=ex，ℎ(x)=sinx+cosx．

(1)求函数y=ℎ(x)f(x),x∈(0,3π)的单调区间和极值；

(2)若关于x不等式f(x)+ℎ(x)≥ax+2在区间[0,+∞)上恒成立，求实数答案解析1.A

【解析】解：由散点图可知，图①，③是正相关，图②，④是负相关，

且图①，②比③，④的线性相关性更强，所以r2<r4<r2.D

【解析】解：走上面需要两步，每步都有两种路径，有2×2=4种方法，

走下面需要两步，第一步有三种路径，第二步有两种路径，有2×3=6种方法，

共计有10种方法．

故选：D．

3.A

【解析】解：Δx→0limf(2+2Δx)−f(2)Δx=−6，

则2Δx→0limf(2+2Δx)−f(2)2Δx=2f′(2)=−6，解得f′(2)=−3，

故在第4.B

【解析】解：线性回归方程可以不经过任何一个样本点，①错，

|r|值越大则两个变量的相关程度越强，②错，

决定系数R2越大，模型拟合效果越好，③对，

残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，④对．

故选：B．5.D

【解析】解：因为(2x−3x)n的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，

所以n=10，

二项式(2x−3x)10的展开式的通项公式为Tk+1=6.D

【解析】解：由题可得f′(x)=2f′(1)−2x+1x，

当x=1时，f′(1)=2f′(1)−2+1，f′(1)=1，

所以f(x)=2x−x2+lnx+1，f(1)=2−1+0+1=2．7.B

【解析】解：依题意可知，μ=78，又因为P(78≤X≤120)=0.42，

所以P(X>120)=0.5−0.42=0.08，

所以数学成绩超过120分的人数约为0.08×10000=800．

故选：B．

8.B

【解析】解：①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有A33=6种安排方法，

此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；

②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有C21种选择，超重耐力在第四、第五天有C21种选择，剩下两种测试全排列A22，则有C21C21A22=8种安排方法，

此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；

③9.AC

【解析】解：由表中数据可知，x−=14×(4+5+7+8)=6，y−=14(8+m+n)，

线性回归方程为y=x−2，

则14(8+m+n)=6−2，解得m+n=8，故A正确；

2025年对应x=13，

故2025年A村人均年纯收入约为13−2=11万元，故B错误；

线性回归方程为y=x−2，直线的斜率为1，

则从2016年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加10.ACD

【解析】解：对A，∵(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，

∴出现xn的只能是(1+x)n，即Cnn(1)0xn=xn，故an=1，A正确；

对B，当x=0时，(1+0)+(1+0)2+⋯+(1+0)n=a0，即a0=n，

当x=1时，(1+x)+(1+x11.BCD

【解析】解：因为xf′(x)−f(x)=x2ex，所以xf′(x)−f(x)x2=ex．

令g(x)=f(x)x，则g′(x)=xf′(x)−f(x)x2=ex，

所以g(x)=ex+c(c为常数)，所以f(x)=xex+cx．

因为f(1)=e，所以c=0，即f(x)=xex．

对于A，因为f′(x)=(x+1)ex，

所以f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，故A错误．

对于B，当x<0时，f(x)<0，x=0时，f(x)=0，x>0时，f(x)>0

而f(x)≥e=f(1)，根据f(x)单调性知：x≥1，故B正确．

对于C，若f(x)≤eax，则xex≤eax．

当x≤0时，xex≤0<eax恒成立．

当x>0时，xex≤eax等价于lnx+x≤ax，即a≥lnxx+1．

令ℎ(x)=lnxx+1，则ℎ′(x)=1−lnxx2，

12.0

【解析】解：∵C25n+1=C253n−4，

∴n+1=3n−4或n+1+3n−4=25，

解得n=2.5或n=7，n为整数，故n=7，

13.y=(1+2e)x+e

【解析】解：y′=1x+1+2e2x+1，当x=0时，y′=10+1+2e2×0+1=1+2e，

因为切线方程过点A(0,e)，所以14.135【解析】解：设写作能力被评为优秀等级为事件A，每天阅读时间超过1小时为事件B，

则P(A)=20%=0.2，P(B)=30%=0.3，P(A|B)=60%=0.6；

∵P(A)=P(AB)+P(AB−)=P(A|B)P(B)+P(A|B−)P(B−)，

∴P(A|B−)=15.解：(1)根据题意，补全2×2列联表如下：选择全文不选择全文总计男生101525女生20525总计302050则χ2=50×(10×5−20×15)230×20×252=253≈8.333>6.635，

因此能在犯错误的概率不超过【解析】(1)根据题中数据完善列联表，求χ2，并与临界值对比分析；

(2)由题意可知：选择全文的概率为4516.解：(1)选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从高一高二选5人，

共有C21C85=2×56=112种选法．

(2)选调的志愿者中必有教师，有两种情况，选1名教师5名学生和2名教师4名学生，

共有C21C105+C22C104=2×252+210=714【解析】(1)先选1名教师，再从高一高二选5人，算出组合数即可．

(2)选调的志愿者中必有教师，有两种情况，选1名教师5名学生和2名教师4名学生，算出组合数即可．

(3)选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，有两种情况，教师和高三学生各选1名，高一高二各选2名学生和教师和高三学生各选2名，高一高二各选1名学生，算出组合数即可．

17.解：(1)因为f(x)=−x3+92x2−6x+a，x∈[−2,3]，

所以f′(x)=−3x2+9x−6=−3(x−2)(x−1)，

当−2<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

当1<x<2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

当2<x<3时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

又f(−2)=8+18+12+a=38+a，f(2)=−8+18−12+a=a−2，

所以当x=−2时，函数f(x)取最大值，最大值为38+a．

所以f(x)在[−2,3]上的最大值为38+a．

(2)因为f(x)=−x3+92x2−6x+a，

所以f′(x)=−3x2+9x−6=−3(x−2)(x−1)，

当x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

当1<x<2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

所以当x=1时，函数f(x)取极小值，极小值为−52+a，

当x=2时，函数f(x)取极大值，极大值为−2+a，

且当x→−∞时，f(x)→+∞，当【解析】(1)求导，再利用导数求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最大值；

(2)利用导数求出函数的极值，再结合题意列出不等式组即可得解．

18.解：(1)由题设，X服从参数为23的两点分布，

P(X=1)=23，P(X=0)=13，

E(X)=23，D(X)=(1−23)2×23+(0−23)2×13=29．

(2)记A表示事件：“甲投完第一个三分眯位的五个球得到了2分”，

记B表示事件：“甲抽中花球”，

则P(A)=C42(1−23)2(23)【解析】(1)用两点分布的概率公式计算即可．

(2)设出事件，分别计算P(A)，P(AB)，用条件概率公式能求出他是投中了花球而得到了2分的概率．

(3)用超几何分布概率计算公式计算出所有可能情况的概率，由此能求出该幸运球迷摸出5个小模型后