高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第2节古典概型练习文新人教A版

第十章第2节古典概型[基础训练组]1．(导学号14577950)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析：C[基本事件有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，共10个，其中为同色球的有4个，故所求概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]2．(导学号14577951)抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,18)解析：A[抛掷两枚质地均匀的骰子的基本事件共36个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)(3,2)(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)，(5,6)，(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)，(6,6)；而向上的点数之差的绝对值为3的基本事件有6个：(1,4)，(4,1)，(2,5)，(5,2)，(3,6)，(6,3)，所以向上的点数之差的绝对值为3的概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).]3．(导学号14577952)已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，a，b∈{1,2,3,4}，则直线l1与直线l2没有公共点的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,8) D.eq\f(3,16)解析：C[(1)直线l1的斜率k1＝eq\f(1,2)，直线l2的斜率k2＝eq\f(a,b)，设事件A为“直线l1与直线l2没有公共点”．a，b∈{1,2,3,4}的总事件数为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16种．若直线l1与直线l2没有公共点，则l1∥l2，即k1＝k2，即b＝2a满足条件的实数对(a，b)有(1,2)，(2,4)共2种情形．所以P(A)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).即直线l1与直线l2没有公共点的概率为eq\f(1,8).]4．(导学号14577953)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,12)解析：A[设2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B112种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B24种情况，则发生的概率为P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，故选A.]5．(导学号14577954)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)解析：B[用列举法求出事件的个数，再利用古典概型求概率．从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).]6．(导学号14577955)曲线C的方程为eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A＝“方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝________.解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则m>n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P(A)＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)7．(导学号14577956)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.解析：m可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本事件个数依次为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，∴两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大．答案：78．(导学号14577957)设集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，0，1，2))，x∈P且y∈P，则点(x，y)在圆x2＋y2＝4内部的概率为________.解析：以(x，y)为基本事件，可知满足x∈P且y∈P的基本事件有25个．若点(x，y)在圆x2＋y2＝4内部，则x，y∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，0))，用列表法或坐标法可知满足x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，0))且y∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，0))的基本事件有9个．所以点(x，y)在圆x2＋y2＝4内部的概率为eq\f(9,25).答案：eq\f(9,25)9．(导学号14577958)一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：(1)因为是投掷两次，因此基本事件(b，c)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．当z＝4时，(b，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，所以P(z＝4)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).(2)①若方程一根为x＝1，则1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立．②若方程一根为x＝2，则4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝2.))③若方程一根为x＝3，则9－3b－c＝0，即3b＋c＝9，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝3.))④若方程一根为x＝4，则16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝4.))由①②③④知，(b，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)．所以方程为“漂亮方程”的概率为P＝eq\f(3,16).10．(导学号14577959)(2018·广西桂林市、北海市、崇左市联合调研)2018年3月，主管部分规定，高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示．(1)求抽取的20位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；(2)从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生参加社区服务时间在同一时间段内的概率．解：(1)由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为20×0.06×5＝6(人)；参加社区服务在时间段[95,100)的学生人数为20×0.02×5＝2(人)；所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为6＋2＝8人．(2)设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A，由(1)可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生有6人，记为a，b，c，d，e，f；参加社区服务在时间段[95,100]的学生有2人，记为m，n，从这8人中任意选取2人有ab，ac，ad，ae，af，am，an，bc，bd，be，bf，bm，bn，cd，ce，cf，cm，cn，de，df，dm，dn，ef，em，en，fm，fn，mn共28种情况．其中事件A包括ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，mn共16种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率P(A)＝eq\f(16,28)＝eq\f(4,7).[能力提升组]11．(导学号14577960)从集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，4，5))中随机抽取一个数a，从集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5))中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：A[由题意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．因为m⊥n，即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个，故所求的概率为eq\f(1,6).]12．(导学号14577961)某中学有3个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中一个社团，则这两位同学参加不同社团的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：C[记3个社团分别为A，B，C，依题意得，甲、乙两位同学参加社团的所有可能的情况有9种，分别为(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，而两位同学参加同一个社团的种数为3，其概率为eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，根据对立事件的概率可知两位同学参加不同社团的概率为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，选C.]13．(导学号14577962)(2018·海淀区模拟)现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________.解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2),(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件eq\o(N,\s\up6(－))表示“A1和B1全被选中”，由于eq\o(N,\s\up6(－))＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(eq\o(N,\s\up6(－)))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由对立事件的概率计算公式，得P(N)＝1－P(eq\o(N,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)14．(导学号14577963)(2018·贵阳市二模)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的人数；并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份，分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．解：(1)由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2.由频率分布直方图知：分数在[50,60)之间的频率为0.008×10＝0.08.∴全班人数为eq\f(2,0.08)＝25人．(2)∵分数在[80,90)之间的人数为25－2－7－10－2＝4人，∴分数在[80,90)