福建省上杭市2025届高三数学上学期暑期考试试题含解析

Page18福建省上杭市2024届高三数学上学期暑期考试试题（第Ⅰ卷，选择题部分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x|}，B={x|-1≤x≤1}，则A∪B=（）A.[-1，0] B.[0，1] C.[-1，2] D.[1，2]【答案】C【解析】【分析】解出集合A，进而依据交集定义解得答案即可.【详解】由题意，，则.故选：C.2.函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题首先可令，然后将函数转化为，最终利用反比例函数性质得出当时函数的值域，即可得出结果.【详解】令，则，因为函数在上单调递减，所以当时函数的值域为，则函数值域为，故选：B.【点睛】本题考查函数值域的求法，考查通过换元法求函数值域，考查反比例函数的性质，考查推理实力，是简洁题.3.已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，则可求出命题为假命题的范围，即可选出答案.【详解】若命题为真命题则，，，即.又是真命题，即命题为假命题，即.故选：D.4.函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，去掉肯定值，变函数为分段函数，结合导数探讨其单调性，可得答案.【详解】由函数，当时，，易知单调递增，且，可得下表：微小值则，当时，，令，，令，解得，可得下表：微小值则，即，则单调递增.故选：A.5.函数f(x)=的零点所在的一个区间是A.（-2，-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2）【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么依据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，依据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．6.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据三个数的形式，构造函数，利用导数推断函数的单调性，最终依据单调性进行比较大小即可.【详解】构造函数，，当时，，单调递增，所以，.故选：A7.“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米．已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满意（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在起先关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，须要的时间大约是（参考数据：）（）A.1个月 B.3个月 C.半年 D.1年【答案】C【解析】【分析】由题可知：，化简得出结论.【详解】由题可知：∴∴∴（天）∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，须要的时间大约是半年.故选：C.8.苏格兰数学家科林麦克劳林(ColinMaclaurin)探讨出了闻名Maclaurin级数绽开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试依据此公式估计下面代数式的近似值为（）（可能用到数值）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由麦克劳林公式得，进而可得答案.【详解】解：依据麦克劳林公式得：，所以由于.故的近似值为.故选：B.【点睛】本题考查数学学问迁移与应用实力，解题的关键是将所求近似代替，是中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】结合函数的奇偶性、单调性确定正确选项.【详解】A选项，的定义域为，，为偶函数.当时，为增函数，符合题意.B选项，的定义域为，当时，为减函数，不符合题意.C选项，的定义域为，，为奇函数，不符合题意.D选项，的定义域为，，为偶函数.当时，依据复合函数单调性同增异减可知：为增函数，符合题意.故选：AD10.下列说法中正确的有（）A.若，则B.若，则C.，“恒成立”是“”的充分不必要条件D.若，则的最小值为【答案】AD【解析】【分析】对于A,B，利用不等式的性质可以推断；对于C，利用基本不等式及不等式恒成立与最值的关系，再结合充要条件即可推断；对于D，利用基本不等式及“1”的巧用可以推断.【详解】对于A，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B，因为，所以，所以，即.故B不正确；对于C，，恒成立等价于，因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当时，取得最小值为，即.所以，“恒成立”是“”的充要条件，故C不正确.对于D,因为，，=，当且仅当即时，等号成立，所以当时，取得最小值为，故D正确.故选：AD11.对于函数和，则下列结论中正确为（）A.设的定义域为，的定义域为，则．B.函数的图像在处的切线斜率为0．C.函数的单调减区间是，．D.函数的图像关于点对称．【答案】ACD【解析】【分析】利用导数来探讨函数的切线斜率以及单调性问题，利用函数的概念以及性质来探讨定义域与对称性问题.【详解】因为，所以，即，解得，因为，所以，解得.所以.故A正确；因为，所以，所以，所以的图像在处的切线斜率为-1，故B错误；因为，定义域为：，所以，由有：，所以函数的单调递减区间是，，故C正确；当时，.所以函数的图像关于点对称，故D正确.故选：ACD.12.已知函数（e为自然对数的底），若且有四个零点，则实数m的取值可以为A.1 B.e C.2e D.3e【答案】CD【解析】【分析】首先推断为偶函数，考虑时，的解析式和零点个数，运用导数的几何意义和数形结合思想，即可得到所求的范围.【详解】解：因为，可得，即为偶函数，由题意可得时，有两个零点，当时，，即时，，由，可得，由相切，设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，可得切线的方程为，由切线经过点，可得，解得：或（舍去），即有切线的斜率为，故，故选：CD.【点睛】本题考查函数的零点问题，关键是转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想及计算实力，难度较大.（第Ⅱ卷，非选择题部分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数为偶函数，则_____．【答案】1【解析】【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维实力、等价转化实力、运算求解实力、特别与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有肯定的综合性和敏捷性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为函数为奇函数，然后再利用特别与一般思想，取．14.已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意可得，利用基本不等式求出，然后解不等式可求出的取值范围.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，因为存在，使得成立，所以，即，所以，即（舍去），或，得，所以的取值范围为，故答案为：15.定义在上的函数满意以下两特性质：①，②，满意①②的一个函数是______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】依据性质①②可知，为奇函数且函数图像关于对称，即可得到结果.【详解】因为，即满意性质①又因为，，且所以，即满意性质②故答案为:16.定义在上函数满意，且当时，．若对随意，都有，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】由，依据，即，依此类推，作出函数的图象求解．【详解】因为当，时，，所以，因为，当，时，即时，所以，即，当，，即，时，，当，，即，时，，所以，依此类推，作出函数的图象，如图所示：由图象知：，,当时，，当时,因为对随意，，都有，则，解得：，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，直棱柱的底面中，，，棱，如图，以为原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系（1）求平面的法向量；（2）求直线与平面夹角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）设处平面的法向量的坐标，利用向量的数量积为，即可求解平面的一个法向量；（2）取出向量，利用向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成角的正弦值.详解：（1）由题意可知故设为平面的法向量，则，令，则（2）设直线与平面夹角为，点睛：本题考查了平面法向量的求解，以及直线与平面所成的角，着重考查了空间想象实力，以及推理与运算实力，在高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.18.已知．（1）当时，探讨的单调区间；（2）若在定义域内单调递增，求的取值范围．【答案】（1）单调增区间是，单调递减区间为.（2）．【解析】【分析】（1）对求导，利用导函数的正负探讨单调区间；（2）在定义域内单调递增，即导函数恒成立，解的取值范围即可.【小问1详解】当时，，定义域..令，即解得：；令，即解得：；∴当时，函数的单调增区间是，递减区间为.【小问2详解】∵，∴∵在上单调递增，即恒成立，∵时∴，即a的取值范围为．19.今年年初，我市某医院安排从3名医生、5名护士中随机选派4人参与湖北新冠肺炎疫情狙击战.（1）求选派的4人中至少有2名医生的概率；（2）设选派的4人中医生人数为X，求X的概率分布和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为.【解析】分析】（1）分别对“4人中有2名医生2名护士”、“4人中有3名医生1名护士”记事务，然后依据互斥事务以及组合学问，进行求解可得结果.（2）列出的全部可能结果，并计算相应概率，然后列出分布列，最终依据数学期望公式，可得结果.【详解】（1）记选派的4人中至少有2名医生为事务A，记4人中有2名医生2名护士为事务，记4人中有3名医生1名护士为事务，且与互斥.则当事务A发生时，有或发生，所以有.又；；所以.故选派的4人中至少有2名医生的概率为.（2）由题意选派的医生人数可以是0，1，2，3.所以；；；.所以，随机变量的概率分布表为0123故随机变量的数学期望为=.故的数学期望为.【点睛】本题考查互斥事务的概率以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查分析实力以及运算实力，属中档题.20.如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证平面CMD,得,再证，进而完成证明．（2）先建立空间直角坐标系，然后推断出的位置，求出平面和平面的法向量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值．【详解】解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.又BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点.由题设得，设是平面MAB的法向量,则即可取.是平面MCD的法向量,因此，，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，其次问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算实力和空间想象实力，属于中档题．21.最新研发的某产品每次试验结果为胜利或不胜利，且试验胜利的概率为.现对该产品进行独立重复试验，若试验胜利，试验结束；若试验不胜利，则接着试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元.（1）①写出的分布列；②证明：；（2）某公司意向投资该产品.若，且试验胜利则获利元，则该公司如何决策投资，并说明理由.【答案】（1）①答案见解析；②证明见解析（2）应当投资，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意，，，列出分布列即可；列出，乘公比错位相减法求和，分析可证明；（2）由（1），分析即得解【小问1详解】①由题意，故分布列如下：12345678910②，记，，作差可得，，则，即证.【小问2详解】由（1）可知，则试验成本的期望小于，又获利大于成本的期望，则应当投资.22.已知函数，（1）求函数的最值；（2）令，求函数在区间上的零点个数，并说明理由．【答案】（1）当时，在R上无最大值与最小值当时，在R上无最大值，有最小值为.（2）函数在上的零点的个数为，理由见解析【解析】【分析】（1）先对函数进行求导，在对进行探讨，即可求出答案.（2）先写出函数的解析式，在对函数进行求导，再分两种状况对进行探讨，当时，利用零点存在性定理和隐零点求出有