北师大版必修第二册4.2平面与平面平行-1课时练习

【优质】4.2平面与平面平行-1课时练习

一.填空题

1.一个质点从A上出发依次沿图中线段到达B.C.D.E.F.G.H.I.J各点，最后又回到A（如图

所示），其中：fAB//CD//EF//HG//IJ,BC〃DE〃FG〃HI〃JA.欲知此质点所走路程，至少

需要测量n条线段的长度，则n的值为

DC

2.如图，在正方体中，E.尸分别是。a.0c上靠近点力的三等分点，则异面

直线EF与AG所成角的大小是.

AECF1

3.在空间四边形ABCD中，E.F分别是AB.BC上的点，且硝FB§,则AC和平面DEF位置关

系______

4.%耳是两个平面，利”是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果机,那么•夕

.）如果那么加,加

6）如果根ua,那么根//力

（4）如果加//〃,〃uc,则加//2

其中正确的命题有_L.（填写所有正确命题的编号）

5.在正方体AG中，E是棱CG的中点，F是侧面片内的动点，且A/与平面RAE的垂线垂

直，如图所示，下列说法不正确的序号为

①点F的轨迹是一条线段.②"与BE是异面直线.

③AF与RE不可能平行.④三棱锥F-ABQ的体积为定值.

6.在空间四边形A8CO中，E为边的中点，/为边°。的中点，若AC=6,80=10,且

AC_L8O,则线段所的长为

斯=正

7.如图，正方体-44GA的棱长为1,线段及R上有两个动点民尸，且一2,现有如

下四个结论：

①皿％

②平面EFC〃平面4BD

③异面直线人28厂所成的角为定值；

④三棱锥A-B£F的体积为定值，

其中正确结论的序号是.

8.如图，在长方体AS。。-中，AD=DD,=l,AB=y/3P)G分别为被"，u9的

中点，点P在平面ABCD内，若直线RP”平面EFG,则线段°』长度的最小值是.

9.已知棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E,F,M分别是线段AB.AD.AAi的中点，又P.Q分别

在线段AB.AD上，且AF=AQ=x（OG〈l）.设平面MEFCI平面MPQ

=1,现有下列结论：

Di

②1_LAC；

③直线1与平面BCCB不垂直；

④当x变化时，1不是定直线.

其中不成立的结论是.（写出所有不成立结论的序号）

10.正四棱柱ABCO-AqGA中，AB=AD=\,E为§片中点，若点尸满足A%=4的，且BPH

平面则丸=.

11.如图，在矩形ABCO中，3c=243=2,N为的中点，将一ABN沿AN翻折成△与AN（品6

平面ABCO）,M为线段用。的中点，则在翻折过程中给出以下四个结论：

①与平面用AN垂直的直线必与直线CM垂直;

旦

②线段CM的长为2；

♦

③异面直线CM与Ng所成角的正切值为3；

④当三棱锥口~"Ng的体积最大时，三棱锥D-ANB1外接球的表面积是4万.

其中正确结论的序号是.（请写出所有正确结论的序号）

12.如图，在棱长为1的正方体被力〃中，点历是4?的中点，动点尸在底面正方形幽力内

（不包括边界），若BH/平面4BM,则GP长度的取值范围是—.

13.已知小垂直于"SC所在平面。，。为8c的中点，又与平面a所成的角分别为

60°45°,30°,若8C=6,则PA=.

14.已知直线机〃平面仅，°C尸，那么在平面£内过点P与直线m平行的直线有条.

15.如图，在棱长为1的正方体ABC0-44GQ中，点民尸分别是棱8C,℃的中点，P是侧面

BCC向内一点，若AP//平面AE尸，则P点的轨迹长为.

A

参考答案与试题解析

1.【答案】3

【解析】计算得到路程等于2AB+28C+3G”,得到答案.

详解.路程等干+CD+DE+EF+FG+GH+HI+IJ+JA-2AB+2BC+3GH

故至少需要测量3条线段长度.’

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了线段的长度问题，确定路程等于2M+2BC+3GH解题的关键..

2.【答案】60

【解析】连接,可得出政〃,乌，证明出四边形ABC2为平行四边形，可得48//C。，可得出

异面直线跖与4G所成角为N8AG或其补角，分析入4田G的形状，即可得出N8AG的大小，即

可得出答案.

【详解】

DEDF

连接CDBQDD,~DC~3EF//CD,

在正方体A8C0_44G〃中，AQ也AD,AD/.:.A、D.C

所以，四边形MCA为平行四边形，

所以，异面直线砂与A&所成的角为

易知MBG为等边三角形，・•.N3G=60

故答案为：60.

【点睛】

本窗考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属

于中等题.

3.【答案】平行

【解析】根据比例式得到灰〃AC,继而得到线面平行，问题得以解决.

【详解】

AECF1

解：EBFB3,

:.EFHAC

EFu平面£)£F,AC(Z平面DEF,

二AC7/平面DEF,

故答案为：平行.

£

f八Y妹••\\

RFC

【点睛】

本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是掌握空间中直线与直线之间位置关系的判

断方法，属于基础题.

4.【答案】(2)(3)

【解析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.

详

解：(1)如果根加,a〃///,那么。〃尸或外尸相交，(1)错误；

e>

mla,n//a)那么加上〃，(2)正确；

a/""''那么加〃尸，(3)正确;

m//”,〃ua,则加//&或加ua,(4)错误；

故答案为:(2)(3).

【点睛】

本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.

5.【答案】③

【解析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，以及体积公式分别进行判断.

详解：对于①，设平面与直线BC交于点G,连接AGEG,则G为8C的中点..

分别取用B,4G的中点M,N,AM,MN,ANf

则AM///5]£",A"Z平面。,REu平面

所以AM//平面AAE,同理可得肱V//平面AAE

A"，"N是平面AMN内的相交直线.

所以平面A"'//平面印巴

由4尸与平面DA"的垂线垂直，则A""平面印巴可得直线Vu平面AMN.

即点尸是线段MN上的动点，所以①正确.

对于②，由①有点尸在线段.上，所以8，2口三点在侧面8CG与内

假设4口与距不是异面直线，则4，民民尸四点共面，则他们共面于侧面8CG4内.

这与在正方体中，显然4史BCG与产生矛盾，所以假设不成立.

故AF与3E是异面直线，故②正确.

对于③，当F与M重合时，"11D\E,所以③错误.

对于④，MN//EG,EG//A。，则肱V//平面ABA

则点F到平面482的距离等于点M(或点N)到平面AB"的距离.

设点M(或点N)到平面ABD]的距离为d.

忆,…=。

则-M-A皿Vvr1.^-ABM，即3"=W3S4A6M.4

s

在正方体中，ABD',S/VIBM,AA均为定值，所以"为定值.

点尸到平面ABA的距离为定值，又.，%为定值.

所以口-AB?的体积为定值,故④正确.

故答案为：③.

【点睛】

本题考查空间平行关系的应用.空间轨迹的探索.异面直线的判断，平行直线的判断和锥体的体积的

计算，属于中档题.

6.【答案】V34

【解析】取8c中点°,连接E°'F°，由七°AC,^EO~^AC~3,FOBD,S.FO~^BD~5

推导出E0J.R9,由此求出EF的长.

【详解】

如图，取BC中点。，连接E°，F°,

因为E为边45的中点，F为边8的中点，AC=6,BD=10,且ACJ.BO,

所以E°AC,且E°=5C=3,FOBD且吁口。=5

因为ACJ.BO,所以

所以EF=^ECf+FOr=,9+25=后

【点睛】

本题考查了空间两点的距离，主要考查了线线平行，重点考查了运算能力，属基础题.

7.【答案】①②④

【解析】通过证明异面直线垂直证得①成立，通过证明面面平行证得②成立，作出异面直线A236

所成的角，由此判断异面直线A瓦8厂所成的角是否为定值，利用锥体体积公式计算出三棱锥

A-3EF的体积.

详解：①设AC与8。相交与G.根据正方体的性质可知AC,S。,AC_L8旦，而8℃8旦=8,所

以AC工平面BDRBI所以ACJ_BE,故①正确.

②根据正方体的性质可知48//*,489平面4cA,*u面线04,所以4///平面8卬.

同理可证BDH平面片,而A8c80=8,所以平面A.BDH平面B、CD】也即平面EFCH平面

A叫故②正确.

BD=B、D\=0,BG=^EF=—

③由于正方体的边长为1,所以2,而2,根据正方体的性质可知

EFHBG,所以四边形BGEf是平行四边形，所以BF//GE,所以NAEG是异面直线AE，8f'所成

tanZAEG=—

的角，所以GE,其中AG为定值，GE长度不固定，所以NAEG不是定值，所以③错

误.

④由①可知AC，平面BDDM

v1c._1f1V21

VX

A-BEF=-SBEI..XAG=-X-X—xlX—=—

所以I7为定值，所以④正确.

故答案为：①②④

【点睛】

本示题主要考查线线.面面的位置关系，考查锥体体积计算，属于中档题.

8.【答案】也

2

【解析】如图，连接AA,AC,℃,证明平面AOA”平面EFG.因为直线2尸〃平面EFG,所以点

P在直线AC上.当OfA。时.线段A。的长度最小，再求此时的得解.

【详解】

如图，连接AA,AC,Z)C,

因为E,F,G分别为AB,BC,GA的中点，

所以AC7/防，跖.平面AC2,

则)7/平面A8因为EG//A%

所以同理得EG//平面A。"，又EFEG=E

所以平面AC"”平面EFG.

因为直线°产〃平面EFG,所以点P在直线AC上.

AR=6,AC=2,CD\=2,S9,=qx夜x2?/坐］=g

在“8中，21。2,

不

~2

lx2-2

故当。P，AC时.线段2P的长度最小，最小值为5

巨

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌

握水平.

9.【答案】④

【解析】详解：连接BD,BD,：AF=AQ=x,，PQ〃BD〃BD〃EF,则PQ〃平面MEF,

又平面MEFC1平面MPQ=L；.PQ〃1,1〃EF,

.,」〃平面ABCD,故①成立；

又EFLAC,.("LAC,故②成立；

\T〃EF〃BD,故直线1与平面BCCB不垂直，故③成立；

当x变化时，1是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立.

即不成立的结论是④.

0

10.【答案】—

【解析】先猜想点p为AD的中点，取A"的中点/，连接EF.PF,再证明8P//平面AE".结

合正四棱柱和中位线的性质可推出四边形3PFE为平行四边形，从而BP//EF,然后由线面平行的

判定定理可证得8P//平面AE%

详解：如图所示，分别取4A.AD的中点F.P,连接EF.PF,此点尸即为所求.

证明如下：

F.尸分别为AA.AO的中点，

FPHD.DFP=2D'D

9，

E为BBi中点，

2'

VDD//BB

}}，

：.FP//BEtFP=BE,

•••四边形由小互为平行四边形，

：.BP//EF9

BPZ平面AER,EFu平面BPFE,

・•.3尸//平面4项入

由于P为A£＞的中点，

2=-

所以2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考主要查空间中线与面的平行关系，对于找点问题，一般可采用先猜后证的思想，熟练掌握线面

平行的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感.逻辑推理能力，属于中档题.

11.【答案】①②④

【解析［①CM〃平面与AN,则可判断；②通过线段相等CM=N£,可求出线段NK的长；②异面

直线CM与N4所成角为NEN4,求出其正切值即可；④找出球心，求出半径即可判断其真假.从而

得到正确结论的序号.

详解：如图，取的中点为E,AD的中点为尸，连接EN,EM,FN,

则四边形CNEM为平行四边形，直线CN〃平面AB］”,所以①正确；

因为CMEN,异面直线CM与NB］的所成角为,

tanZEA^B,=-

2,所以③错误；

当三棱锥。一AN4的体积最大时，平面gAN与底面ABCO垂直，

可计算出I，I，I+所以NABQ=90。

同理N/WD=90°,

所以三棱锥。一ANB1外接球的球心为尸，半径为1,外接球的表面积是4万，④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查翻折过程中点线面的位置关系，注意翻折过程中不变的量，考查了相关角度，长度，体积的

计算，考查直观想象，运算能力，属于较难题目.

12.【答案】［回,逝)

【解析】取犯中点乂连结&N,DN,作连结G0,

因为平面氐"¥〃平面A、BM,

所以点P在底面ABCD内的轨迹是线段(动点。在底面正方形ABCD内，不包括边界，故不含点N和

点D),

22

A八CQ=V2,DN=C,N=Jl+(-)=—

在中「IN2)2,

过GOL&V,则当P与。重合时，G尸长度取最小值，

如

GO=»=随

1百2

—X------

所以长度的最小值为22,

当。与〃重合时，GP长度取最大值，

.••GP长度的最大值为CgC,

原扬

•.•。与〃不重合，...。夕长度的取值范围是5'

［华，夜）

故答案为：5

13.【答案】亚

2

【解析】画图分析线面垂直的关系，再设A8长为x算出底面的所有线段长度，再利用彷。氏ADC

互补利用余弦关系求解即可.

【详解】

画出图像，

易得ZPBA,ZPDA,ZPCA分别为60°,45°,30°

设AB长为x则PA=A8•tanNPBA=设NADB=。,=%—d

PAPA

AD=AC==3x

tanZPDAtanNPCA

故在AA83AAe。中

AD2+BD2-AB2AD2+CD2-AC2

cos。=cos(7-0}==-cos6

2ADBD2ADCD

3x2+9-x23^+9-9/

cos6=

代入得