高考数学解答题常考公式及答题模板1

高考数学解答题常考公式及答题模板

题型一：解三角形

I、正弦定理：—=—=—=2/?(尺是AABC外接圆的半径)

sinAsinBsinC

.a

smA=—

«=2/?sinA

变式①：＜/?=2/?sinB变式②：sinB=—变式③：a::c=sinA:sin:sinC

“.厂2R

c=2/tsinC

a2=b2+c2=2bccosA

2、余弦定理:b2=a2+c2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC

L：

3、面积公式:S=C=4c$inB

a=bcosC-¥ccosB

4、射影定理:b=acosC+ccosA(少用，

c=acosB+bcosA

5、三角形的内角和等于180°,即A+8+C=;r6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限

卜ni(A+B)=sinCcos(A+fi)=-cosC

利用以上关系和诱导公式可得公式：sin(A+C)=sinj?和cos(A+C)=-cos8

[sin(B+C)=sinAcos(i?+C)=-cos4

7,平方关系和商的关系：①sin2,+8s2=l②tan0=^2

COS®

8、二倍角公式：①sin2£?=2sin〃cos。

2lcos2s

②8s2e=cos2®-siMe=28s=1一Zsin?®n降箱公式：cos0=^?sin^=--8

22

2tan。

③tan20-

l-taifo

8、和、差角公式：

|sin(a+6)=sinacosft+cosasin0cos(a+6)=cosacos/7-sinasin0

②

[sin(a-/7)=sinacos/?-cosasinpcos(«z-B)=cosacos/7+sinasin0

,4tana+tan/

tan(cr+0=---------------

1-tanatan/?

③

tana-tan夕

tan(a-/7)=

1+tanatan/?

9、基本不等式:①友咛(加R*)②T等abwR,)③abW9」也(a,bwR)

j2

注意：基本不等式•般在求取值范围或最值问题中用到，比如求AABC面积的最大值时。

；■答题步骤:

①抄条件:先写出题目所给的条件；（但不要抄题目）

②写公式：写出要用的公式，如正弦定理或余弦定理:

③有过程：写出运算过程;

④得结论：写出结论：（不会就猜一个结果）

⑤猜公式：第二问一定不能放弃，先写出题目所绘的条件，然后再写一些你认为可能考到的公式，如均值不等式或面积公式等。

例1：（2016天津文港A48C中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,已知asin23=J^sinA.

⑴求乐

（2）若cosA=g，求的值.

解：己知asin28=V5/〉sinA—翻仲T

由正弦定理就婴用的痛我

sinAsinBsinCEE1

sin20=2sinOcos®骞瞄婴阳崎蜃我

nsin4,2sin8cos8=V3sin5sinA

,/sinA*O,sin8Ho

n2cos8=石=>cosB=

又..OVBY/T故6=f.

6…T*“

(2)已知cosA=g,A+8+C=/r

例2：(2013江西理)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,已知cosC+(cosA—石sinA)cos8=0.

(1)求角B的大小：

(2)若a+c=l,求b的取值范围.

解：(1)已知cosC+(cosA-VJsin4)cosB=0蛔IS附鳞腋

n-cos(A+A)+cos4cos3-石sinAcosB=0

=>-cosAcosB+sinAsin8+cosAas8-百sin4cos8=0******■西凿要的返图速遇

nsinAsinB-VJsin4cos8=0

•/sinAn0=sin8=后cosBntanB=疝'=6

cosB

0<B<^=>B=^./

(2)由余弦定理，得

h2=a2+c2-2accosBEE等批•帕命我

一雪鹤端=

=(a+c)2-3ac

10、不常用的三角函数公式（很少用，可以不记哦人0人）

（1）万能公式:

2。C8

2ctan—°1t-tan—2tan—

①sin0=------与②cos8=-------飞③tang=------与

,28,28

1+tairl+tan~1-tan~

222

（2）三倍角公式:

①sin3®=3sine-4sin3e(g)cos3^=4cos3^-3cos^③tan3O='即”。产血。

3tan~〃一l

题型二：数列

I、等差数列2、等比数列

①定义：an+l-alt=d

④等差中项:若A及。成等差数列，则28=A+C④等比中项：若人民。成等比数列，则82=4。

⑤性质：若根+〃=〃+4，则。/„+%=。/,+%⑤性质：若in+n=p+q，则a,„-a,,=apaq

S\,n=

3、%与分的关系：an注意：该公式适用于任何数列,常利用它来求数列的通项公式

Slt-Sn,],n>2

4、求数列通项公式的方法

（1）公式法:

①若已知即+1-a”=d和q=a,则用等差数列通项公式a„=q+（〃-l）d

②若已知&iL=q和与=a,则用等比数列通项公式为=可夕1

%

S|,n=l

（2）%与S；的关系:%

Sn-Sn_1,n>2

例3：数列｛%｝满足”]+3。2+3?43+…+3""a”==,求明.

,解：设S“="1+3a2+3~为H---1■3""a”=§,则

(1)当〃=1时,

2

n

（2）当〃N2时,S=a+3a+32a+-+3n~2a_+3~①

ni23n｝2

H-

S,r-i="1+3a2+3~的+…+3'"%_]②

2

①得

522)一醐了明与s“限浜

23"T

（3）构造法：形如%+1=〃/+夕（P，夕为非零常数）构造等比数歹“a,用+2=p（4”+2）

例4:已知数列伍“｝满足4+I=2%+1,且q=l,求明.

解：已知an+l=2atl+1,且q=1

构造。川+/=2(/+A)-

=>an+l+A-2an+22=>an+l=2an+A.

.•.A=l……嬲雌嬲礴需子与原虱簸，

…1=2(%+1)=>^1=2

册+1

令ba=%+1=々=4+1=2

="=2=<Z=>的,)

a

(4)累加法：形如%=/_1+/(〃)，且〃〃)可用求和，可用累加法

例5：已知数列｛品｝中，q=l,/=4_[+2〃,求册.

解：已知a”=%_]+2n

a2-d\=2x2

%-。2=2x3

aA-a3=2x4

a5-a4=2x5

品-|一册-2=2(〃-1)

an-%-I=2〃

累加后.得

an-6/|=2x(2+3+4+5+…+A)

=2x(I+2+3+…+〃)-2

疆网丁金塞1+2+3+・-+〃=约詈

X^±1>-2

=22

=n'+n-2

（5）累乘法：形如，J=/（〃），且/（〃）可用求积，可用累乘法

an-\

例6：已知数列｛册)中，q=l.-^=—,求金.

«n-l〃+1

解：已知乌-=」-

%T"+1

4anlan

—a2——2—,a—3—3—,a—4=--n----i--=-------,---»----■

q3a24。35an-2〃an-l〃+1

累乘后，得

（6）取倒数法：形如%=%」（p,g为非零常数）则两边同时取倒数

p*+q

例7：已知数列｛〃“｝满足册=」d—且4

加N+1

解：己知％(ln-\

令仇则由—=1

ana\

-耳-i=2=4=｛，.｝为等差数列

5、求数列前〃项和S“的方法

(1)公式法：除了用等差数列和等比数列前〃项和的公式外，还应当记住以下求和公式

①1+2+3+…+〃=吟@2,+22+23+-+2n=2M+,-2

②1+3+5+…+(2〃-1)=〃2@I2+22+32+•••+/=-〃(〃+1)(2??+1)

6

(3)2+4+6+---+2z:=/z2+/?@l3+23+33+-+n3g〃5+l)

(2)裂项相消法:

,1.11

(3)___尸=­IY〃TA—V，"

n(n+1)n«+1•Jn+k--y/nk

②一^(2n-I)(2n+l)2'2时「备)

n(n+k)

例8：设等差数列｛%｝的前疑项和为S”，且S4=4$2，a2n=2an+\.

(1)求数列｛M)的通项公式:

(2)设为=-----.求数列｛〃｝的前“项和7；f,

册4+1

(1)S4=4§2，a=2a+l

解：已知2nn»T出■划腌的箭

Sn=na[+"d,an=ax+(n-\)d

甯出我用岫公虱'H曹曾

4x3

S4=4“]+----d=4a]+6d

2n4q+6J=4(2q+d)©

S2=2al+d=2«|+<7

a2n=a1+(2??-l)J=2[a,+(z:-l)j]+l②Ff先甯翻番或*雾朝£

由①(D式，解得卬=1,4=2

先甯出番式.

1/1

(2)由(1)知：bn=—!—

册册+i(2〃-1)(2〃+1)22n-\2〃+1

=>T„=b[+b2+幺+…+矶।+》”

1/1、1AL1J1、1sI.11

―(_-T)+~(T~T)+—(7~+'-------1+-I-------------

2132352572n-l22/t-l2/J+I

(3)错位相减法：形如“%=等差x等比”的形式可用错位相减法

例9：设数列满足q=2,“向-4=3・2”.

(1)求数列｛%｝的通项公式:

(2)令求数列｛2｝的前”项和，.

解：(I)已知q=2q+|-册=3-2”，则—嵬!!孰曲JSJiJW蜡的端

a2-«i=3-2

2

a3-a2=3-2

3

«4-=3-2

册-4T=3.2”T

%+I-%=3.2”

累加后，得

a.+i=3(2+22+23+…+2”)

12(1-2”)

1-2

=-6(l-2n)=6r-6

一肺必取1.1HM

nxn

(2)由(1)知：bn=nan=6w-2--4n=3n-2-4n

Tn=hx+b2+b3+--+hn

=(3-I-2*-4-l)+(3-2-22-4-2)+(3-3-23-43)+--+(3n-2w-4?0

=3(1-2'+2-22+3-23+--+«-2n)-4(l+2+3+---+w)

记=1-2'+2-22+3-23+…+5-1)2"|+〃・2”①

2//„=l-22+2-23+3-24+---+(n-1)-2n+zi-2w+1观明例・曲端曲番比

(4)分组求和法：

例10：已知等差数列｛%｝满足q=Na2+q=8.

m

(1)若%,03Mm成等比数列，求的值：

(2)设2=册+2%,求数列｛〃｝的前〃项和S..

解：(1)已知q=202+4=8I-骞嬲题恸!»雕眸

由an=+(n—\)d»得a2+q=("i+4)+(可+3d)=2al+4J=8

=><?1+2J=4=>J=1

=>a„=al+(n-\)d=n+l.做

ffl3=4]+3d=4

=ax+(m-\)d=m+\

9、基本不等式:

①4m4(a,bwR+)②“%S["；”)(a,beR+)③岫4、:匕(a,bwA)

注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题的时候用到，有时还用于证明数列不等式。

»答题步骤：

①抄条件：先抄题目所给的条件；（但不要抄题H）

②写公式：写出要用的公式，如等差数列的通项公式或前〃项和：

③布•过程：写出运算过程；

④得结论：写出结论；（不会就一个结果）

⑤猜公式：笫二问一定不能放弃，先写出题目所给的条件，然后再写一些你认为可能考到的公式。

AoA数列题型比较难的是放缩法

题型三：空间立体几何

I、线线关系

①线线平行：（很简单，基本上不考）

②线线垂直：先证明线面垂直，从而得到线线垂宜。（常考）

方法：（力利用面与面垂直的性质，即一个平面内的一条直线垂直于两面交线必与另一平面垂直；

（”）利用线与面垂直的性质，即直线同时垂直于平面内的两条相交直线。

例11：如图，在四棱锥尸-A3CD中，底面A3C£>是ND4B=60"且边长为a的菱形，侧面尸4。是等边：角形,

且平面尸AO垂直于底面A8CQ,求证：ADA.PB.

证明：取AD的中点为G,连接PG,BG,如图所示：…一荫蝴1陵的遨明

APAD是等边：.角形=>PG_LAD①—施条件圈出来

2、线面关系

①线面平行：只需证明直线与平面内的一条直线平行即可。方法：将直线平移到平面中，得到平面内的一条直线，只需证明它们互相平行即

可。一般要用平行四边形或三角形中位线的性质证明。（最常考，一定要掌握鸭）

②线面垂直：只需证明直线与平面内的两条相交直线都互相垂直即可。（最常考，一定要掌握鸭）

方法：（i）利用面与面垂直的性质：

（H）直线同时垂直于平面内的两条相交直线。

例⑵如图所示，在长方体ABCD-ABC1D1中,AAi=AD=a，AB=2a.E、F分别为GDi、A1D1的中点,

（1）求证：DE_L平面BCE；

(2)求证：AF〃平面BDE.

证明：(1)已知AAi=AD=a,AB=2a,E为CiDi的中点

:.DE=EC=6a=DE2+EC2=CD2

DELEC①

M

又:BCL面CDQG=>BC1.DE②

AC,ECu面86,且8CcEC=C

而（Z面BCEnOE_L面8（无

（2）连接EF,连接AC交BD于点M如图所示：

E哩AG

-AM=-AC^>EFHAMn四边形4MEF为平行四边形

2=

3、面面关系

①面面平行：只需证明第一个平面的两条相交直线与第二个平面的两条相交直线互相平行即可（很少考哦）。

②面面垂直：只需证明有一条直线垂直于一个平面，而这条直线又恰好在另外一个平面内即可。（常考）

例13：如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB_L平面ABC,△VAB为等边三角形，AC1BC£LAC=BC,O,

M分别为AB.VA的中点.求证：平面MOCJ•平面VAB.

证明：已知面VAB面ABC

^C=BC=>C01

介答题模板:

①作辅助：需要作辅助线的•定要在图中作出辅助线，如取AB的中点为E;

②有说明：需要在图上连线时一定要有说明，如连接48两点如图所示：

③抄条件：写出证明过程，并将条件圈出：

④再说明：说明线与面的关系，如A8u面A8C，而即（2面ABC：

⑤得结论：得出结论，证毕；

⑥写多分：笫二问不要不写，能写多少写多少，哪怕是抄题目的条件。

文科常学锥体体积公式：％体=；5〃

理科常考二面角的余弦值：cosa=」与其中n和前为两个平面的法向量

IM丽I

点到平面的距离公式（理科）：设平面的法向成为万.A为该平面内任意一点，则点P到平面的距隔为：d=-AP，11

1«1

八6总之第二问一定要多写，多写多得分

例14：（2018全国II卷文）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,且N8AP=NCDP=90°.

（1）证明：平面PAB_L平面PAD：

（2）若PA=PD=AB=DC,乙针。=90。，且四棱锥P-ABCD的体积为g,求该四棱锥的侧面积.

证明：(1)•.•N8AP=/a)P=90°FE%出■目的日知黑仲

[CD1PD

又ABHEnA8_LPDFE棚E明蝴MHH出东

AP,PDu面PARElAOcPD=D

而A8(Z面P4£)

一M嚣哪㈱螂班a献羸

=>A8J.而P4。

又•••ABu面PA8=ihiPABLltliPAD.

(2)过P点作PM，A。，垂足为点M,如图所示：if触翻蛾T婴萧奥明

48_1,面尸4)=>?15_1乃必③

,:PMA.AD④

=>PM上lliiAffCD

设AB=a>则AD=PM=a

2

海眼出蹦嬲叫涮翱幽翻幽

.■.V,,.ABCD=LSI,=L.ABADPM=#fiI

rh0iS»HT4ii.2n

题型四：概率与统计

I、茎叶图

①平均数：天=,（X[+不＞+*3+…+X”）

n-'

②极差=最大值-最小值注：极差越小，数据越集中

2222

③方差：5=l[（X.-X）+（X2-X）+-+（A„-X）]注：方差越小，数据波动越小，越稳定

④标准差：S=川4（所一工）2+（々一工）2+…+（/-5丹

例16：（2018全国III卷理）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的

生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。第•组工人用

第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如

下茎叶图：

第•种生产方式第二种生产方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，小并将完成生产任务所需时间超过胆和不超过m的工人

新ifi入下面的利雅去.

超过m不超过桁

第一章生产方式

第二章生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

______n(ad-bc)2______

(a+h)(c+d)(a+(.)(/?+4)

0.0500.0100.001

P[K2>k)

k3.8416.63510.828

解：（1）工作效率的高低看两种生产方式的平均工作时间，分别为，

第一种生产方式：X,=—x（68+72+76+--+92）=84（inin）

20

第二种生产方式：X,=—x（65+65+66+--+90）=74.7（min）

~20

由孙〈工可知第二种生产方式的平均工作时间较低，因此第二种生产方式效率更高.

2、频率分布直方图

①众数：最高小长方形的中间值

②中位数：小长方形面积之和为0.5的值

③频率=概率=组距x舞=小长方形的面积

缈巨

④所有小长方形的面积之和等于1

⑤平均数：每个小长方形的中间值x相应小长方形的面积，然后将所得的数相加

例17：（2019全国山卷文）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机

分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的

溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试

验数据分析得到如下直方图a

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中a,b的值：

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）.

解：（1）频率分布直方图的小矩形面积表示概率.

由题意，得

“+0.20+0.15=0.70=>«=0.35

根据“各小矩形的面积之和等于1”，得

0.05+/H-0.15+035+0.20+0.15=I=^=0.10

m相展平的俏的步俎

3、线性回归方程

b答题模板：

（1）设方程：先假设回归方程为a=3x+4；

（2）抄公式：写出公式3---------,a=y-bx（不管题目有没有给，都要写出来哦Ao~

力才-成2

i=l

（3）求各值：求出①工=’（8+与+与+…+%），②》=,（»+）'2+y3+…+%）……没时间计算就把式子列出来

n'n

③史&X=­+x2y2+x3y3+--+xZIy,I,④，，/=—+―+>+…+x：...没时间计算就把式子列出来

j=i短1"

（4）得儿：代入公式求出3和4；

（5）写方程：写出回归方程；

（6）写多分：第二问也不难，•股给你x让你估计），的值，直接带公式OK!W

"i=-x(1+2+3+4+5+6+7)=3.86

7

予=gx(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.30

£'戊=1x2.9+2x3.3+3x3.6+4x4.4+5x4.8+6x5.2+7x5.9=134.4

<=!

^£/,2=12+22+32+42+52+62+72=140

i=i

134.4-7x3.86x4.3018.2140

=0.51.a=y-bi=4.30-0.51x3.86=2.33

一I40-7x3.862-35.7028

故线性回归方程为：§，=0.5If+2.33.

rHI«llMfc'irJA"..Jai.2•，h**总国1.Ui&kiMr\曰，右ya古"，

题型五：圆锥曲线

I、椭圆(以焦点在X轴上的为例)

①定义：/再+尸5=加⑥准线：*=±巴•

C

2/,2

②标准方程：4+4=i⑦通径：|人目二至-

a2b2a

③离心率：e=—⑧长轴长：同闯=2。

a

④固定关系：⑨短轴长：国闻=劝

⑤焦距：\F}F2\=2C

例20：(2018北京卷文)已知椭圆M:£+W=l(a>6>0)的离心率为诬，焦距为2正，斜率为A的直线/

a-b-3

与椭圆M有不同的交点A,B.

(1)求椭圆M的方程s

(2)若Q1,求|AB|的最大值：

(3)设PL2。)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若CD和

0(—(,；)共线，求此

解：(1)已知椭圆的标准方程为£■+£=]

制成的

a2b2-trASK

e=：=4.|居引=2c=2近

RE分甯公如嘴SHI

=>c=V2,a=VJ

va2=b2+c2=>b=JM_。2_j霸皴值

故椭圆的方程为m+，'2=1-

(2)由题意，设AB所在的直线方程为,v=U+/?,A(A-1,V)),BQ*%)，则*****136娶假遨胡近88方遇

y=x+b

=>4x2+6bx+3b2-3=0

b3bc3b2-3

西+均=--=--xlx2=_=--

A=Z>2-4«C=(6Z>)2-4-4(3Z>2-3)=-12Z>2+48>0=>0^/>2<4

IA6|=Jl+M•J*|+/)2-4X]%2=V2-^(--y)2-4-'"43=J_,2+6帆

因此当且仅当/=0即b=0时，|48|的值最大，K|^max=V6.

⑶设a-=悬=六推如点吸曝出蝴

•・PA所在的直线方程为：y-0=%(x+2)=»y=U-a+2)

司+2

y=-A7a+2)

X,+2

n3(x+2)2y；+(x,+2)2(x2-3)=02幅直触端睢也m

x221

—+y=1

、3

耳+121

4X1+7'4.q+7

同理可得'人第学号）

又：。、C、。在同一直线上，因此

4\-744%+74

7x.+127~74,+127

-------------------1.-----------------4—

4司+744x2+74

⑥渐进线：¥=±二1

①定义：\PF.-PF2\=2a

②标准方程:⑦通径：|4B|=—

③离心率:⑧实轴长：|A4|=2a

④固定关系：⑨虚轴长：国闻=»

⑤焦距：|片段="

例21：已知C：鼻-3=力＞0）的两个焦点好（一2,0）、心（2,0）,点4（3,近）在双曲线上.

（1）求双曲线C的方程：

（2）记O为坐标原点，过点Q（0,2）的直线/与双曲线C交于不同的两点E,F,若A£O尸的面枳为2拒，求

直线/的方程.

解：（1）已知双曲线的标准方程为4-卓=1，则期■®幽领的嬲喻F

由题意得，c=2,点A（3,V7）在双曲线上=与-"J1

a*2h2

vc2=『+/=4=『+从ez蒯出如》的圆®

（2）设直线/的方程为y-0=k（x-2）,KPy=kx+2^则旗孙升青用孙力）

y=kx+2

=(1_女2*_4&6=0

22

b4kc-6

=8+XL/匚尸’.二厂中

^^b2-4ac=(-4k)2-4(\-k2)(-6)=\6k2+24(\-k2)>0

=>k2<3且产区］=>Aw(一石,-1)5-11)51,扬

1+By+C\|0+0+2|_2

点O到直线EF的距离为：d=0地甯盘公或再翻魁K

>IA2+B2J\+k271+k2

|EF\=Jl+/•+叼)2―4项上

4k-6

-4

3、抛物线（以开口向右的为例）

①标准方程：V=2px

②焦点坐标：F（2,0）

2

③准线方程：x=-R

2

④定义：平面内到一个定点与到定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.（常考,

很重要的哦Ao0

⑤通径：过焦点尸且垂直于x轴的直线与抛物线相交于4,B两点,则|Afi|=2p.

⑥过焦点的弦长：|CQ|=x+X2+p演，与分别为。。两点的横坐标

例22：（2017年全国H卷文）设A,B为曲线C：），=《•上两点，A与B的横坐标之和为4.

4

（1）求直线AB的斜率：

（2）设M为曲线C上•点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM1BM,求直线AB的方程.

解：（1）设AB所在直线方程为产U+b,八（西,力），B（x2,y2）＞则

2222

x=>x-4x-4m=0=^A=b-4ac=(-4)-4-l(-4?z»)=0=>/M=-1

即该直线方程为产kl.且M(2,l)

由①式得，X,+x2=4.xtx2=-4b

A=b2-4ac=(-4)2-41(-4/>)>0=>Z>>-l

AM=(2-^|,l-j|),5Af=(2-A-2.l-y2)

AMJ.BM=而•丽=0=>(2-匹