考研数学公式大全

高等数学公式篇

平方关系：•两角和与差的三角函数：

sinA2(a)+cosA2(a)=lcos(a+p)=cosa-cosp-sinasinp

tanA2(a)+l=secA2(a)cos(a-p)=cosacosp+sinasinp

cotA2(a)+l=cscA2(a)sin(a±p)=sina-cosp±cosasinp

•积的关系：tan(a+P)=(tana+tan[5)/(1-tana-tanp)

sina=tana*cosatan(a-p)=(tana-tanp)/(l+tana-tanp)

cosa=cota*sina•三角和的三角函数：

tana=sina*secasin(a+p+y)=sina-cosp-cosY+cosa-sinp<osY

cota=cosa*csca4-cosacosPsiny-sinasinPsinY

seca=tana*cscacos(a+0+丫)=cosacospcosy-cosasinp-siny

csca=seca*cota-sinacosp-siny-sina-sinpcosy

・倒数关系：tan(a+p+Y)=(tana+tanp+tanY-tanatanptan

tanacota=lY)/(l-tana-tanp-tanp-tanY-tanvtana)

sina-csca=l・辅助角公式：

cosaseca=lAsina+Bcosa=(AA2+BA2)A(l/2)sin(a+t),其中

直角三角形ABC中，sint=B/(AA2+BA2)A(l/2)

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，cost=A/(AA2+BA2)A(l/2)

余弦等于角A的邻边比斜边tant=B/A

AAA

正切等于对边比邻边，Asina+Bcosa=(A2+B2)(l/2)cos(a-t)r

tant=A/B

・三角函数恒等变形公式•倍角公式：

sin(2a)=2sina-cosa=2/(tana+cota)sina-cosp=(l/2)[sin(a+p)+sin(a-p)]

cos(2cosa-sinp=(l/2)[sin(a+p)-sin(a-p)]

a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-l=l-2sinAcosa-cosp=(l/2)[cos(a+p)+cos(a-p)]

2(a)sina-sinp=-(l/2)[cos(a+p)-cos(a-p)]

tan(2a)=2tana/[l-tanA2(a)],和差化积公式：

•三倍角公式：sina+sinp=2sin[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

sin(3a)=3sina-4sinA3(a)sina-sin[J=2cos[(a+P)/2]sin[(a-p)/2]

cos(3a)=4cosA3(a)-3cosacosa+cosp=2cos[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

•半角公式：cosa-cosp=-2sin[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

sin(a/2)=±V((l-cosa)/2)•推导公式

cos(a/2)=±V((l+cosa)/2)tana+cota=2/sin2a

tan(a/2)=±V((l-cosa)/(l+cosa))=sina/(l+costana-cota=-2cot2a

a)=(l-cosa)/sinal+cos2a=2cosA2a

A

・降幕公式l-cos2a=2sin2a

sinA2(a)=(l-cos(2a))/2=versin(2a)/2l+sina=(sina/2+cosa/2)A2

cosA2(a)=(l+cos(2a))/2=covers(2a)/2•其他：

tanA2(a)=(l-cos(2a))/(l+cos(2a))sina+sin(a+2ji/n)+sin(a+2ii*2/n)+sin(a+2Tl

•万能公式：*3/n)+.....+sin[a+2n*(n-l)/n]=0

sina=2tan(a/2)/[l+tanA2(a/2)]cosa+cos(a+2Tr/n)+cos(a+2TT*2/n)+cos(a+2

cosa=[l-tanA2(a/2)]/[l+tanA2(a/2)]TT*3/n)+.....+cos[a+2n*(n-l)/n]=0以及

tana=2tan(a/2)/[l-tanA2(a/2)]sinA2(a)+sinA2(a-2Ti/3)+sinA2(a4-2Ti/3)=3/2

积蟀差公式:tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O

三角函数的角度换算

公式四：

公式一：利用公式二和公式三可以得到Ti-a与a的三角函数

设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值值之间的关系：

相等：sin(n-a)=sinacos(TI-a)

sin(2kn+a)=sina=-cosatan(TT-a)=-tana

cos(2kn+a)=cosacot(n-a)=-cota

tan(2kn+a)=tana

cot(2kn+a)=cota公式五：

公式二：利用公式一和公式三可以得到2Tly与a的三角函

设a为例角,n+a的三角函数值与a的三角函数值数值之间的关系：

之间的关系：sin(2n-a)=-sina

sin(n+a)=-sinacos(2TT-a)=cosa

cos(n+a)="cosatan(2TI-a)=-tana

tan(Ti+a)=tanacot(2TT-a)=-cota

cot(n+a)=cota公式六：

公式三：n/2±c(及3Ti/2±a与a的三角函数值之间的关系：

任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin(-a)sin(Ti/2+a)=cosa

=-sinacos(TT/2+a)="sina

cos(-a)=cosatantan(n/2+a)="cota

(-a)=-tanacotcot(n/2+a)=-tana

(-a)=-cota

sin(n/2-a)=cosatanx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]

cos(n/2-a)=sinatan泰勒展开有无穷级数，eAz=exp(z)=l+z/l!+

(TT/2-a)=cotacotzA2/2!+zA3/3!+zA4/4!+...+zAn/n!+...

(n/2-a)=tanasin此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

(3TI/2+a)=-cosa•三角函数作为微分方程的解：

cos(3TT/2+a)=sina对于微分方程组y=-y";y=y"",有通解Q,可证明

tan(3n/2+a)=-cotaQ=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角

cot(3TI/2+a)=-tana函数。

sin(3TT/2-a)=-cosa补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的

cos(3TT/2-a)=-sina函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似

tan(3TT/2-a)=cota的性质，二者相映成趣。

cot(3Ti/2-a)=tana特殊三角函数值

(以上kwZ)aO'30'45'60'90'

部分高等内容

sina01/2V2/2V3/21

•高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易

cosa1V3/2V2/21/20

得)：

tana0V3/31V3None

sinx=[eA(ix)-eA(-ix)]/(2i)

cotaNoneV31V3/30

cosx=[eA(ix)+eA(-ix)]/2

(，gx)'=sec2x(arcsinx)"-(

\!1-X2

1

{ctgX}=-CSC2X，V1

(secx)'=sec*gx(arccos%)=-,

\/1—X2

(cscx)'=-cscx・cfgx

「V1

(arctgx)=--------

(ar)'=a.x\na1+X2

X=

(logY--------[arcctg^-----

axyna1+X2

\tgxdx=-Jsec2xdx=tgx+C

-lr|cos"Cdx

.、ctgxdx=Irjsink+C

=fCSC2xdx=-ctgx+C

dx

secx办=ln|Secx+/g[+C•sm2j

r

Jcscxdx=ln|cscx-c次耳+C*secx•tgxdx=secx+C

j公1X.,cscx•ctgxdx=-cscx+C

=nrrto+「a-

axdx=+C

。2+%2qa«X

jdx=Inx-aIna

+C

X2-Q22a%+a

tshxdx=chx+C

jdxchxdx=shx4-C

£i-+r・

“a2-X2_2aa-x

_=arcsiiV+Cdx==ln(x+J%2±Q2)+C

Ja2—尤2aJ%2±〃2

〃xdx=1cos〃xdx-"-11

n〃一2

0

dx-jJx2+〃2*_^ln(x+Jx2+&2)+C

—。2+C

J12一尤2公=.+c

arcsm—T

a

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

.2〃1—U2.

sinx=COSx=5,(ix=

l+〃21+〃21+〃2

一些初等函数:两个重要极限:

1.sinx1

双曲正弦:①x=±二匕lim=1

2xf0X

ex+e-x1

双曲余弦:c/tr=-------lim(l+_)r=e=2.718281828459045...

2Xf3cX

双曲正切:机r=$/优一&一八

chxex+e-x

arslu=ln(x+JX2+1)

=±ln(x+Vx2-l)

artlu=

21-x

三角函数公式:

•诱导公式：

、函数

sincostgctg

角

-a-sincos-tg-ctg

aaaa

90°-aCOSsinactgtga

aa

90°+acos-sin-ctg-tg

aaaa

180°-asina-cos-tg-ctg

aaa

180°+a-sin-costgactg

aaa

270°-a-cos-sinctgtga

aaa

2700+a-cossina-ctg-tg

aaa

360°-a-sincos-tg-ctg

aaaa

360°+asinacostgactg

aa

..oc,a+pa-B

sin(a±p)=sinacosp±cosasinpsina+smp=2sin__g_co2

cos(a±p)=cosacosp(isinasinp

sina-sinP^2cosa+^.a-p

tga土邸sm____

/g(a±P)=-------------_

Ro(Apc?-p

Wgargpcosa+cosp=2coscos

2

c3a±B)=

吟等㈣cosa-cosB=2si匕.a-p

ctgy)±ctgctsin___

~2~~2~

•和差角公式：•和差化积公式：

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a-sin2asin3a=3sina-4sir)3a

cctg2a-1cos3a=4COS3a-3cosa

ctg2a=-.........

2ctga3/ga—tg3a

fg3a

2tga1-3rg2a

fg2a=

17g2a

•半角公式:

a

sin|1-cosaCOS=±"cosa

2V22\2

a-cosa1-cosasinaa|1+C0S0t1+cosasina

tg=+1-ctg=+1-

2V1+cosasina1+cosa2V1-cosasina1-cosa

•正弦定理：&二b_c

=2R・余弦定理：C2=Q2+〃2-2a/7cosc

sinAsin8sinC

兀.it

•反三角函数性质:arcsinx=_-arccosxarctgx^_-arcctgx

22

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式：

(MV)(«)=X'CkU(n-k)V(k)

n

k=0

-u(»)v+nu(n-1)v'+〃("1)〃("-2”，+A+1)A("*+1)u(n_k]v{k)+A+uvw

2!k\

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)-/(a)=/也)(b-a)

,a-f⑸—f⑷(化)

柯西中值7E理:_________=_____

F(b)-F(a)F©

当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds=JlXyTdx,其中y'=tga

平均曲率：度=仅\,01：从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量;

：MM弧长。

△*

M点的曲率：K=limA(X

As-M)&dsJ(l+y'2)3

直线：K=0;

半径为a的圆：K=L

a

9定积分的近似计算：

矩形法+y+A+y)

n01n-l

“b-a1

梯形法:ff(x)~----[-(>,+y)+y+A+y]

〃20"1〃T

a

抛物线法:ff(x)H"3(y+y)+2(y+y+A+y)+4(y+y

+y)]

3〃0n24n-213n-1

a

定积分应用相关公式：

功：W=Fs

水压力：F=p.A

mm

引力:尸=%人为引力系数

r2

函数的平均值：y=」一ff(x)dx

b-a

a

均方根：⑺力

\b-a

n

空间解析几何和向量代数:

空间2点的距禺：d=MM|=4-(^-^)24-(Z2-zp2

向量在轴上的投影:PrjAB=\AB・cos(p尸是A月与〃轴的夹角。

mmm"8I

Pr/(Q+a)=Prja+Prja

讯M=|司.网3030=ab+ab+ab，是一个数量,

ab+ab+ab

两向量之间的夹角:COS0=―：上:f-，上•二二，

a2+a2+〃2.[b2+b24-/72

k7*yz■xyz

cij

GJ8BEB8GJGJXU

c=axb=aaaJc|=同・,|sin。.例：线速度：v=wxr.

xy

bbb

aExBE8aa为锐角时,

y

向量的混合积：abc]=\ab)cb[LIcOS,

c

代表平行六面体的体积。

平面的方程:

1、点法式：A(x-x)+3(＞一4)+C(z-彳)=0,其中7盘={4,5,0),"0(工0,〃z)

2、t般方程：Ar+3y+Cz+O=0

XVZ

3、截距世方程::+_=1

abc

IAx+By+Cz+D\

平面外任意一点到该平面的距离：d=~=以'=^

«A2+B2+C2

b|fx=+mt

X—xy-yz-z

空间直线的方程:_a.0___Q_=匕其中s={w,p}渗数方程：＜y=y+nt

mnpI0

\Z=Z4-pt

l0

二次曲面：

JX2V2Z2

1、椭球面:一-+__+_.=1

C12b2C2

X2y2

、抛物面:k^+k^z/pM同号)

2P2q

3、双曲面：

_X2y2Z2

单叶双曲面:__+______=1

a2。2C2

X2y2Z2

双叶双曲面:-+一=1(马鞍面)

。2。2C2

多元函数微分法及应用

全微分：dz=z孤+也dydu=Sujdu.du.

uu_公+_dy+_dz

dxdy~dx~dy'dz

全微分的近似计算：Az®Jz=/(x,y)Ax+/(x,>>)Ay

多元复合函数的求导法：

dzdzdudzdv

z=/["⑺,M3—•+,___

dtdudtdvdt

dz____dz_du___dzdv

z=f[u[x,y),v(x,y)]

dxdudxdvdx

当〃=w(x,y),v=v(x,y)时,

dududvdv

du=-dx4-—dydv=—cbc+—dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式:

dyd2ydFdFdy

隐函数尸(x,y)=O,_=(j+(一)•

dxdx2dxFdyFdx

yy

dz

隐函数dzF

b(x,y,z)=O,——=——

F②F

隐函数方程组y(…g=°,尸,G)_信尊

A

^GG

5(z

而

生-a-v-

\

^

axax/

”

1断©

aw

一-G)a¥v=-7

w电

分M

a(

微分法在几何上的应用:

空间曲线’$3幽在点M(x,y,

Z)x-

处的切线方程一二之一y_y0=[二勺

00000)卬TC'

z=co(r)

在点M处的法平面方程：<p'〃)(x-x)+V)(y->')+(o'(C(z-z)=0

000000

若空间曲线方程为d，则切向量/“那鼻

曲面尸(再y,z)=0上一点M(知为,Z。)，则：

1、过此点的法向量：n={F(x,y,z),F(x,y,z),F(x,y,z)}

A000y000z000

2、过此点的切平面方程:F(x,y,z)(x-x)+F(x,y,z)(y-y)+F(x,y,z)(z-z)=0

X0000>'0000z0000

3,过此点的法线方程：x—3—y—4—z—z.

F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)

R000y000z000

方向导数与梯度：

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)dfdfCOS(p+<;^sin(p

沿任一方向/的方向导数为:一=——

dldxSy

其中(P为x轴到方向/的转角。

函数z=/(九,y)在一点p(x,y)的梯度：grad/(x,=

i+j

Qrdxdyb

它与方向导数的关系是:—=grad/(x,y)其中3=cos(p.i+sintp•月为/方向上的

dl

单位向量。

需是grad/(%y)在/上的投影。

多元函数的极值及其求法：

设/(x，))=/(x，y)=0，令：/(x,y)=A,/(x,y)=8,/(x,y)=C

00y0r0xx,0,0X>'00yy00

“D用jA<O,(x,y)为极大值

AC-82〉0时,〈oo

[A>0,(xy)为极小值

则:AC-82<0时，无极值

AC—32=0时，不确定

重积分及其应用：

If/(x,y)dxdy=fff(rCOS0,rsir\Q)rdrdQ

DD'

曲面z=/(x,y)的面积A=dy1dxdy

_n^p(x,y)do

M产,而

平面薄片的重心：XJJ*y)

JJp(x,y)do

p(x,y)do

平面薄片的转动惯量：对于x轴/=JJy2p(x,y)dcr,对于y轴/=JJx2p(x,y)do

xy

DD

平面薄片(位于x"平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力:F={F,F,F},其中:

xy2

F=JJP(x,.F=/JJP(x,y)ydb.F=p(x,y)xdo

X_y3ZT

D(X2+产+42)§D(X2+产+。2)2D(X2+了2+。2)2

柱面坐标和球面坐标：

^x=rCOS0

JU/(x,y,z)dxdydz=IffF(r,0,z)rdrdBdz,

柱面坐标：<y=rsin0,

z=zc

其中:F(r,0,z)=/(rCOS0,rsin0,z)

[x=rsin(pcos0

球面坐标，y=rsin(psin仇dv=rd(p-rsin(pt/0-dr-nsin(pJr^/(pJ0

[z=rcos(p

JH/(^z)dxdydz=IffF(/*,(p,0)r2sir\^)drd(pdQ=f6/0fd(p(ff(r,(p,0)r2sin(p6Zr

。01ooo

重心：为=LJILpd%7=J_JJJypdv,3=J_JJJzp小,其中M=x=JBpdv

MaMnMoQ

转动惯量：I=JJJ(y2+Z2)pdv,I=JJJ(X2+Z2)pdv,l=JJJ(X2+y2)pdv

xy

QQ

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分,三①⑺

设^乂“在心上连续，L的参数方程为：〈(a<z<p),WJ：

[y=w⑺

x=t

J/(x,y)ds=J/[<p(O，V(/)]丫即'2")+4'2”)力(a<p)特殊情况：〈

=(p⑺

L

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：

fX=(p(z)

设L的参数方程为〈，\，则：

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=f{P[(P“),W⑺W⑺+。[年(。"(，)W'。)}小

La

两类曲线积分之间的关系JPdx+Qdy=J(PCOSa+Qcos0)ds,其中。和p分别为

L上积分起止点处切向量.方向角。

格林公式:JJ(艺-"P'dxdy=jP力:+Qdy格林公式JJ('°-"Jdxdy=[pdx+Qdy

ddxdylddxdy乙

当p=_y,Q=x,即:gg-竺=2时,得到。的面积：A=J«Lxdy=：!xdy-ydx

17Sy2v

•平面上曲线积分与路径无关的条件：0'

1、G是一个单连通区域；

2、P[x,y),。(演刃在G内具有一阶连续偏导数，且竺=竺。注意奇点，如(0,0),应

dxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

•二元函数的全微分求积：

在竺=”时，尸今+Q办才是二元函数〃(x,y)的全微分，其中：

dxdy

(y)、、

u(x,y)=,P(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设X=y=0。

00

曲面积分：

对面积的曲面积分JJ/(x,y,z)4s=JJf[x,y,z(x,1+z2(x,y)+z2(j,y)dxdy

对坐标的曲面积分JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

ifR(x,y,z)dxdy=±jjR[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号；

工D

〕Jp(x,y,z)dydz=±JJp[x(y,z),y,zjdydz,取曲面的前侧时取正号；

Q(x,y,z)dzdx-±JfQ[x,y(z,x),z]dzcbc,取曲面的右侧时取正号。

两类曲面积分之间的关系JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=ff(Pcosa+QcosP+Rcosy)ds

高斯公式：

。+

JJJ("+A)dv=Pclydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosa+QcosP+Rcosy)ds

dxdydz

QZ

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：divv%ap6。+3R,即：单位体积内所产生的流体质量，若div，，0,则为消失…

dxdydz

通量：A-nds=WAds=JJ(PCOSa+QCOSP4-7?COSY)ds,

篇斯公式又I]"写成Mdiv=口Ads

因此,

L

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

JJ(吃-空.z+ddRdP)dxdy无JPdx+Qdy+Rdz

)dzdx+4_

dydzdzdxdx~3y

r

rdydzdzdxdxdycosacospcosy

上式左端又可写成JJdddd8d

dxdydzdxdydz

PQR2PQR

dRdQdPdRdQdP

空间曲线积分与路径无关的条件：2-=不一，不一=°

dydzdzdxdxoy

ijk

GJsal

旋度：rot4=布

尸a;az

。R

向量场A沿有向闭曲线「的环流量为P公+Qdy+RdzAA,ids

rr

常数顶级数：

等比数歹U：1+g+<72+A+W-1=-~—

1-q

等差数列：I+2+3+A+〃=("+1)”

2

调和级数：1+1+1+A+1是发散的

23n

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法)：

P<1时，级数收敛

设：p=lim.不则p>l时，级数发散

18"P=1时，不确定

2、比值审敛法：

[p<l时，级数收敛

设:p=limJ,则伊〉1时，级数发散

­，，p=l时，不确定

3、定义法：

s=〃+〃+A+u;lims存在，则收敛；否则发散。

交错级数«—u+A(或-〃+A,u>0)的审敛法一一莱布尼兹定理:

12f〃4123n

如果交错级数满足"'"向，那么级数收敛且其和S4〃，其余项r的绝对值「仔"o

|limM=0।„LJ"+i

绝对收敛与条件收敛：

(J)u+u+A+M+A,其中〃为任意实数；

12nn

(2)|+|w|+\u|+A+|+A

I23n

如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。

调和级数:发散，而Z(—D”收敛;

nn

娥收敛；

m

°缎fcZ2/P〈I时发散

np\p>l时收敛

幕级数：

/|x|<1时，收敛于一■—

1+X+X2+X3+A+Xn+A[*\—X

\,竹白1时，发散

对于级数(3)a+ax+axi+X+ax“+A,如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

012n

,/|x|<R时收敛

数轴上都收敛，则必存在R,使时发散，其中R称为收敛半径。

串=R时不定

/pwO时，R，

/P

求收敛半径的方法：设lim±^=p,其中a,a，是⑶的系数，则jp=0时，R=+s

"->80”"+i\

"\P=+8时，火=0

函数展开成幕级数：

/'(X)/(")(x)

函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x)(尤-x)+---0_(尤-x)2+A+------a_(x-x>+A

oo2!on!。

余项：R[)，f/(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR=0

〃5+1)!0…"

/'(0)")(0)

X=0时即为麦克劳林公式：/(X)=/(0)+/'(0)%+_____X2+A+______xn+A

02!—~

一些函数展开成幕级数：

〃2(〃2-1)m(m-1)AQn-n+1)

(1+x)m=1+如+x2+A+Xn+A(-1<x<1)

X3X5X2n-\

sinx=x--+--A-------+A(-oo<x<-Ko)

3!5!(2n-l)!

欧拉公式：

eix+e-ix

cosx=-------

=cosxeixe

sinx=—e-ix

2

三角级数：

%)=A+2Asin5①，+(p)=鼠+工(。cosztr+/?sinnx)

0n”2〃«

«=1〃=1

其中，a=aA,a=Asin(p,b=ACOS(p,(f)t=xo

00z,nnnnn

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xAsinnx,cosnxA任意两个不同项的乘积在［-兀，兀］

上的积分=0。

傅立叶级数：

/W=%+£(aCOSnx+bsinnx),周期=2兀

2nn

,w=1

=ff(x)COSnxdx

a(〃=0,1,2A)

n

其中＜

1If

b=Jf［x)S\r\tzxdx=