数学（选修12）课件513514演绎推理；合情推理与演绎推理的关系

第5章推理与证明5．1

合情推理与演绎推理演绎推理5．1.4合情推理与演绎推理的关系1．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式．2．能运用演绎推理进行一些简单推理．3．掌握合情推理和演绎推理的联系和差异．4．了解合情推理和演绎推理在数学发现中的作用．一、阅读教材演绎推理，完成下列问题1．演绎推理(1)含义：从________到________的推理．(2)主要形式：由__________、__________推出__________的三段论式推理，其常用的一种格式：M－P(M是P)____________________S－P(S是P)一般特殊大前提小前提结论S－M(S是M)此格式中包含三个判断：①第一个判断称为_________，它提供了一个_________的事实或道理．②第二个判断称为_________，它指出了一个_________情况．③这两个判断联合起来揭示了_________事实或道理和_________情况的内在联系，从而产生了第三个判断——_________.大前提一般小前提特殊一般特殊结论“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于(

)A．演绎推理 B．类比推理C．合情推理 D．归纳推理答案：A二、阅读教材合情推理与演绎推理的关系，完成下列问题2．合情推理与演绎推理的关系在探索自然规律时，主要靠____________去探索，而对得到的结论正确与否，则需要用____________来证明．合情推理演绎推理如图，你能在直线l上找一点P，使|PM|－|PN|最小吗？请证明你的结论．证明：∵|PM|＝|PM′|，∴|PN|－|PM′|＝|M′N|.在l上任取一点Q(与P不重合)，连接QM，QM′，QN.则|QM|－|QN|＝|QM′|－|QN|＜|M′N|.∴|PN|－|PM′|最大，即|PM|－|PN|最小．对三段论的理解

将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；(3)函数y＝2x＋5的图象是一条直线．解(1)平行四边形的对角线互相平分， (大前提)菱形是平行四边形， (小前提)菱形的对角线互相平分． (结论)(2)等腰三角形的两底角相等， (大前提)∠A，∠B是等腰三角形的底角， (小前提)∠A＝∠B． (结论)(3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线， (大前提)函数y＝2x＋5是一次函数， (小前提)函数y＝2x＋5的图象是一条直线． (结论)【点评】三段论由大前提、小前提和结论组成；大前提提供一般性道理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的．解(1)推理形式是正确的，但大前提是错误的．因为对数函数y＝logax的单调性与底数a的取值有关：若0＜a＜1，则y＝logax为减函数；若a＞1，则y＝logax为增函数．所以结论是错误的．(2)推理形式是正确的，但小前提是错误的．因为若A，B，C三点共线，则可确定无数个平面，只有不共线的三点才满足题意，所以推理的结论是错误的．(3)推理形式是错误的，因为演绎推理是从一般到特殊的推理，而铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，此推理是特殊到特殊的推理．但金能导电，所以推理的结论是正确的．用三段论证明几何问题

如图，在四棱锥P_ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAD．(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.图(1)图(2)又∵AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，∴CF∥平面PAD．∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA．又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD．∵CF∩EF＝F，∴平面CEF∥平面PAD．又∵CE⊂平面CEF，∴CE∥平面PAD．(2)证明：∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA．又∵AB⊥PA，∴AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又∵EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，∴AB⊥平面EFG.又∵M，N分别为PD，PC的中点，∴MN∥DC．又∵AB∥DC，∴MN∥AB．∴MN⊥平面EFG.又∵MN⊂平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.【点评】在几何证明题中，每一步实际上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提．把一般性原理用于特殊情况，就可得到结论．2．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.(1)求证：A1B⊥AD．(2)求证：EC∥平面AB1D．证明：(1)如图，连接A1D，DG，BD．∵三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，∴四边形A1ABB1为正方形．∴A1B⊥AB1.∵D是C1C的中点，∴△A1C1D≌△BCD．∴A1D＝BD．∵G为A1B的中点，∴A1B⊥DG.又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D．又∵AD⊂平面AB1D，∴A1B⊥AD．

已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若“当x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1，有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立”，则称f(x)为“友谊函数”．(1)若已知f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值．(2)证明函数g(x)＝2x－1在区间[0,1]上是“友谊函数”．用三段论证明代数问题

(1)解取x1＝x2＝0，得f(0)≥f(0)＋f(0)．由f(0)≥0，得f(0)＝0.(2)证明：显然g(x)＝2x－1在[0,1]上满足①g(x)≥0；②g(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1，则有g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝(2x1－1)(2x2－1)≥0.故g(x)＝2x－1满足条件①②③.所以g(x)＝2x－1为“友谊函数”．

[互动探究]

在本例条件下，已知f(x)为“友谊函数”，且0≤x1≤x2≤1，求证：f(x1)≤f(x2)．证明：∵0≤x1≤x2≤1，∴0≤x2－x1≤1.∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)．