新教材 人教A版高中数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用 知识点及解题规律方法提炼

6.1平面向量的概念

1.向量的概念及表示

(1)概念：既有大小又有方向的量.

⑵有向线段

①定义：具有方向的线段.

②三个要素：起点、方面、长度.

③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、3为终

点的有向线段记作踵.

④长度：线段A3的长度也叫做有向线段屈的长度，记作曲1.

(3)向量的表示

■名师点拨

(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素.

(2)用有向线段表示向量时，要注意油的方向是由点A指向点3,点A是向

量的起点，点3是向量的终点.

2.向量的有关概念

(1)向量的模(长度)：向量初的大小，称为向量协的长度(或称模)，记作曲.

(2)零向量：长度为2的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

3.两个向量间的关系

(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量.若a,万是平

行向量，记作a〃》.

规定：零向量与任意向量生狂，即对任意向量a,都有0〃a.

(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量,若a,力是相等向量，记作

b.

■名师点拨

(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别.

(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同.

(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同.

典型例题1

向量的相关概念

m给出下列命题：

①若协=虎，则A,B,C,。四点是平行四边形的四个顶点；

②在口A3CD中，一定有协=病；

③若a=b,b=c,则a=c.

其中所有正确命题的序号为.

【解析】AB=DC,A,B,C,。四点可能在同一条直线上，故①不正确；

在口A3CD中，|曲|=|反|,屈与庆平行且方向相同，故蕊=病，故②正确；a

=b,则⑷=|臼，且a与〃的方向相同；b=c,则|。|=匕|,且8与c的方向相同，

则a与c长度相等且方向相同，故°=。，故③正确.

【答案】②③

网陶法回

(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件

①有大小；②有方向.两个条件缺一不可.

(2)理解零向量和单位向量应注意的问题

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；

②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.

典型例题2

向量的表示

丽在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1),用直尺和圆规画出

下列向量:

(1)04,使|雨|=4/，点A在点。北偏东45°方向上；

(2)成，使|成|=4,点3在点A正东方向上；

(3)BC,使|病|=6,点C在点3北偏东30°方向上.

【解】(1)由于点A在点。北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点

0的横向小方格数与纵向小方格数相等.又|肉|=4也，小方格的边长为1,所

以点A距点0的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A的位置可以确

定，画出向量内，如图所示.

(2)由于点3在点A正东方向上，且|成|=4,所以在坐标纸上点3距点A的

横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点3的位置可以确定，画出向量协，

如图所示.

(3)由于点C在点3北偏东30°方向上，且|反1=6,依据勾股定理可得，在

坐标纸上点C距点3的横向小方格数为3,纵向小方格数为3小心5.2,于是点C

的位置可以确定，画出向量反7,如图所示.

网陶法明

用有向线段表示向量的步骤

典型例题3

共线向量与相等向量

他网如图所示，。是正六边形A3CDER的中心，且为=a,OB=b,在每

两点所确定的向量中.

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)与a共线的向量有哪些？

【解】⑴与a的长度相等、方向相反的向量有。b,BC,AO,FE.

(2)与a共线的向量有前，BC,OD,FE,CB,DO,AD,DA,AD.

互动探究

1.［变条件、变问法］本例中若沅=c,其他条件不变，试分别写出与a,b,

c相等的向量.

解：与a相等的向量有摩，DO,CB-,与8相等的向量有比，E0,丽；与

c相等的向量有用，ED,AB.

2.［变问法］本例条件不变，与病共线的向量有哪些？

解：与量)共线的向量有律，BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,OA.

照管法商

共线向量与相等向量的判断

(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量.

(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量.

(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a,b,c为非零向量，若a//b,b//c,

则可推出a//c.

［注意］对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合

两种情况.

6.2.1向量的加法运算

1.向量加法的定义及运算法则

定义求两个向量和的运算,叫做向量的加法

前提已知非零向量a,b

在平面内任取一点A,作协=a,BC=b,再作向量

作法

三角AC

法则形法向量及?叫做a与b的和，记作a+b,

结论

则

图形

S~~*

前提已知不共线的两个向量a,b

在平面内任取一点。，以同一点。为起点的两个已

平行作法

知向量a,8为邻边作口。4c3

法四边

则形法结论对角线沆就是a与万的和

则

图形

规

对于零向量与任一向量a,我们规定a+0=止士卫=攵

定

■名师点拨

(1)两个法则的使用条件不同.

三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不

共线的向量求和.

⑵在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时

应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同.

(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.力的合成可以看

作向量加法平行四边形法则的物理模型.

2.la+臼，⑷，外之间的关系

一般地，|a+"W|a|十步当且仅当a,b方向相同时等号成立.

3.向量加法的运算律

交换律a+b=b+a

结合律(a+。)+c=a+(A+c)

典型例题1

平面向量的加法及其几何意义

例1如图，已知向量a,b,c,求作和向量a+b+c.

【解】法一：可先作a+c,再作(a+c)+①即a+Z>+c.如图,

首先在平面内任取一点。，作向量/l=a,接着作向量屈=c,

则得向量油=a+c,然后作向量反?=①

则向量反=a+Z>+c为所求.

法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作.如图，(1)在平面内任取

一点。，作为=a,OB=b;

(2)作平行四边形A03C,则沆=a+。；

(3)再作向量沆>=第

(4)作平行四边形CODE,

则无=(^+c=a+Z>+c.无即为所求.

网电法附

(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤

①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重

②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为

两个向量的和.

(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤

①平移两个不共线的向量使之共起点；

②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；

③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和.

典型例题2

平面向量的加法运算

丽化简：

(1)BC+AB；

(2)DB+cb+BC；

(3)AB+DF+CD+BC+M.

【解】⑴病+蕊=协+病=/.

(2)DB+CD+BC

=BC+CD+DB

=(BC+CD)+DB

=BZ)+D5=0.

(3)AB+DF+CD+BC+^

=AB+BC+CD+DF+FA

=AC+CD+DF+^

=AD+DF+^=AF+M=O.

网陶法胭

向量加法运算中化简的两种方法

(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，

向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.

(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简.

典型例题3

向量加法的实际应用

福⑶某人在静水中游泳，速度为4小千米/小时，他在水流速度为4千米/

小时的河中游泳.若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的

速度大小为多少？

【解】如图，设此人游泳的速度为短，水流的速度为近，以

OA,oh为邻边作口。4C3,则此人的实际速度为为+丽=沆.

由勾股定理知|反|=8,且在R/Z\AC。中，ZCOA=60°,故此

人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/

小时.

网鹤法胭

应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤

(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.

(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行

运算，解答向量问题.

⑶还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.

6.2.2向量的减法运算

1.相反向量

(1)定义：与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向差，记作一a,

并且规定，零向量的相反向量仍是零向量.

(2)结论

①一(一<1)=今a+(-a)=(-a)+«=0；

②如果a与方互为相反向量，那么4=二^,b=-a,a+Z>=0.

■名师点拨

相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向

量必为平行向量.

2.向量的减法

(1)向量a加上〃的相反向量，叫做a与〃的差，即求两个

向量差的运算叫做向量的减法.

(2)作法：在平面内任取一点。，作为=口，OB=b,则向量威=。一人如图

所示.

(3)几何意义：a—b可以表示为从向量的终点指向向量a的终点的向量.

■名师点拨

(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.

(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被

减向量”即可.

(3)对于任意两个向量a,b,都有||a|—|训W|a+b|W|a|+N

典型例题1

向量的减法运算

m化简下列各式：

⑴港+施)+(—油一该))；

(2)AB-AD-DC.

【解】（1）法一：原式=检+而+就＞+而=瀛+庆））+（而+而）=劭

+OB=AB.

法二：原式=协+而+历+而

=AB+(MB+BO^dM=AB+Mb+dM=AB+^

=AB.

（2）法一：原式=而一比=宓.

法二：原式=协一（废＞+困=检一位：=宓.

网鹤法罔

向量减法运算的常用方法

典型例题2

向量的减法及其几何意义

侧0如图，已知向量a,b,c不共线，求作向量a+8—c.

【解】法一：如图①，在平面内任取一点。，作81=a,OB

=b,OC=c,连接3C,

则宓=8—c.

过点A作AD连接OD,

则量）=b—c,

所以历=为+量）=a+8—c.

法二：如图②，在平面内任取一点。，作为=a,AB=b,

连接。3,则丽=a+b,再作沆=c,连接C3,

则eh=a+Z»—c.

法三：如图③，在平面内任取一■点。，

作）l=a,AB=b,连接03,

则丽=a+b,再作宓=c,连接。C,

则0C=a+Z>—c.

网陶面商

求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a—仇可以先作一仇然后作a+(一6)

即可.

(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量

为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.

典型例题3

用已知向量表示其他向量

福⑶如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点3是该平行四边形外一

点，且协=a,AC=b,AE=c,试用向量a,b,c表示向量诙，BC,BD.

B

DE

【解】因为四边形ACDE是平行四边形，

所以说=座=，，BC=A<J—^=b—a,

故筋=病+①=Z>—a+c.

网陶法明

用已知向量表示其他向量的三个关注点

(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个

向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道.

(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换

律来分析解决问题.

(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则.

例如，在四边形ABCD中，AB+BC+CD+DA=O.

6.2.3向量的数乘运算

1.向量的数乘的定义

一般地，规定实数2与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,

记作也，它的长度与方向规定如下：

(1)|训=皿

(2)当丸>0时，-a的方向与a的方向相同;当丸V0时，4a的方向与a的

方向相反;当丸=0时，^a=0.

■名师点拨

人是实数，。是向量，它们的积2a仍然是向量.实数与向量可以相乘，但

是不能相加减，如2+a,4一a均没有意义.

2.向量数乘的运算律

设九〃为实数，那么：

(lU(zza)=Uzz)a.

(2)(7+=7a+“a.

(3)，a+Z>)=%a+劝.

3.向量的线性运算及向量共线定理

(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,

以及任意实数九〃2,恒有

(2)向量a(aWO)与b共线的充要条件是：存在唯---个实数九使曰务

■名师点拨

若将定理中的条件aWO去掉，即当a=0时，显然。与方共线.

(1)若方W0,则不存在实数入，使方=加.

(2)若办=0,则对任意实数入，都有C=脑.

典型例题1

向量的线性运算

filT⑴计算：

①4（a+办）一3（。-b）—8a；

②（5〃-40+c）—2（3。-2A+c）；

③!（4a—3ft）（6。-74）.

（2）设向量a=3i+与，b=2i-j,求ga—1”+（2万一a）.

【解】（1）①原式=4a+4万-3a+3万-8a

=——7a+78.

②原式=5a—40+c—6a+46—2c

2（137、

③原式=§14〃——3办+§力——]4+1办

nb,

_5_H,

~3a18,

、12

(2)原式=1a—b—a+10+2。一a

=一|a+|0=-|(3i+2/)+|(2i-j)

=1

5

网管茄胭

向量线性运算的基本方法

(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如，实数运

算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中

同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.

(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用

代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化

运算.

典型例题2

向量共线定理及其应用

丽已知非零向量ei,e2不共线.

(1)如果协=ei+e2,BC=2ei+8e2,诙=3(ei—e2),求证：A、B、。三点共

线；

(2)欲使既i+e2和ei+h2共线，试确定实数k的值.

【解】(1)证明：因为端=ei+e2,应)=^7+eb=2ei+8e2+3ei—3e2=5(ei

+e2)=5AB.

所以施，彷共线，且有公共点3,

所以A、B、。三点共线.

(2)因为左ei+e2与ei+左62共线，

所以存在实数丸，使左ei+e2=/l(ei+左e2),

则(k—A)ei=(法—1)«2,

k-7=0,

由于ei与e2不共线，只能有，

Ak-1=0,

所以左=±1.

驷陶园国

向量共线定理的应用

(1)若8=2a(aW0),且8与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行.

(2)若万=2a(aW0),且万与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例

如，若协=求，则屈与病共线，又初与应:有公共点A,从而A,B,C三点

共线，这是证明三点共线的重要方法.

典型例题3

用已知向量表示其他向量

H31如图，A5CD是一个梯形，屈〃①且|曲=2|诙M,

N分别是DC,A3的中点，已知检=ei,AD=e2,试用ei,e2表示AN

下列向量.

(1)AC=；

Q)MN=.

【解析】因为协〃曲，|曲|=2|诙I,

所以屈=2病，DC=|AB.

(l)AC=AD+DC=e2+1ei.

(2)MN=m)+DA+AN

=l/DC—AD+^AB

=-^e1-e2-b^ei=^ei-e2.

【答案】(1%2+$1(2)^ei~e2

互动探究

［变条件］在本例中，若条件改为病=ei,屐）=e2,试用ei,e2表示向量血

解：因为加=疝）+应+前，

MN=MC+CB+BN,

所以2疯=（血+血+应+宓+（京+两.

又因为M,N分别是DC,A3的中点，

所以疝）+流=0,俞+丽=0.

所以2疚=应+场，

所以说V=g（_Ab—病）=_gez-gei.

网管防商

用已知向量表示其他向量的两种方法

（1）直接法

（2）方程法

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关

于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.

6.2.4向量的数量积

1.两向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a,b,0是平面上的任意一点，B

作为=a,OB=b,则NAO3=6(0WeWn)叫做向量a与b的夹角./

0^a"4

(2)特例：①当8=0时，向量。与/＞同向;

JI

②当8=2时，向量a与b垂直,记作a_L岳

③当6=71时，向量a与b反向.

■名师点拨

按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的

角才是两向量的夹角，如图所示，NA4c不是向量口与协的夹F

tfttD

角.作AD=C4,则NBA。才是向量C4与A3的夹角.

2.向量的数量积

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为3,把数量同由Icos〃叫做向与a

与8的数量积(或内积)，记作即a0=|a||/?|cos

规定零向量与任一向量的数量积为0.

■名师点拨

(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模

与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定.

(2)两个向量的数量积记作a-b,千万不能写成aXb的形式.

3.投影向量

如图(1),设a,8是两个非零向量，AB=a,CD=b,我们考B

虑如下变换:过通的起点A和终点B,分别作诙所在直线的垂线,

⑴

垂足分别为Ai,Bi,得到AiB,我们称上述变换为向量Q向向量力

投影(project),叫做向量。在向量6上的投影向量.

——M

如图(2),在平面内任取一点。，作ON=b,过点“

一j__.

作直线ON的垂线，垂足为Mi,则。跖就是向量a在向量8上的°bM、N

(2)

投影向量.

(2)若与〃方向相同的单位向量为e,a与方的夹角为仇则而i=|a|cos9e.

■名师点拨

当6=0时，0Mi=\a\e；当时，OMi=0；当0©0,，时，OMi^b

方向相同；当。©与，口时，曲1与万方向相反；当。=口时，OMi=~\a\e.

4.向量数量积的性质

设a,8是非零向量，它们的夹角是仇e是与8方向相同的单位向量，则

(y)ae=ea=\a\cos夕.

(2)a_LZ>=a协=0.

(3)当a与力同向时，a-b=\a\\b\；

当a与8反向时，a-b=~\a\\b\.特别地，a・a=|aF或

(4)|a山|三同夙

■名师点拨

对于性质(2),可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量

垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0,则它们

互相垂直.

5.向量数量积的运算律

(1)0山=红(交换律).

(2)01)0=她也=丝网(结合律).

(3)(“+8)口=生£土豆(分配律).

■名师点拨

(1)向量的数量积不满足消去律；若a,b,c均为非零向量，且a-c=>c,但

得不到a=b.

(2)(a-b)-c^a\b-c),因为a小，"c是数量积，是实数，不是向量，所以(a山)-c

与向量c共线，a,(Zrc)与向量a共线，因此，(a仍)•c=a,Oc)在一般情况下不成立.

(3)(a±Z>)2=a2±2a,b+b2.

典型例题1

平面向量的数量积运算

麻1(1)已知同=6,|Z>|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b>(a+3b).

22/

(2)如图，在口A3CD中，|成|=4,\AD\=3,ZDAB=60°,求：

@AD•BC；®AB•DA.

【解】(l)(a+2b)-(a+3b)

=a-a+5a-b-Y6b-b

=|肝+5a山+6|那

=|a|2+5|a||6|cos60°+6即

=62+5X6X4XCOS60°+6X42=192.

(2)①因为超〃庆:，且方向相同，

所以4b与病的夹角是0°,

•BC=\AD\\BC\«cos0°=3X3X1=9.

②因为屈与弱的夹角为60°,

所以油与房的夹角为120°,

所以屈•DA=\AB\\DA\•cos120°

=4X3xf-|j=-6.

互动探究

［变问法］若本例(2)的条件不变，求危•BD.

解：因为危=屈+屐＞,BD=AD-AB,

所以危•BD=(AB+Aby(Ab-AB)

=AD2—AB2=9—16=—7.

网管闹回

向量数量积的求法

(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确

求出两向量的夹角是求数量积的关键.

(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式

的乘法运算.

典型例题2

向量模的有关计算

丽(1)已知平面向量a与力的夹角为60°,\a\=2,\b\=l,则|a+2"=

()

A.小B.273

C.4D.12

(2)向量a,方满足|a|=l,\a-b\=^-,a与〃的夹角为60°,则回=()

11

-B-

A.32

uC--5D-4

［解析］(l)|a+2/)|=\l(a+2Z>)2=-\la2+4a-b+4b2

=^|fl|2+4|a||Z,|cos60°+4|Z>|2

=-^4+4X2X1X|+4=2V3.

33

(2)由题意得|a一例2=同2+|例2—2⑷瓦cos60°=不即1+|肝一|。尸不解得

步1=;.

【答案】(1)B(2)B

奥陶画国

求向量的模的常见思路及方法

(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2=|a|2,

勿忘记开方.

(2')a-a=a2=\a\2或|a|="U,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.

典型例题3

向量的夹角与垂直

命题角度一：求两向量的夹角

他呵(1)已知|a|=6,|臼=4,(a+2b\(a-3b)=-72,则a与〉的夹角为

（2）（2019・高考全国卷I改编）已知非零向量a,〃满足|。|=2|四，且（a一万），儿

则a与8的夹角为.

【解析】（1）设a与方的夹角为。，（a+2Z＞）・（a—3》）=a-a—3a0+2万a—6万万

=\a\2~a-b~6\b\2

=|fl|2—|a||Z,|cos9~6\b\2

=62-6X4XCOS0-6X42=-72,

所以24cos8=36+72—96=12,

所以cos9=T.

又因为6c[0,n],所以。=；.

(2)设a与〃的夹角为。，由(a—瓦)_1_。，得(”一方＞。=0,所以。必=济,所以

b2

COS8=而而.又因为|旬=2|以，

所以cos。=恭=/

,n

又因为。£[0,n],所以。=9.

JIJI

【答案】（l）y（2）y

命题角度二：证明两向量垂直

螂4]已知a,8是非零向量，当a+M«£R)的模取最小值时，求证：办_1_(。

【证明】因为|a+必|=yj(a+tb)2=y^a1+t1b1+2ta-b=

yj\b\2t2+2a-bt+\a\2,

所以当/=一翳=一瞿时，|a+如有最小值.

此时b\a+tb）=b-a+tb2=a-b+〔-韵•阱

=a，b—(rb=O.所以Z>J_(a+rf>).

命题角度三：利用夹角和垂直求参数

(W5](1)已知a_LZ>,\a\=2,|。|=3且向量3a+26与久一互相垂直，则左

的值为()

3「3

A.一万B.2

3

C.±2D.1

JI

(2)已知a,b,c为单位向量，且满足3a+劝+7c=0,a与8的夹角为亍，

则实数7=.

【解析】(1)因为3a+2b与切一方互相垂直，

所以(3a+25)•(①一方)=0,

所以3加2+(2左一3)a山一2肥=0.

因为aD,所以a-Z>=0,

又⑷=2,向=3,

所以12^-18=0,^=|.

(2)由3a+劝+7c=0,可得7c=—(34+劝)，

即49c2=902+丸2。+6〃也

而a,b,c为单位向量，

则a2=b2=c2=\,

贝i|49=9+22+6ACOS左，

即下+37—40=0,解得丸=-8或7=5.

【答案】(1)B(2)—8或5

期倒法肠

求向量a与》夹角的思路

(1)求向量a与方夹角的关键是计算ab及⑷步在此基础上结合数量积的定

义或性质计算cos。=编，最后借助。©[0,町，求出。的值.

(2)在个别含有同，向与。山的等量关系中，常利用消元思想计算cos。的值.

6.3.1平面向量基本定理

平面向量基本定理

条件ei,e2是同一平面内的两个不共线向量

对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数

结论

21,几2,使。=丸1©1+2222

若ei,C2不共线，把｛ei,出｝叫做表示这一平面内所

基底

有向量的一个基底

■名师点拨

(l)ei,e2是同一平面内的两个不共线的向量，｛ei,02｝的选取不唯一，即一

个平面可以有多个基底.

(2)基底｛幻,62｝确定后，实数Q,42是唯一确定的.

典型例题1

平面向量基本定理的理解

m设ei,62是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

①ei与ei+e2；②ei-2e2与ei—2ei；③ei—2e2与4e2-2ei；④ei+e2与ei

-C2.

其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(写出满足条件的

序号).

j人=1,

【解析】①设ei+e2=/lei,贝M无解，

11=0,

所以ei+e2与ei不共线，即ei与ei+e2能作为一■组基底.

②设ei—2e2=A(e2—2ei),则(l+22)ei—(2+A)e2=0,

"1+2入=0,

贝H无解，所以ei—2e2与e2-2ei不共线，即ei—2e2与ez—2ei

能作为一组基底.

③因为ei—2e2=—；(4e2—2ei),

所以ei—2e2与4e2—2ei共线，

即ex—2e2与4e2—2ei不能作为一■组基底.

1—X=0,

④设ei+e2=7(ei—ei),则(1—2)ei+(l+7)e2=0,贝/无解，所以

」+入=0,

ei+e2与ei—e2不共线，即ei+e2与ei—ei能作为一■组基底.

【答案】③

网陶法胭

对基底的理解

(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，

则不能作基底，反之，则可作基底.

(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底

唯一线性表示出来.设向量a与方是平面内两个不共线的向量，若xia+yiZ>=x2a

(X1=X2,

+yib,则，_

-1=".

［提醒］一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达

式不一样.

典型例题2

用基底表示平面向量

画为如图所示，在%BCD中，点E,R分别为3C,DC边上的中点，DE

与BF交于点,G,若检=a,AD=b,试用基底｛a,方｝表示向量励，BF.

【解】I^=DA+AB+BE

=-AD+AB+|BC

=—AZ)+AB+^Ab=a—

BF=5A+AD+DF

=—AB+AD+|AB=/>—

互动探究

1.［变问法］本例条件不变，试用基底｛a,方｝表示Ad.

一2

解：由平面几何知识知BG=gBF,

故居=盛+庆;=油+|丽

2.［变条件］若将本例中的向量“油，病”换为“丽,丽”，即若逢=a,CF

=b,试用基底｛a,。｝表示向量励，BF.

解：IJE=DC-irCE=2FC+CE=-2&+CE=-2b+a.

BF=BC+CF=2EC+CF

=-2CE+CF=-2a+Z>.

网陶词明

用基底表示向量的两种方法

(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为

止.

(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.

典型例题3

平面向量基本定理的应用

他呵如图，1SAABC中，点般是3c的中点，点N在AC上，且AN=2NC,

AM与BN相交于点P,求AP：与BP：PN.

M

【解】设属f=ei,CN=e2,

则AM=AC+CAf=—3e2—ei,BN=BC+CN=2ei+ea.

因为A,P,M和3,P,N分别共线，

所以存在实数九〃使得而=—Mi—3M2,

BP=nRN=2/j.e\+f,iei.

故荫=丽+戌=丽一A>=q+2〃)ei+(32+〃)e2.

而荫=前+株=2ei+3e2,由平面向量基本定理,

行尸2〃=2,

寸、3人+〃=3,

J4

4=予

解得J

、〃=亍

所以4>=京而，BP=^BN,

所以AP：PM=4：1,BP：PN=3：2.

互动探究

1.［变问法］在本例条件下，若屈=a,CN=b,试用a,b表示杳.

2

解:由本例解析知3尸：PN=3：2,则俞=于方，

22

&=CN+M3=CN+-^NB=b+^C^-CN)

2.［变条件］若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP：PM与

BP：PN.

解：如图，设血f=ei,跳=e2,

则AM=AC+CM=-lei—ex,BN=BC+CN=2ei+ez.

因为A,P,M和3,P,N分别共线，

所以存在实数九〃使得4>=%翁f=—Ml—2M2,

BP=/iBN=2/Lie\+〃C2.

故荫=丽+戌=丽-4>=Q+2〃)ei+(22+〃)e2.

而函=病+讨=2乃+2及，由平面向量基本定理，

fA+2〃=2,

得+〃=2,

人=|，

解得，

、〃=不

所以4>=|融*BP=^BN,

所以AP：PM=2,BP:PN=2.

网陶词回

若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满

足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标

向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方

程或方程组，解方程或方程组即得.

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

6.3.3平面向量加'减运算的坐标表示

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

第1课时平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示

1.平面向量坐标的相关概念

ftt.fe1设与工轴、y轴方向相同的两个单位向量分别

［墨氐L、为i,j,取仔,力作为基底

I

(向量坐标)—{向量。="i+yj,有序实数对(4,y)为向量0的坐标)

［向量表示］―•{a={x,y),i=(l,O),/=(0,1),0=(0,0)~~］

■名师点拨

⑴平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是

两个基向量ei和C2互相垂直.

(2)由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应

相等，即a=Z>Qxi=X2且竺=丁2,其中a=(xi,yi),b=(xi,yi).

2.平面向量的坐标运算

(1)若a=(xi,")，b=(xi,yi),则

①a+8=Cn+x2,yi+y2)；

@a-b=(xi-X2，yi—Y2)；

③4a=(Axi,>yi).

(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

■名师点拨

(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关.

(2)已知向量AB的起点A(xi,yi),终点5(x2,yz),则AB=(X2—xi,

典型例题1

平面向量的坐标表示

tHH已知。是坐标原点，点A在第一象限，|为|=4/，ZxOA=60°,

(1)求向量为的坐标；

(2)若3(小，-1),求荫的坐标.

【角星】(1)设点A(x,y),贝Ux=|丽|cos60°=4小cos60°=273,y=|OA|sin

60°=4小sin60°=6,

即A(2/，6),所以为=(2小，6).

(2廊=(2小，6广他,—1)=(小，7).

网陶法回

求点和向量坐标的常用方法

(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.

(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，

再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.

典型例题2

平面向量的坐标运算

丽(1)已知向量a=(5,2),8=(—4,—3),若c满足3a—2b+c=0,则

C=()

A.(—23,-12)B.(23,12)

C.(7,0)D.(—7,0)

(2)已知A(-2,4),3(3,-1),C(—3,—4),且屈=3CA,CN=2CB,

求点N的坐标.

【解】(1)选A.因为a=(5,2),b=(—4,-3),且c满足3a—2》+c=0,

所以c=2万-3a=2(—4,—3)—3(5,2)=(—8—15,—6—6)=(—23,-12).

(2)法一：因为A(—2,4),B(3,-1),C(­3,-4),

所以画=(—2,4)-(-3,-4)=(1,8),

CB=(3,-l)-(~3,-4)=(6,3).

因为诙=3CA,CN=2CB,

所以说=3(1,8)=(3,24),CN=2(6,3)=(12,6).

设M(xi,yD,N(X2,yi),

所以丽=(xi+3,yi+4)=(3,24),

dv=(x2+3,券+4)=(12,6),

xi+3=3,X2+3=12,xi=0,X2=9,

所以彳<解得

ji+4=24,〔*+4=6.8=20,J2=2.

所以MO,20),N(9,2).

法二：设。为坐标原点，则由而=3CA,CN=2CB,

可得而一沆=3(而一沆)，O7V-OC=2(0B-0C),

所以血=3OA-2OC,ON=2OB-OC.

所以血=3(—2,4)—2(—3,—4)=(0,20),

砺=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2).

所以M0,20),N(9,2).

网管闹胆

平面向量坐标(线性)运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则

进行.

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行

向量的坐标运算.

(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.

典型例题3

向量坐标运算的综合应用

fSOl已知点。(0,0),A(l,2),3(4,5),及舁=凉+港.

(1»为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点尸在第二象限？

(2)四边形。43产能为平行四边形吗？若能，求出/的值；若不能，请说明理

由.

【解】(1)舁=为+港=(1,2)+/(3,3)

2

=(l+3r,2+3)若点尸在无轴上，则2+3%=0,所以％=一丁

若点P在y轴上，则1+3/=0,所以f=一

1+3/V0,

若点P在第二象限，贝心C「

[2+3/>0,

21

所以一§v%v_

(2)0A=(l,2),PB=(3~3t,3-30.若四边形。45P为平行四边形，

一一[3—3t=1,

则。4=PB,所以J该方程组无解.

3—3t=2,

故四边形0AHp不能为平行四边形.

[变问法]若保持本例条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？

解：由d>=丽+瀛，得国瀛.

所以当1=2时，AP=2AB,3为线段AP的中点.

向量中含参数问题的求解策略

(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个

变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变.

(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的

方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的.

第2课时两向量共线的充要条件及应用

两向量共线的充要条件

设a=(xi,yi),b=(X2,yi),其中则a,共线的充要条件是最yz

-X2V1=O.

■名师点拨

(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成/弋(X2W0,y2#o),即两个不平

行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.

(2)当aHO,8=0时，a〃b,此时xiy2—X2yi=0也成立，即对任意向量a,

力都有xiy2—X2yi=0<=>a/7b.

典型例题1

向量共线的判定

他臼(1)已知向量a=(l,-2),b=(3,4).若(3a—，)〃(a+k»,则k=

(2)已知A(—1,-1),B(l,3),C(2,5),判断部与危是否共线？如果共线,

它们的方向相同还是相反？

【解】(l)3a-Z>=(0,-10),a+kb=(l+3k,—2+4人)，

因为(3a—3〃(a+劭)，所以0—(—10—30左)=0,

所以左=一上.故填一!:

(2)因为协=(1—(—1),3-(-1))=(2,4),

AC=(2-(