专题10 相似三角形中的动点问题的三种考法（解析版）-2024年常考压轴题攻略（9年级上册人教版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题10相似三角形中的动点问题的三种考法类型一、相似三角形存在性问题例1．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F．当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA的值为．【答案】2或5【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的判定和矩形的性质可求解．【详解】解：∵E是BC的中点，∴BE=2，如图，若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．∴PE∥AB．∴四边形ABEP为矩形．∴PA=EB=2，如图，若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF．∴PE=PA．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点．∵，∴．∵，即，∴PE=5，综上所述：AP的值为2或5，故答案为：2或5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．例2．如图，在直角中，，，，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点．（1）求的长；（2）连接，当时，求的长；（3）连接，当和相似时，请直接写出的长．【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）直接根据勾股定理求出的长度即可；（2）过点作,垂足为，容易证得,设，根据相似的性质可求出的值即可得出结果；（3）由（2）得，设，根据相似的性质可求出的值，在解题时要注意分类讨论．【详解】解：（1）∵在直角中，，，，∴；（2）过点作,垂足为，∵,∴,∴，设，∵,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴，化简，得，解得：(负值舍去),∴；（3）由（2）得，设，∵,∴,∵,∴,∴,当和相似时，有两种情况：①,∴,即，解得，∴；②,∴,即，解得，∴，综上：当和相似时，的长为或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，题目难度不小，具有一定的综合性．特别是三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．【变式训练1】建立如图所示们平面直角坐标系中，矩形的点以点为旋转中心，为起始边，逆时针方向，直角边交射线于点，直角边交轴于点．

(1)当时，求点的坐标；(2)在旋转过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，诗求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)或【分析】（1）证，则，得，即可得出点的坐标．（2）设，本题需先证出，求出，再分两种情况讨论，求出的值即可．【详解】（1），，，，四边形是矩形，，，，，，，，，即，，，点的坐标为，；（2）存在，理由如下：设，，，，，，，，解得：，当点在点上方时，如图，

若时，，，，，解得：，（不合题意舍去），；∴，∴当点在点下方时，如图，

①若，则，，解得：，（不合题意舍去），，；②若，则，，整理得：，这种情况不成立；综上所述，在运动的过程中，存在以、、为顶点的三角形与相似，或．【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．【变式训练2】如图，，A（3，0），C（，0），．(1)直接写出线段的长是___________，点B的坐标是___________；(2)已知点D在x轴上（不与点C重合），连接，若与相似，则点D坐标是___________；(3)在（2）的条件下，点P、Q分别是和上的动点，连接，设，是否存在k的值，使与相似？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3，（，3）(2)(3)存在，或【分析】（1）根据A（3，0），C（，0），得到的长，利用勾股定理求出的长，即可得到点的坐标；（2）根据点D在x轴上（不与点C重合），与相似，推出，进而得到，求出的长度，即可得到点的坐标；（3）分和，两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵，∴∵，∴，∴．故答案为：．（2）解：∵，∴当和相似时，点在点的左侧，或，∵点与点不重合，∴，即：，如图，过点作交轴于点，∵，∴，即：，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：；（3）解：存在；①当时，则：，∵，，∴，∴，解得：，②当时，则：，即：解得：；综上所述，或时，与相似．【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，以及相似三角形的性质．熟练中掌握，勾股定理，相似三角形的对应边相等，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．类型二、几何图形存在性问题例1．如图，在中，，，，E、D分别是的中点，连接．Q从点E出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点Q停止运动时，点P也停止运动。连接，设运动时间为ts．答下列问题：(1)请直接用含t的代数式表示的长；(2)当t为何值时，以点D、P、Q为顶点的三角形与相似？(3)当t为何值时，为等腰三角形（直接写出）【答案】(1)；(2)或(3)或3或或【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，根据题意用含t的代数式表示的长；（2）分、两种情况，根据相似三角形的性质列式计算即可；（3）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质列式计算即可．【详解】（1）由勾股定理得，，∵E、D分别是的中点，，∴，由题意得，，∴，（2）在中，，∴．∵D、E分别是的中点．且，①时，∵，∴，∴，由题意得：，即，解得；②如图2中，当时，，∴，∴，∴，∴当t为或时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似．（3）如图3中，当点Q在线段上时，由，可得，解得，如图4中，当点Q在线段上时，，可得，解得，如图5中，当点Q在线段上时，由，过点Q作于M，∴，∵，∴，∴，∴，解得．如图6中，当点Q在线段上时，由，同理可得，解得．综上所述，或3或或时，是等腰三角形．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想．例2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴、轴的正半轴上，，．点从点出发，沿轴以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动的时间是秒．将线段的中点绕点按顺时针方向旋转得点，点随点的运动而运动，连接，．

(1)当时，点的坐标是；(2)请用含的代数式表示出点的坐标；(3)在点从向运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，求的值．若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)当为2秒或3秒时，能成为直角三角形．【分析】（1）求得，得到，推出，利用等腰直角三角形的性质即可求解；（2）设出点坐标，再求出的中点坐标，根据相似的性质即可求出点坐标；（3）先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解；【详解】（1）解：∵，∴，∴，，设的中点为，过点作，垂足为，

∴，，∴，∴点坐标为；故答案为：；（2）解：∵点从点出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，，而，，设的中点为，过点作，垂足为，

则点的坐标为，点绕点按顺时针方向旋转得点，，，又，，，，，，，，点坐标为，故答案为：；（3）解：能构成直角三角形．①当时，，由勾股定理得，，，，即，解得，或（舍去）．秒．②当时，此时点在上，

可知，，，，，即，秒．综上，可知当为2秒或3秒时，能成为直角三角形．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质相似三角形的判定和性质，是动点问题在实际生活中的运用，结合了直角三角形的相关性质，具有一定的综合性．例3．综合与探究：已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为，解答下列问题：(1)当时，求的值；(2)点，同时出发，为何值时，以，，为顶点的三角形与相似；(3)如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程）【答案】(1)(2)或(3)存在，【分析】（1）利用勾股定理求出，再结合以及两点的速度列出方程，解之即可；（2）利用勾股定理求出，再根据题意知：，，当，则，利用其对应边成比例即可求得，当，则，利用其对应边成比例即可求得．（3）过点作、，分别交于、交于，则四边形是矩形，证明，得出比例式，由题意得出方程，解方程求出的值即可．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵，∴，∴；（2）由题意知：，，当，则，，，，；当，则，，，，当或时，以、、为顶点的三角形与相似，故答案为：或；（3）过点作、，分别交于、交于，如图所示：，四边形是矩形，当时，即时，为等腰三角形，此时把沿翻折得到四边形是菱形，，，，即，解得：，，，解得：，当时，四边形是菱形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过三角形相似才能得出结果．【变式训练1】．如图，在矩形中，是对角线，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；点从点出发，沿方向匀速运动，速度是1．两点同时出发，设运动时间为，请回答下列问题：(1)当t为何值时，?(2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；(3)当为何值时，四边形的面积等于矩形面积的？(4)当为时，是等腰三角形．【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）勾股定理求得，进而根据题意得出，，当时，，根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据计算即可求解；（2）过点作，证明，得出，根据即可得出结论；（3）根据（2）的结论建立方程，解方程即可求解．（4）根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，，∴，，∴，∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；点从点出发，沿方向匀速运动，速度是1，设运动时间为，∴，∴，当时，∴，∴，即，解得；（2）如图，过点作，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，，∴；（3）解：依题意，解得（不合题意，舍去）（4）解：∵是等腰三角形①当时，即，解得；②当时，如图，过点作，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，③若如图，过点作∴，∴，∵∴∴解得∵∴不存在的情形，综上所述，当或时，是等腰三角形．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的定义，综合运用以上知识是解题的关键．【变式训练2】如图1，矩形中，，，为上一点，为延长线上一点，且．点从点出发，沿方向以的速度向运动，连结、，交于点．设点运动的时间为，的面积为，当时，的面积关于时间的函数图象如图2所示．（1）的长是；（2）当，时，求的值；（3）如图3，将沿线段进行翻折，与的延长线交于点，连结，当为何值时，四边形为菱形？【答案】（1）0.5；（2）；（3）【分析】（1）根据题意可知，y=×4t×AE，由图2可知，当t=0.5时，y=0.5，进而得出0.5=×4×0.5×AE，即可求出AE；（2）当a=2cm，BF=2cm．AF=AB+BF=6cm，由△PAE∽△FAP，根据相似三角形的性质即可求解；（3）根据菱形的性质以及轴对称的性质，即可证明∠MAB=∠PFA=30°，根据等腰三角形的性质，可得BF=4cm，设PA=x，则PF=2x，根据勾股定理可得，PF2=PA2+AF2，即可得出方程（2x）2=x2+82，求得x的值即可得到点P的运动时间t．【详解】解：（1）由题意可知，y=×4t×AE，由图2可知，当t=0.5时，y=0.5，∴0.5=×4×0.5×AE，∴AE=0.5cm，故答案分别为：0.5；（2）当a=2cm，BF=2cm．AF=AB+BF=6cm，∵△PAE∽△FAP，∴，∵AP=4t，∴16t2=6×0.5，∴t=负值不合题意，舍去），∴t=s；（3）如图3，∵四边形PAMH是菱形，∴AM=MH=2BM，AM∥PF，∵∠ABM=90°，BM=AM，∴∠MAB=30°，∴∠PFA=MFA=∠MAB=30°，∴MA=MF，∵MB⊥AF，∴AB=BF=4cm，∴FA=AB+BF=8cm，令PA=x，则PF=2x，根据勾股定理可得，PF2=PA2+AF2，即（2x）2=x2+82，解得x=，（负值已舍去）∴P的运动时间为（秒）．∴t=s时，四边形PAMH为菱形．【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，一次函数的应用以及勾股定理的运用，解题的关键是掌握菱形的性质以及相似三角形的性质．解题时注意方程思想的运用．【变式训练3】已知：在中，，，于点，点是边的中点，动点在线段上，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，与交于点．（1）如图1，当点与点重合时，线段的长为______；（2）如图2，当点与，两点均不重合时，①求证：；②问：是否存在点，使以，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由，【答案】（1）2；（2）①见解析；②存在，或3【分析】（1）首先连接DE，证明D,E,Q三点共线，再证明即可求得；（2）①首先连接，，证明，再证明是的中位线，即可证明；②分三种情况讨论，当时，证明，即可求出PC；当时，证明，且，即可求出PC；当点在线段上时，因为不符合题意．【详解】解：（1）连接DE，∵AB=AC,∠BAC=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴又∵AD⊥BC,∴AD为Rt△ABC的中线，D为中点，∴,又∵E为AC的中点，∴DE∥AB,,,∴,∴△DEC为直角三角形，∠DEC=90°，又∵∠CEQ=90°，∴∠DEC=∠CEQ，∴D,E,Q三点共线，∵∠DEC=∠BAC=90°，∴DQ∥AB，∴∠Q=∠ABF，又∵,,∴,∴∴在△ABF和△DQF中，∴,∴DF=AF=；（2）①证明：如图2，连接，，∵是等腰斜边上的高，是边的中点，∴是等腰斜边上的高，即，且，∵，且，∴,∴，在△PED和△QEC中：∴，∴，，又，∴，∴，又是的中点，∴是的中位线，∴．②存在．∵中，，于点，则，若经过点作于，∴AD∥EH，∴又∵点是边的中点，∴是的中位线，，∴,∵AD=CD,∴．（I）如图2（a），当时，∵，∴,，∴经过点，又∵,∴,∴，得，从而，∴，则；（II）如图2（b），当时，同理得：，且，∴，∴，则．（III）当点在线段上时，由于，即，若将等腰直角沿折叠，可得，∴，则．综上，存在符合条件的，且或3．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考压轴题．类型三、最值问题例．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点C运动，作于点G，设运动的时间为t秒，则AG的最大值是．【答案】【分析】如图，连接交于，由题意知，，证明，则，可得过定点，，，如图，过作于，过作于，证明，则，即，解得，，，由，过定点，可知当与重合时，有最大值，为，在中，由勾股定理求的值，进而可得最大的值．【详解】解：如图，连接交于，由题意知，，∴，又∵，∴，∴，∴过定点，，，如图，过作于，过作于，∴，，又∵，∴，∴，即，解得，，，∵，过定点，∴当与重合时，有最大值，为，在中，由勾股定理得，∴最大值为故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于确定过定点．【变式训练1】如图，△ABC中AB=AC，A(0，8)，C(6，0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为．【答案】【分析】过点作交于点，交于点，连接，设点的运动时间为，在上的运动速度为，，只需最小即可，再证明，可得，则当、、点三点共线时，此时有最小值，再由，求出即可求坐标．【详解】解：过点作交于点，交于点，连接，，，设点的运动时间为，在上的运动速度为，点在上的运动速度是在上的倍，，，，，，，，，，，，，当、、点三点共线时，，此时有最小值，，，，，即，，，

故答案为：．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，三角形相似的判定及性质、解题的关键是熟练掌握轴对称求最短距离和胡不归求最短距离的方法．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B在第一象限内，，点E是线段上的一个动点，连接，将射线绕点E顺时针旋转交于点F，当最短时点F的坐标是．【答案】【分析】由已知易得△BEF∽△BAE，则对应边成比例，可得，从而当BE最小时，BF最小，而当BE⊥x轴时，BE最小即垂线段最短，此时可得EF⊥AB，过点F作FD⊥x轴于点D，利用30゜角的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得F点的坐标．【详解】∵∠BEF=∠BAO=60゜，∠B=∠B∴△BEF∽△BAE∴∴∴当BE最小时，BF也最小而当BE⊥x轴时，垂线段最短，故BE最小，因而BF也最小∴∠FEA=90゜−∠BEF=30゜∴∠EFA=180゜−∠FEA−∠BAO=90゜即EF⊥AB过点F作FD⊥x轴于点D，如图在Rt△BEA中，∠ABE=90゜-∠BAO=30゜∴AE=∵在Rt△FEA中，∠FEA=30゜∴在Rt△FDA中，∠AFD=90゜-∠BAO=30゜∴由勾股定理得：∵OD=∴D点坐标为【点睛】本题考查了垂线段最短，相似三角形的判定与性质，30゜角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是根据相似三角形的性质，把BF最短转化为线段BE最短．【变式训练3】在中，，点D是内一动点，且满足，则的最小值．的最小值【答案】；．【分析】如图，连接CD，在BC上取CE=，连结CD，ED．可证△DCE∽△BCD．可得DE=BD，当点A，D，E在同一条直线时，AD+BD的值最小，在Rt△ACE中，由CE=，CA=4，可求AE=即可；在CA上取点F，使CF=1，连结FD，BF，可证△FCD∽△DCA．可得FD=AD，当点B、D、F，在同一条直线时，BD+AD的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CB=3，根据勾股定理BF==即可，【详解】解：①在BC上取CE=，连结CD，ED，∵CD=2，BC=3，∵∴又∵∠DCE=∠BCD，∴△DCE∽△BCD．∴，∴DE=BD，∴AD+BD=AD+DE，当点A，D，E在同一条直线时，AD+BD的值最小，在Rt△ACE中，∵CE=，CA=4，∴AE=，∴AD+BD的最小值为．故答案为：．②如图，连接CD，在CA上取点F，使CF=1，连结FD、BF，∵CD=2，AC=4，∴，∴，又∵∠FCD=∠ACD，∴△FCD∽△DCA．∴，∴DF=AD，∴BD+AD=BD+DF，当点B，D，F在同一条直线时，BD+AD的值最小，在Rt△BCF中，∵CF=1，CB=3，∴BF==，∴BD+AD的最小值为．故答案为：；【点睛】本题考查构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键．课后作业1．如图，矩形中，，，点E在边上，且，动点P从点A出发，沿运动到点B停止，过点E作交射线于点Q，设O是线段的中点，则在点P运动的整个过程中，点O运动路线的长为．【答案】4【分析】由题意知，如图，过作于，过作于，证明，则，即，解得，如图，过作于，当运动到点，连接，作，交于，连接、中点、，由题意知在上运动，证明，则即，解得，由、分别为、中点，可知是的中位线，则，进而可得答案．【详解】解：∵，，∴，如图，过作于，过作于，∵，，∴，∴，即，解得，如图，过作于，当运动到点，连接，作，交于，连接、中点、，∴由题意知，在上运动，∵，，∴，又∵，∴，∴即，解得，∵、分别为、中点，∴是的中位线，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中位线等知识．解题的关键在于确定的运动轨迹．2．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是BC的中点，连接AN、PM，若，则当的值最小时，线段AN的长度为．【答案】【分析】过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小，根据三角形的中位线的性质得到PE=BD，根据平行四边形的性质得到EN=PM，根据勾股定理得到AE=，根据相似三角形的性质即可得到结论.【详解】解：过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小∵P为BC的中点∴E为CD的中点∴PE=BD∵AB=BD，AB=MN∴MN=BD∴PE=MN∴四边形PEMN是平行四边形∴EN=PM∵AE=∴AB∥CD∴△ABN∽△EDN∴∴AN=故答案为.【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题、正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，题目综合性很强，属于较难题目.3．如图，在中，，点E是线段边上的一动点（不含B、C两端点），连接，作，交线段于点D．

(1)求证：(2)设，，请求y与x之间的函数关系式．(3)E点在运动的过程中，能否构成等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)当是等腰三角形时，或，见解析【分析】（1）由平角定义可得，，再根据即可证明；（2）根据的性质求解即可；（3）根据外角先验证，分和两种情况讨论【详解】（1）证明：∵，，，∴，∵，∴，∴（2）解：由（1）得：，∴，∵，，，，∴，，∴，∴，∴y与x之间的函数关系式为；（3）解：∵是的外角，∴，∵，∴，∴，当时，可得，∴；当时，，∵，∴，∴，即，∴，∴当是等腰三角形时，或；【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质，二次函数的最值等知识点．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解．4．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点坐标分别为，动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动过动点作，交于，连接，设、运动时间为秒，

(1)当秒时，点的坐标为（____，____），__________；(2)当为何值时，以为顶点的三角形与相似；(3)在平面内是否存在一个点，使以为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)3，，(2)2秒或秒(3)秒或秒或秒【分析】（1）先确定出点坐标，进而得出直线解析式，即可得出点的坐标，最后用两点间的距离公式即可得出结论；（2）先得出，，，用相似三角形的性质列出方程即可求出时间；（3）由菱形的性质，邻边相等即可分三种情况列方程即可求出时间．【详解】（1）解：四边形为矩形，点，的坐标分别为，，，设直线解析式为，将A，C代入，得，解得：，直线解析式为，点从点向点以每秒1个单位的速度运动，，当时，，，，，∴当秒时，点的坐标为，；（2），，，，，由运动知，，，由（1）知，，，以、、为顶点的三角形与相似，①当时，，，②当时，，，为2或时，以、、为顶点的三角形与相似；（3）由（1）知，，，由（2）知，，，，以、、、为顶点的四边形是菱形，①当时，，，②当时，，（舍）或③当时，，（舍）或，以、、、为顶点的四边形是菱形时，的值为或或秒．【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了平面坐标系内两点间的公式，相似三角形的性质，菱形的性质，解本题的关键分类讨论思想，是一道比较简单的中考常考题．5．如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发沿向点D匀速运动，速度是；同时，点Q从点C出发沿向点A匀速运动，速度是，当一个点到达终点，另一个点立即停止运动．连接，设运动时间为，解答下列问题：(1)当t为何值时，？(2)设的面积为，求s与t之间的函数关系式；(3)连接，是否存在某一时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，【分析】（1）先利用勾股定理计算的长，然后根据相似直接列方程求解即可；（2）作出辅助线得到相似三角形，根据相似比列方程可将边长都用表示出来，然后根据面积公式直接列出函数解析式即可；（3）根据角平分线的性质得到垂线段相等，根据勾股定理可求出的长，然后推论出相似三角形，根据相似比直接列方程求解即可．【详解】（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得；（2）作于，又，∴∴，即，解得，，∴；∴．（3）作于，则当时，平分，在中，，∵，，∴，∴，即，解得，，∴当时，平分．【点睛】此题考查相似三角形和勾股定理，解题关键是通过相似比列出方程进行求解．6．如图，在中，，，，D是的中点．动点