2017学年云南师大附中高三（上）适应性数学试卷（理科）一（含解析）

2016-2017学年云南师大附中高三（上）适应性数学试卷（理科）

（1）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合A={x|log2尤〈4},集合5={%已I,,2},则AB=（）

A.（0,2]B.[0,2]C.[-2,2]D.（-2,2）

2.（5分）已知复数z在复平面内对应的点为（-1,1）,则复数的模为（）

z+2

A.710B.—C.72D.2

2

3.（5分）已知|a|=4cost,|=2sin匹，ab=-\/2,则Q与匕的夹角为（）

88

A.-B.-C.—D.—

3443

4.（5分）圆％2+,2+4%一2丁+。=0截直线%+丁+5=0所得弦的长度为2,则实数〃二（

）

A.-4B.-2C.4D.2

5.（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）

A.3024B.1007C.2015D.2016

6.（5分）给出下列四个结论:

2

①已知直线4:ox+y+l=0,l2:x+ay+a=0f则4/名的充要条件为a=±l；

②函数/（x）=gsins:+coss;满足/（%+—）=-/（x）,则函数/㈤的一个对称中心为（工，

26

0）；

③已知平面a和两条不同的直线a,b,满足bua,allb,则a//a；

④函数f（X）=L+/〃尤的单调区间为（0,1）U（1,+8）.

X

其中正确命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.0

7.(5分)己知sina=2^,cos(a+£)=-g,且at,/e(O,]),则sin(a-6)的值等于(

)

C.-1D,迪

A.--B.-

22327

8.（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球。的球面上，AB=AD=CD=2,BD=2y/2,

BDVCD,平面相D_L平面3CD,则球O的体积为（）

A.4月7TB.C.—7UD.2%

23

3x-5y+6..0

9.(5分)若龙、y满足条件<2x+3y-15,,0,且当x=y=3时，z=℃+y取最大值，则实

y..O

数。的取值范围是（）

Az23、32

A.(——,-)B.(-oo,——)<J(—,+oo)

3553

3223

C.D.(-oo,——)<J(-,+oo)

5335

10.（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（)

A.473+8+2719B.473+8+4719C.86+8+4MD.8若+8+2加

22

11.（5分）椭圆二+马=l（a>6>0）上一点A关于原点的对称点为5,尸为其右焦点，若

a-b

AF±BF,设4出F=（z,且ae[工，-],则该椭圆离心率的最大值为（）

124

A.近B.且C.—D.1

322

12.（5分）已知曲线y=*。与y=（x-l）2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为（

）

A.（-00,2/〃2+3）B.（-00,2ln2~y）C.（2/〃2-3,+co）D.（2加2+3,+oo）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

兀

13.（5分）设〃=｝cosx公，则二项式的展开式的常数项是.

14.（5分）己知/（%）是定义在尺上的偶函数,并满足了0+2）=——L,当窈k3时，/。）=尤,

/（无）

贝1v（-岁=.

22

15.（5分）已知曲线匕一土=1（。620且awb）与直线x+y-2=0相交于P,。两点，且

ba

OP。。=0（。为原点），则,一,的值为_____.

ba

16.（5分）已知S”为数列｛”,｝的前〃项和，q=2,2s“=（”+1）4,若存在唯一的正整数”

使得不等式《-4-2t2„0成立，则实数f的取值范围为.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）已知AA5c是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、人、c.若

csinA=yjiacosC.

（I）求角C;

（II）若c=0T,且sinC+sin（3-A）=5sin2A,求AABC的面积.

18.（12分）2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天

的成交金额为315.5亿元.为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1

月1日100名网购者的网购情况，得到如表数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不

含2000元）的频率为0.4.

网购金额（元）频数频率

(0,500]50.05

(500,1000]XP

(1000,1500]150.15

(1500,2000]250.25

(2000,2500]300.3

(2500,3000]yq

合计1001.00

（1）先求出x,y,p,q的值，再将如图3所示的频率分布直方图绘制完整;

（2）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上

的有35人,购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，

请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金

额超过2000元与网龄在3年以上有关？

X网龄3年以上网龄不足3年合计

购物金额在2000元以上35

购物金额在2000元以下20

总计100

参考数据:

Pg.k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(参考公式：K2=------Mad-bcy------,其中〃=a+b+c+d)

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

（3）从这100名网购者中根据购物金额分层抽出20人给予返券奖励，为进一步激发购物热

情，在（2000,2500］和（2500,3000］两组所抽出的8人中再随机抽取2人各奖励1000

元现金，求（2000,2500］组获得现金将的数学期望.

19.（12分）如图，已知四棱锥尸-A3CD中，底面ABCD为菱形，R4_L平面ABCD,

ZABC=6O°,E,尸分别是3C,PC的中点.

（1）证明：AE_L平面Q43；

（2）取回=2,若〃为PD上的动点，EH与平面网。所成最大角的正切值为必，求二

2

20.（12分）已知O为坐标原点，抛物线C:/="无（〃>0）在第一象限内的点p（2j）到焦点的

距离为：，C在点P处的切线交无轴于点Q,直线人经过点。且垂直于龙轴.

（1）求线段。。的长；

⑵设不经过点P和。的动直线4：彳=冲+6交C交点A和3,交4于点E,若直线上4,

PB的斜率依次成等差数列，试问：4是否过定点？请说明理由•

21.(12分)函数+〃，g(x)=abvc.

(1)若/(x)在点(1,f(1))处的切线方程为1+y—1=0,求/(幻的表达式；

(2)若对任意工£口，e］,都有g(%)…-%之+5+2)%恒成立,求实数〃的取值范围；

{f(x］x<1

(3)在(1)的条件下，设/(x)=八，，对任意给定的正实数。，曲线y="x)上是

［g(x),x..l

否存在两点尸，。，使得AP。。是以0(。为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，且此

三角形斜边中点在y轴上？请说明理由.

选做题(请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分)

［选修4-1：几何证明选讲］

22.(10分)如图，圆O的半径OF垂直于直径AC,M为40上一点，3M的延长线交圆O

于点N,过点N的切线交C4的延长线于点P,连接BC,CN.

(1)求证：NBCN=/PMN；

(2)若NBQV=60。，PM=1,求的长.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

23.在极坐标系中，已知曲线C:2=2cos〃，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵

71

x=tcos—

3

坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线G，又已知直线小Q是

y=6+/sin—

参数)，且直线/与曲线C交于A,5两点.

(1)求曲线q的直角坐标方程，并说明它是什么曲线;

(2)设定点P(0,g),求」一+—L

\PA\\PB\

［选修4-5：不等式选讲］

24.已知函数/(x)=x+l|.

(1)求不等式/(x)+l</(2x)的解集M；

(2)设°,beM,证明：f(ab)>f(a)一/(一b).

2016-2017学年云南师大附中高三(上)适应性数学试卷

(理科)(1)

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合A={x|log2X<4},集合3={x||x|,,2},则AB=()

A.(0,2]B.[0,2]C.[-2,2]D.(-2,2)

【考点】IE：交集及其运算

【专题】11：计算题；37：集合思想；40：定义法；5J：集合

【分析】求出A与3中不等式的解集分别确定出A与3,找出两集合的交集即可.

【解答】解：由A中不等式变形得：log?尤<4=log216,即0<x<16,

二A=(0,16),

由5中不等式解得：-/*2,即吕=[-2,2],

则A8=(0,2],

故选：A.

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.(5分)已知复数z在复平面内对应的点为则复数2的模为()

z+2

A.710B.—C.0D.2

2

【考点】A5：复数的运算

【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数

【分析】由复数z在复平面内对应的点为(-1,1),得z=-l+i,把z代入复数2,再利

z+2

用复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数求模公式计算得答案.

【解答】解：由复数Z在复平面内对应的点为

得z=-l+i.

milz+3-l+z+32+i(2+z)(l-03-z31.

z+2--l+z+2-1+z-(1+0(1-0-2~22

..复数三।的模为：检+(一孑=乎

故选：B.

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.

3.(5分)已知|a|=4cos工，|=2sin工，ab=-A/2,则a与b的夹角为()

88

A.-B.-C.—D.—

3443

【考点】90：平面向量数量积的性质及其运算

【专题】11：计算题；34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用

【分析】设。与6的夹角为。，由己知代入数量积公式，结合二倍角正弦求得cos。，则。与

b的夹角可求.

【解答】解：设。与b的夹角为。，则a6=|a||61cos0,

BP4cos—x2sin—xcos^=-^,cos0=--.

882

又噌bn,

3

故选：D.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求向量的夹角，是中档题.

4.(5分)圆f+y2+4x-2y+a=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2,则实数。=(

)

A.-4B.-2C.4D.2

【考点】J8：直线与圆相交的性质

【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5B；直线与圆

【分析】求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可.

【解答】解：圆的标准方程为(x+2)2+(>-1)2=5-4,r2=5-a,

则圆心到直线的距离为

(-2,1)x+y+5=012+[+51=2A/2,

J2

由仔+(20y=5-“，得〃=^,

故选：A.

【点评】本题主要考查直线和圆相交以及弦长公式的应用，求出圆心和半径是解决本题的关

键.

5.（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）

A.3024B.1007C.2015D.2016

【考点】EF；程序框图

【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5K：算法和程序框图

【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列

的每4项的和是定值，由此求出S的值.

【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式:

S="1++03+04+,,•+”2013+“2014+“2015+“2016

=(0+1)+(-2+1)+(0+1)+(4+1)+...+(0+1)+(-2014+1)+(0+1)+(2016+1)

///2016_.

=6+...+6=6x------=3024；

4

所以该程序运行后输出的S值是3024.

故选：A.

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是模拟程序运行的过程，得出程序运

行后输出的算式的特征，是基础题目.

6.（5分）给出下列四个结论:

2

①已知直线4:ox+y+l=0,l2:x+ay+a=0,则(的充要条件为a=±l;

②函数/(x)=6sinox+cosG%满足/(x+—)=-/(x),则函数/(%)的一个对称中心为(工，

26

0);

③已知平面a和两条不同的直线a,b,满足Z?ua,allb,则a//a；

④函数/(尤)=工+血r的单调区间为(0,1)U(1,+S).

X

其中正确命题的个数为()

A.4B.3C.2D.0

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件

【专题】38：对应思想；42?：转化法；5L：简易逻辑

【分析】根据直线平行判断①，根据三角函数的性质判断②，根据线面平行判断③，根据导

数的应用判断④.

【解答】解：对于①，由得("T=°，

[Q—aw0

解得：a=-l,①错；

对于②，由/(x+g)=—/(]),得：/(x+m=/(x),

/(x)的周期是左,(0=2、

/(x)=6sin2x+cos2x-2sin(2x+—)，

6

故》=工时，/(x)=2,②错；

6

对于③，Qua时，结论不成立，③错；

对于④，f(x)=-+bvc,/(x)的定义域是(0,+a)),

X

广⑺==1,由r(x)>。，得：了>1,

XT

由/，(x)<0,解得：0<x<l,

.•"(x)在(0,1)递减,在(1,饮)递增,④错；

故选：D.

【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数，直线的平行的关系以及导数的应用，是

一道中档题.

7.（5分）已知sina=2^,cos（a+£）=-g,且at,〃€（0（）,则sin（a-尸）的值等于（

）

A.-1B.1C.」D.成

22327

【考点】GP：两角和与差的三角函数

【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值

【分析】由a,，都是锐角，得出2a、a+夕的范围，由sina和cos（a+0的值，利用同

角三角函数间的基本关系分别求出sinlz和sinQ+尸）的值，然后把所求式子的角

（。-0变为2a-Q+0,利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即

可求出值.

【解答】解：«e（0,1）,

2。£（0,〃），

.2a

sina=------，

3

27

/.cos2cr=l-2sina=——，

9

sin2a=《1-cos22a=.

9

〜71

而0,B^（o,—），

a+，£（0,»）,

FQ!r\

sin（a+/）=-cos2{a+p）-,

sin（6z-0）=sin[2a-（a—£）]=sinlacos（a+/7）-cos2asin（a+/7）=逑x（T）_（J考卷

故选：D.

【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌

握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围.

8.（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB=AD=CD^2,5£>=2四,

BD±CD,平面ABD_L平面BCD,则球O的体积为（）

A.4f乃B.^~兀C.&屈兀D.2万

23

【考点】LG：球的体积和表面积

【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离

【分析】由已知得AB2+AD2=BD?,BC?+CD2=BD：取如中点O,则

OB=O€幅,由此能求出球。的体积.

【解答】解：四面体ABCD的顶点都在的球。的球面上，

S.AB=AD=CD=2,BD=242,BDLCD,平面＞1SE）_L平面3cD,

:.AB2+AD2=Blf,BC2+CD2=BD2,

取3c中点O,贝IJOA=O3=OC=OD=」A^T^=若，

2

.,.球O的体积V=:万（底=4岳.

故选：A.

【点评】本题考查球的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培

养.

3尤一5y+6..0

9.（5分）若x、y满足条件＜2x+3y-15”0,且当x=y=3时，z=ot+y取最大值，则实

j..0

数Q的取值范围是（)

Az23、32

A.(——,-)B.(-00,--)0(-,+00)

3553

3223

C.D.(—8,--)0(-,+oo)

5335

【考点】7C：简单线性规划

【专题】31：数形结合

【分析】先画出可行域，根据题中条件目标函数z=or+y（其中。＞0）,在03）处取得最

大值得到目标函数所在位置，求出其斜率满足的条件即可求出«的取值范围

3x-5y+6..0

【解答］解:条件＜2x+3y-15,,0对应的平面区域如图:

y..O

因为目标函数z=^+y（其中〃〉0）,仅在（3,3）处取得最大值，令z=0得以+y=0,

所以直线依+y=0的极限位置应如图所示,

3

-a<—

故其斜率k=—a需满足,5

2

—a>—

3

32

=>——<a<—•

53

故选：C.

【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是

关键，以及数形结合、等价转化的思想.

10.（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）

A.46+8+2加B.4A/3+8+4A/19C.8百+8+4MD.8百+8+2晒

【考点】£!：由三视图求面积、体积

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；50：立体几何

【分析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，两个侧面是全等的三角形，三

边分别为26，2甘，4,另一个侧面为等腰三角形，求出各个侧面面积即可得到表面积.

【解答】解：由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，面积为46，两个侧面

是全等的三角形，三边分别为26，2币,4,面积之和为4a，另一个侧面为等腰三

角形，面积是Lx4x4=8,

2

故选：B.

【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状

及数据所对应的几何量.

22

11.（5分）椭圆=+[=1（。>6>0）上一点A关于原点的对称点为5,歹为其右焦点，若

a~b

AF±BF,设=且ce[工，-],则该椭圆离心率的最大值为（）

124

A"R目「应D1

322

【考点】K4：椭圆的性质

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】由椭圆的焦点在x轴上，设左焦点为月，根据椭圆的定义：|4/|+|4月|=2"，

ZABF=a,贝U：ZAFXF=a.则2a=2ccostz+2csintz,即a=（cosa+sin@c,由椭圆

的离心率e=£=-------}-------=------------------,由-],根据正弦函数的图象及

asina+cosa72sin（«+|）124

性质，求得椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆离心率的最大值.

22

【解答】解：已知椭圆二+与=1（。>6>0）焦点在x轴上，

ab~

椭圆上一点A关于原点的对称点为点3,F为其右焦点,设左焦点为《，

则：连接AT,AFt,AF,BF

所以：四边形为长方形.

根据椭圆的定义：\AF\+\AFl\=2a,

ZABF=a,贝!J：Z.AFXF=a.

2a=2ccosa+2csina,即a=(cosa+sina)c,

c11

由椭圆的禺心率e=—=----------=------------

°sina+cosa缶皿。+?)

由。£'夕，

717l71、

。十:£r匕，­]，

432

sin(a+—)G，1]，

42

y[2sin(cr+—)e,A/2],

42

—1一疳,骂，

行sin(a+—)23

4

故椭圆离心率的最大值好.

3

故选：A.

【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、两角差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了

推理能力与计算能力，属于难题.

12.（5分）已知曲线y=与＞=（x-l）2恰好存在两条公切线，则实数”的取值范围为（

)

A.(-co,2历2+3)B.(-Q0,2历2-3)C.(2ln2-3,-H»)D.(2Zn2+3,+oo)

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程

【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；53：导数的综合应用

【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足

曲线方程，可得m=审。>1,则有4=无雇-51^,令

*/力_(s孝)，运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到。的范围.

【解答】解：y=(x-l)2的导数y'=2(x-I)，y=e*的导数为y=*“，

设与曲线〉=6，+。相切的切点为(加,/)，y=(尤-I)?相切的切点为(sj),

则有公共切线斜率为2(s-l)=em+。=上士，

s—m

又f=(s-l)2,n=em+a,

即有2(s—1)=(f22(sl),

s—m

即为s—机=---—1，

2

即有机=~~~~(s>1)，

则有=2(5—1),即为a=加2(s-1)一一；>1),

s+3

令f(s)=ln2(s—1)—(s>1)，

则r(s)=-m,

5-12

当s>3时，f(s)<0,/(s)递减，

当l<s<3时,f(s)>0,/(s)递增.

即有s=3处/(s)取得极大值，也为最大值，且为2贬2-3,

由恰好存在两条公切线，即s有两解，

可得a的范围是a<2例2-3.

故选：B.

【点评】本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查

运算能力，属于中档题.

二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)

7V

2

13.（5分）设〃=J4cosMx,则二项式x-l的展开式的常数项是6

oX

【考点】67：定积分、微积分基本定理；ZM：二项式定理

【专题】11：计算题

【分析】先由积分求出〃，写出展开式的通项(-1)’=(-D'c；x4g,要求常数项,

只要令4-2厂=0求出r即可

兀n

【解答]解：几=j，4cosxdx=4sinx|，=4

4rr42r

设第r项为常数项，则Tr+l=C；x-(--y=(~l)C；x-

X

令4-2r=0可得r=2.y=C；=6

故答案为：6

【点评】本题主要考查了积分的计算，利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题

14.(5分)已知/(助是定义在尺上的偶函数,并满足了(%+2)=-一匚，当黎女3时，/(尤)=%,

/(尤)

【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3Q：函数的周期性

【专题】51：函数的性质及应用

【分析】/(X+4)=H(X+2)+2]=——…=-一:=/(无)，即函数的周期为4,

/(尤+2)1

/(%)

/(-y)=/(|)得出利用解析式求解即可.

【解答】解：了(尤+2)=-——,

/(无)

;./(x+4)=〃(x+2)+2]=----1一=一一J—=f(x),即函数的周期为4

〃x+2)1

/(%)

/(x)是定义在A上的偶函数，则有/(-x)=f(x)

当度43时，f{x）=x,

故答案为：-

2

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性等性质的综合应用，解决本题的关键是根据

所给的条件：/(x+2)=-——,可得/(x+4)=/(x)即可得函数的周期，从而把所求的

f(x)

f(-y)利用周期转化到所给的区间，代入即可求解.

22

15.(5分)已知曲线匕一二=1(〃Z?wO且aw")与直线x+y—2=0相交于尸，。两点，且

ba

OP。。=0(。为原点)，则_1一_1的值为_J__.

ba2

【考点】KC-.双曲线的性质

【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性

质与方程

【分析】先设P(X/％)；。(尤2，%)，根据题设条件%*9=-1即；%必=-占尤2直线方

程与双曲线方程联立，求得再+%=和项％的表达式，代入%%=-X述2求得答案•

【解答】解：设P(X],y),Q(X2,y2),

OPOQ=0,

，%*心=T即；％%=FN

22

联立直线x+y-2=0和曲线——二二1两方程可得：(a-b)x2-^ax+4a-ab=0,

ba

4a4。-ab

玉+%2=-，玉%2=----厂，

a—b7a—b

yxy2=(2一玉)(2—x2)=4—2(菁+x2)+=—^x2

口n,-4a4a—ab4a—ab

即4-2------+----------=------------,

a—ba—ba—b

ab=2a—2bJ

则」=i=L

baab2

故答案为：

2

【点评】本题主要考查了双曲线的应用.考查了学生综合分析问题的能力，属于中档题.

16.(5分)已知S〃为数列｛凡｝的前〃项和，q=2,2Sn=(n+l)an,若存在唯一的正整数〃

使得不等式片-%-240成立，则实数1的取值范围为_(T--2]

【考点】8/7：数列递推式

【专题】15：综合题；33：函数思想；42?：转化法；54：等差数列与等比数列

【分析】由已知数列递推式可得生=乌江，进一步得到an=2".代入不等式d-tan-2t\,0,

nn-1

可得2"?—优—o.设/(〃)=2n~—tn—t~,由于f(0)=-t~„0,由题意可得

2

/(l)=2-r-r„0求解不等式得答案.

/⑵=8-2r-〃>Q

【解答】解：由2sL5+1)%，得5"=(”；)%，

当”..2时，a-"—片--产，

整理得：％=也，又卬=2,故4=2”.

nn—1

2

不等式&-tan-2七,0可化为(2n)+2tn-2t\0,

即2M之一tn—t2,,。.

设f(n)=2H2—tn—t1,

由于/(0)=—九0,

二.由题意可得("1)二2一'一产"°，解得：-4</,,一2或L,r<2.

[f(2)=8-2t-t2>0

实数f的取值范围为：(Y,-2][1,2).

故答案为：(T,-2][1,2).

【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了恒成立问题的求解方法，是

中档题.

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(12分)已知AABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为。、6、c.若

csinA=gacosC.

(I)求角C；

(II)若c=\/^T,且sinC+sin(3-A)=5sin2A,求AABC的面积.

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理

【专题】58：解三角形

【分析】(/)由csinA=JGacosC,利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC,于是

sinC=J3coS,即可得出；

(〃)由sinC+sin(3-A)=5sin2A,sinC=sin(A+B),可得sin5=5sinA,由正弦定理可知

b=5a,由余弦定理，=片+廿—2而cos。，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可

得出.

【解答】解：(/)csinA=JIQCOSC,由正弦定理可得sinCsinA=bsinAcosC,

sinAwO,

sinC=出cosC,

得tanC=^C=G

cosC

。£(0,»),

c=-.

3

(〃)sinC+sin(B-A)=5sin2A,sinC=sin(A+B),

sin(A+B)+sin(B-A)=5sin2A,

/.2sinBcosA=2x5sinAcosA,

AABC为斜三角形，

「.cosAwO,

.,.sinB=5sinA,

由正弦定理可知〃=5〃(1)

由余弦定理。2=a2+b2-2abcosC,

?.21=^+b2-2abx-,(2)

2

由(1)(2)解得a=5,b=l9

.c1〃.「11s65百

..S.,„=—absmC=—xlx5x——=-----.

AABrC2224

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

18.（12分）2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天

的成交金额为315.5亿元.为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1

月1日100名网购者的网购情况，得到如表数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不

含2000元）的频率为0.4.

网购金额（元）频数频率

(0,500]50.05

(500,1000]XP

(1000,1500]150.15

(1500,2000]250.25

(2000,2500]300.3

(2500,3000]yq

合计1001.00

（1）先求出x,y,p,4的值，再将如图3所示的频率分布直方图绘制完整;

（2）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上

的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，

请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金

额超过2000元与网龄在3年以上有关？

X网龄3年以上网龄不足3年合计

购物金额在2000元以上35

购物金额在2000元以下20

总计100

参考数据:

Pg.k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(参考公式：K2=------Mad-bc)-------,其中“=a+b+c+d)

(Q+b)(c4-d)(a+c)(b+d)

（3）从这100名网购者中根据购物金额分层抽出20人给予返券奖励，为进一步激发购物热

情，在（2000,2500］和（2500,3000］两组所抽出的8人中再随机抽取2人各奖励1000

元现金，求（2000,2500］组获得现金将的数学期望.

0051152253

【考点】BL