高考数学常用公式及常用结论

高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

xeA<^>CL!A9xe=xgA.

2.德摩根公式

C”(An8)=CAu(AU8)=CuAng，8.

3.包含关系

AHB=A^A\JB=B0A=8=,8=。"

=人口5人①ogAUBuR

4.容斥原理

card(AU8)=cardA+cardB-card(AAB)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card(APlB)

—card(ACl8)—card(BC\C')—card(CflA)+card(APl5C|C).

5.集合{%,4,的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集有2"-1个；非空的真子集

有2"-2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式/(x)=ax2+bx+c(a。0);

(2)顶点式f(x)-a(x-h)-+A(a。0);

零点式

(3)/(x)=a(x-xt)(x-x2)(aR0).

7.解连不等式N</(x)<M常有以下转化形式

「,、M+N,M-N

QI/(X)------------l<-----------=

22

=-------------->-----------.

f(x)—NM-N

8.方程/(x)=0在(占，左2)上有且只有一个实根,与于(kJ/*?)<0不等价,前者是后者的一个必要而不是

充分条件.特别地，方程a/+以+c=0(。H0)有且只有一个实根在(匕，七)内，等价于/(匕)/(七)<0,或

/伏1)=0且匕<——<■—~—>或/(%2)=0且'—-―'<一丁<J

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数/(x)=ax2+bx+c(aH0)在闭区间［p,司上的最值只能在x=--处及区间的两端点处取得，具

2a

体如下：

⑴当a>0时，若》=一丁€［p,q］,贝U/(X)min=/(一丁)J(X)max=max{/(，)，/(")}；

2a2a

X=一丁仁［p，q］，/(X)max=max{/(P)J(q)}，/(苫濡=min{/(P)，/⑷}・

/?h

当时，若则若则

(2)a<0x=--G[p,q],/(x)min=min{/(p),/(^)},x=-—i[p,q],

2a2a

/(x)max=max{/(p),/(q)}，/(x)min=min{/(/?),/(^r)}.

10.一元二次方程的实根分布

依据：若/(〃。/(〃)<0,则方程/(X)=O在区间(外〃)内至少有一个实根.

设/(x)=x2+px+q,贝1I

p~-4q20

(1)方程/(x)=O在区间(见+8)内有根的充要条件为/(〃?)=()或，p；(2)方程/(x)=O在

--->m

[2

7(/n)>0

/(«)=O.

区间(加,")内有根的充要条件为/(加)/(〃)<0或<"2一42或，;'一或<

1f-af(n)>(J

m<--<n

I2

p2—4<y>0

(3)方程/(x)=O在区间(-8,〃)内有根的充要条件为/(〃?)<0或，p

——<m

[2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

⑴在给定区间(-8,+8)的子区间L(形如麻⑶，(-8,4，[a,+8)不同)上含参数的二次不等式

/(X,f)2O(f为参数)恒成立的充要条件是>O(XgL).

(2)在给定区间(-8,+8)的子区间上含参数的二次不等式/(x,f)2O(f为参数)恒成立的充要条件是

<°（x6L）.

a>0

a<0

⑶/(x)=ax4+bx2+c>0恒成立的充要条件是V〃NO或V

b2-4ac<0

c>0

12.真值表

Pq非Pp或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有〃个至多有(〃-1)个

小于不小于至多有〃个至少有(〃+1)个

对所有X,存在某X,

成立不成立p或4―*p且一、q

存

在某X

对任何X,

立

成

不成立。且4-V7或「q

14.四种命题的相互关系

15.充要条件

(1)充分条件：若pnq,则p是q充分条件.

(2)必要条件：若qnp,则〃是4必要条件.

(3)充要条件：若png,且qnp,则p是4充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

(1)设丹eHx?那么

(x,-x,)[/(x,)-/(x2)]>0=0在上是增函数；

占一声

区一工2)"(X)—/(M)]<0Q27®<0o/(x)在[a,引上是减函数.

X]-x2

⑵设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果广(x)>0,则/(x)为增函数；如果/(x)<0,则/(x)为

减函数.

17.如果函数fix')和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减函数；如果函数

y=/(〃)和〃=g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y=〃g(x)]是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那

么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

19.若函数y=/(x)是偶函数，贝ij/(x+a)=/(-X—。)；若函数y=/(x+a)是偶函数，则

f(x+a)=f(-x+a).

20.对于函数y=/(x)(xeR),f(x+a)=/(。―幻恒成立，则函数/(x)的对称轴是函数x=3芋；两

个函数y=/。+。)与了=fd)的图象关于直线尤对称.

21.若/(x)=—/(—x+a),则函数y=/(x)的图象关于点($0)对称；若/(x)=-/Q+a),贝U函数

)，=/(X)为周期为2a的周期函数.

n

22.多项式函数P{x}=anx+4Txl+...+%的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数=尸(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数=P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数y=/(x)的图象的对称性

(1)函数y=/(%)的图象关于直线x=a对称=/(a+x)=/(a-x)

<=>/(2a-x)=/(x).

(2)函数y=/(x)的图象关于直线N=《女对称of(a+mx)=f(b-mx)

of(a+b—mx)=f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y=/(%)与函数y=/(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.

(2)函数y=f(mx-a)与函数y=/(。一"x)的图象关于直线x=-对称.

2m

(3)函数y=/。)和、=/T(X)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y=/(x)的图象右移。、上移b个单位，得到函数y=/(x—a)+b的图象；若将曲线

/(x,y)=0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线--㈤=0的图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

f(a)=b0广，(b)=a.

27.若函数y=/(乙+匕)存在反函数,则其反函数为y=H/T(x)-6],并不是y="T(代+b),而函数

k

y=[/-'(履+b)是y=-[f(x)-h]的反函数.

k

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数/(x)=ex,f{x+y)=/(x)+/(y),/(l)=c.

(2)指数函数/(%)=ax,f(x+y)=f(x)f(y),f(l)=a^0.

⑶对数函数f(x)=logax,f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=l(a>0,aI).

(4)嘉函数fix)=,f(xy)=/(x)/(y),f⑴=a.

(5)余弦函数y(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),

/(0)=l,lim^^=l.

x—>0x

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),则/(x)的周期T=a；

(2)/(x)=/(x+a)=0，

或f(x+。)=—^―(/(x)丰0),

/(x)

或/(x+a)=-(/(x)^0),

/(x)

或;+J/(x)-/2(x)=/(x+a),(/(x)e[0,l]),则/(x)的周期T=2a；

(3)/(x)=1--1—(/(x)。0),则/(%)的周期T=3a；

f(x+a)

且/⑷=l(/(x,)-/(x)^l,0<lx-xl<2a),则f(x)的周期T=4a；

(4)/(X1+X2)=/(2+、华212

(5)f(x)+f(x+a)-l-f(x+2a)f(x+3a)-l-f(x-l-4ci)

=/(x)/a+a)/a+Zz)/(x+3a)/a+47),则f(x)的周期T=5a；

(6)f(x+a)=f(x)-f(x+a),则f(x)的周期T=6a.

30.分数指数幕

21

(1)an-.——(Q〉0,〃2,〃eN,且〃〉1).

yjan,

一巴1

⑵a"=­(a>O,m,〃eN*,且〃>1)・

aH

31.根式的性质

(1)(炳"=a.

(2)当〃为奇数时，g=a；

当〃为偶数时，⑷7=1a.

-a,a<0

32.有理指数塞的运算性质

(1)ar-as=ar+\a>0,r,s&Q).

(2)(ar)s=ar\a>0,r,seQ).

(3)(ab\=a'br(a>0,b>0,reQ).

注：若A。P是一个无理数，则缪表示一个确定的实数.上述有理指数幕的运算性质，对于无理数指数

幕都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log〃N=bQ/=N(a>0,aWl,N>0).

34.对数的换底公式

logN

lognN-——--(a>0,且a。1,机〉0,且加H1,N>0).

log,”a

Yl

推论loghn=—log,b(a>0,且a>1,加,〃>0,且加W1,〃W1,N>0).

am

35.对数的四则运算法则

若a>0,aWLM>0,N>0,贝！J

(1)log.(MN)=log0M+log“N;

M

⑵log"7=log“M-log,,N;

⑶log”Mn=nlog„M(neR).

36.设函数/(%)=log,,,(ax2+bx+c)(a-0),记设=从一4ac.若/(x)的定义域为R,则。>0,且△<0;

若/(x)的值域为R,则a>0,且△20.对于a=0的情形,需要单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

若a>0">0,x>0,%。！，则函数y=1。8/")

a

(1)当a>b时，在(0,工)和(L,+8)上y=log,“3)为增函数.

aa

.(2)当。<b时,在(0,-)和(L+8)上y=logat(bx)为减函数.

aa

推论:设〃>机>1，/?>0<a>0，且a/1，贝！I

⑴log,“+,,(〃+P)<log“"

⑵10g(,7M10gflrt<10ga.

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为“，则对于时间x的总产值y,有>，='(1+2)\

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

s.,n=1

'c（数列｛%｝的前n项的和为,=%+。2+…

sn-s„_｛,n>2

40.等差数列的通项公式

an=q+(〃-l)d=dn+a、-d(n£N*)；

其前n项和公式为

〃(q+”“)"5—1)

s=---!----=na.H-------a

n212

d2./1八

=—M+—u)n.

22

41.等比数列的通项公式

l

an=a^"~=--q"(nEN*)；

q

其前n项的和公式为

空匕虫,小

s„=1i-q

na^q=\

叫,q=1

42.等比差数列{an}:an+]=qan+d,ai=b(qW0)的通项公式为

b+(n一l)d,q=1

4=*(d-1)q〃T-d"J

,q-i，q

其前n项和公式为

nh+n(n-\)d,(q=1)

d、"q"d..•

(b--——)―——〃，(qHD

l-qq-ll—q

43.分期付款(按揭贷款)

每次还款x=”元(贷款。元,〃次还清，每期利率为b).

(1+/7)-1

44.常见三角不等式

兀

(1)若不£(0,—)，则sinx<x<tanx.

2

⑵若元£(0,—),贝!jl<sinx+cosx〈夜.

2

(3)Isinx14-1cosxl>1.

45.同角三角函数的基本关系式

qin0

sin2+cos2^=1,tan^=----,tan0-cotO=1.

cos。

46.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)

n

.兀、(-1户sina,（n为偶数）

sin(—+a)=<

H-l

2

(-1)cosa,（n为奇数）

（n为偶数）

兀、(-1)2cosa,

cos(—+a)=<

M+l

（n为奇数）(-1)2sina,

47.和角与差角公式

sin(a±P)=sinacos夕土cosasin,；

cos(a±J3)=cosacos+sinasinp；

,,0、tannr±tanB

tan(a±夕)=---------j.

1+tanatanp

sin(a+p)sin(a-。)=sin26Z-sin2p(平方正弦公式)；

cos(a+p)cos(a-/?)=cos2a-sin2p.

asina+bcosa=J^"7^sin(a+8)(辅助角夕所在象限由点(a,。)的象限决定，tan^9=—).

a

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2a-sin2a=2cos?a-\=l-2sin2a.

-2tana

tan2a=----------.

1-tana

49.三倍角公式

jr-jr

sin36=3sin6一4sin'6=4sin^sin(y-0)sin(y+0).

cos36=4cos30-3cos6=4cos0cos(y-0)cos(y+3)

cc3tantan3八k八、,)小

tan30=------------；---=tan0tan(-----0)tan(—十夕).

l-3tan2^33

50.三角函数的周期公式

函数y=sin(0x+9),xGR及函数y=cos(0x+9),xGR(A,3,9为常数，且AWO,3>0)的周期T=—

CD

函数y=tan(3x+9),x手k兀+5,kwZ(A,s,中为常数,且AWO,3>0)的周期T=X

2co

51.正弦定理

ab

—=27?.

sinAsinBsinC

52.余弦定理

/=力2+/—2bccosA;

b?=c?+a2-2cacosB;

c2=/+/-2ahcosC.

53.面积定理

(1)S=—ah=-bh=—ch(h>h>"分别表示a、b、c边上的高).

2a2h2eah

(2)S=—ahsinC=—feesinA=—easinB.

222

”3y(加・丽尸-再画2.

54.三角形内角和定理

在AABC中，有A+B+C=〃u>C=万一(A+8)

C7TA4-B___〜，C\

—=-------------2c=21兀-2(A+B).

222

55.简单的三角方程的通解

sinx=a=X=攵乃+(一1)，arcsina(攵wZ,la\<l).

cosx=a<^>x=2k7r±arccosa(keZ,la\<l).

tanx=〃=>x=ATF+arctana(keZ.ae/?).

特别地，有

sina=sin/?=a=%"+(-1)A/3(kGZ).

cosa=cos/30a=2k兀±Z).

tana=tan/3=a=kjv+Z).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinx>a(\a\<1)<=>xeQk兀+arcsina,2k兀+九一arcsina),keZ.

sinx<a(\al<1)<=>XGQk兀一兀一arcsina,2k兀+arcsina),kwZ.

cosx>a(\a\<1)xeQk兀-arccosa,2k兀4-arccosa),kEZ.

cosx<a(\a\<1)<=>XGQk兀+arccosa,2k兀+2乃一arccostz),keZ.

兀

tanx>cR)=>rw(k兀+arctana,k7r+—),keZ.

2

TC

tanx<a(aE/?)=>XG(kn--,k7T-\-arctana),k€Z.

57,实数与向量的积的运算律

设入、口为实数，那么

(1)结合律：入(口a)=(入P)a;

(2)第一分配律：(入+口)a=入a+口a;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的数量积的运算律：

(1)a•b=b•a(交换律)；

(2)(Aa)•b=A(a•b)=Aa•b=a•(Ab);

(3)(a+b)•c=a•c+b•c.

59.平面向量基本定理

如果&、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数人】、入

使得a二入161+入202.

不共线的向量&、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

60.向量平行的坐标表示

设a=(再，%)，1)=(工2，%)，且bWO,则ab(b^O)«x,y2-x2yi=0.

53.a与b的数量积(或内积)

a•b=|a||b|cos。.

61.a-b的几何意义

数量积a•b等于a的长度lai与b在a的方向上的投影Iblcos0的乘积.

62.平面向量的坐标运算

⑴设a=(再，y，，b=。2，%)，则a+b=(~+工2，%+力)・

⑵设a=(斗，％),b=。2,%)，则a-b二(当一々，%一为)・

(3)设A(%，M),BO2,%)，则A6=。6-。4=(>2-芯，>2一丁1)・

(4)设a=(x,y),/lc/?,则4a=).

⑸设a=(X[,%),b=。2,y2),则a•b=(x/+»%)・

63.两向量的夹角公式

中科)产

cos",但(苞，)'|)力=(々,%))・

64.平面两点间的距离公式

dAI)=\~AB\=yJ^BAB

=^^一玉产+⑵一%)？

(AO”％),B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设2=(内,切)d=(々,当)，且bHO，则

A||b<=>b=Xa<=>x]y2-x2y}=0.

a_Lb(aW0)=b=0=X/)+/%=。・

66.线段的定比分公式

设4(%,y)，P2(x2.y2),P(x,y)是线段々鸟的分点，X是实数，且m=2硒，则

x+AX

x=x2

1+4西+4配

QOP=

)1+办21+A

y=

1+A

0丽=函+(1-。可(f=—L).

1+4

67.三角形的重心坐标公式

三个顶点的坐标分别为】，、则△的重心的坐标是

△ABCAGy])B(x2,y2)>Cy?),ABC

x,+x+x%+%+%、

G(--2—3，---).

68.点的平移公式

x=x+/zx=x-h---:—•—：

V.=<OOP=OP+PP.

y=y-\-ky=y-k

注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F'上的对应点为P(x,y),且港的坐标为(九攵).

69.“按向量平移”的几个结论

(1)点P(x,y)按向量a=(/z,女)平移后得到点P'(x+/y+平.

(2)函数y=/(x)的图象C按向量a=(〃#)平移后得到图象C，,则C的函数解析式为y=/(x-力)+h

(3)图象C'按向量a=(/z,A)平移后得到图象。，若。的解析式y=/(x),则。•的函数解析式为

y=f(x+h)-k.

(4)曲线C:/(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到图象C‘，则C’的方程为f(x-h,y-k)=O.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(/z,A)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设。为AA8C所在平面上一点，角A,8,C所对边长分别为a,b,c,则

(1)。为AABC的外心。况？=而，=无]

(2)。为AA8C的重心=苏+丽+丽=0.

(3)。为AA6C的垂心Q次・丽=砺灰=丽•次.

(4)。为AABC的内心况+。历+c而=0.

(5)。为AA8C的Z4的旁心on方=b丽+c反.

71.常用不等式：

(1)。,b€/?=>。2+/22m(当且仅当@=1)时取“=”号).

(2)a,be/?+=>七心2疝(当且仅当a=b时取"=”号).

2

(3)a3+b5+c3>3abc(a>0,Z>>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+/?2)(c2+d2)>{ac+bd'y,a,b,c,d^R.

(5)|a|-|&|<\a+b\<|a|+1&|.

72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

(1)若积盯是定值p,则当x=y时和x+y有最小值2J万；

(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积盯有最大值一s2.

4

推广已知x,yeR,则有(x+y)?=(x-y)2+2孙

(1)若积孙是定值，则当lx-yl最大时，大+yl最大;

当lx—yl最小时,lx+yl最小.

(2)若和lx+yl是定值，则当lx-yl最大时,I到I最小;

当lx-yl最小时，Ixyl最大.

73.一元二次不等式ax?+bx+c>0(或<0)(aH(),△=A?—4ac>0),如果a与ax?+bx+c同号，则其

解集在两根之外；如果。与a/+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之

间.

玉

<x<x2<=>(X-%!)(x-X2)<0(Xj<x2)；

%,或

X<X>X2<^>(X-Xj)(j-X2)>O(X]<x2).

74.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

\x\<a<^>x2<a~<=>-a<x<a.

\x\>ax2>a2<^>x>a^x<-a.

75.无理不等式

[/a)>o

⑴"(x)>Jg(x)=<g(x)>0.

/(x)>g(x)

,——f/W>o

(2)J/(x)>g(x)o(g(x)20或{.

,g(x)<0

lf(x)>[g(x)]28

/W>0

(3)J/(x)<g(x)=,g(x)>0.

j(x)<[g(x)r

76.指数不等式与对数不等式

(1)当a>l时，

-*⑴=/(x)>g(x);

7(x)>0

log,J(x)>log”g(x)=<g(x)>0.

/(x)>g(x)

(2)当0<。<1时，

afM>asW=/(x)<g(x);

7u)>o

log。/(x)>log"g(x)=<g(x)>。

f(x)<g(x)

77.斜率公式

k=~~~—P2(x2,y2)).

X2~X\

78.直线的五种方程

(1)点斜式y—M=Z(X—%)(直线/过点勺(川，,)，且斜率为女).

(2)斜截式)，=履+6(1)为直线/在丫轴上的截距).

(3)两点式~~》■=,*-*(>尸为)(々(X1，H)、鸟(》2，力)(X]#x2)).

力一切x2-x,

(4)截距式£+工=1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、

ab

(5)一般式Ax+B)：+C=0(其中A、B不同时为0).

79.两条直线的平行和垂直

⑴若6:y=Z]X+4,l2:y=k2x+h2

①乙IIl2<==>k]=b2；

②/~U>W=T・

(2)若(：A]X++G=0：A2x++G=0,且A]、A2、B]、B?都不为零,

①4尾<=>A=A^£_.

462c2

②41/2=44+4与=o；

80.夹角公式

(1)tana=12~-I.

1+岫

(4:y=A|X+伉，l2-.y=k2x+b2,k^k,21一1)

,A,B—A^B.

(2)tana=1—0-I.

44+5jB)

(4:Ax+&y+G^0,l2:A2x+B2y+C2=0,44+“，())•

直线4"L。时，直线与，2的夹角是

81.4到乙的角公式

k>—k,

(l)tan6r=-----L.

1+k?k[

(4:)；=&/+々，l2:y=k2x+b29k1k2£-1)

A.—AQB,

(2)tana------—.

A4+4B?

(/]：Ax+8j，+G=0,/2:A2x+B2y+C2=0,44+8/2。0)・

直线/|JJ,时，直线/1到，2的角是石.

2

82.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程:经过定点玲(演),孔)的直线系方程为y—=Z(x-x0)(除直线x=x°),其中人是待定

的系数；经过定点Po(X。,为)的直线系方程为A(x-/)+8(y—%)=0,其中A,8是待定的系数.

(2)共点直线系方程：经过两直线/1：4x+B1》+G=0,/2：4％+82)'+。2=0的交点的直线系方程为

(4》+4)，+6)+〃4犬+82>+。2)=0(除4)，其中人是待定的系数.

(3)平行直线系方程：直线y="+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线

4》+83；+。=0平行的直线系方程是4》+8)，+/1=0(2^0),人是参变量.

(4)垂直直线系方程：与直线Ax+6y+C=0(AW0,8#0)垂直的直线系方程是民1-4)，+/1=0,人

是参变量.

83.点到直线的距离

d=।刈/+'>之0(点p(x(),)，())，直线/.Ax+By+C=0).

y/A2+B2

84.Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域

设直线/:Av+6y+C=0,则Ax+6)，+C>0或<0所表示的平面区域是：

若B/0,当B与Ax+By+C同号时，表示直线/的上方的区域；当B与Ax+8)，+C异号时，表示直线/

的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.

若6=0,当A与Ax+By+C同号时，表示直线/的右方的区域；当A与4+By+C异号时，表示直线/

的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.

85.(A/+B,y+C1)(A2x++C2)>00所表示的平面区域

设曲线C:(Ax+耳丁+&)(4X+52^+。2)=0(则

(Ax+Bty+G)(4*+与)，+。2)>°或<°所表示的平面区域是：

(A}x+Bty+C,)(A2X+B2y+C2)>0所表示的平面区域上下两部分；

(A,.x+4)，+C,)(Ax+B2)'+C2)<0所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-/>)2=r2.

(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F^0(D2+E2-4F>0).

x=〃+rcos，

(3)圆的参数方程，.八

y=b+rsm0

(4)圆的直径式方程(x—%)(x-X2)+(y-y)(y—%)=0(圆的直径的端点是4(王，弘)、B(x2,y2)).

87.圆系方程

(1)过点A(X1,yJ,8(々,%)的圆系方程是

(x-x1)(x-x2)+(y-y,)(y-y2)+/l[(x-x1)(y1-x2)]=0

=0—玉)(%—々)+(〉一%)(y一为)+2(4犬+8y+。)=0,其中ax+by+c=O是直线A8的方程，X是待定的

系数.

⑵过直线/:Ax+By+C=O与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=O的交点的圆系方程是

x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=0,入是待定的系数.

222X

(3)过圆G:x+y+Dtx+Ety+=0与圆Q：+J+^2+E2y+F2=0的交点的圆系方程是

22

x~+y~+D、x+Exy++A(x+y+D2x+E2y+F2)=0,A.是待定的系数.

88.点与圆的位置关系

点尸。0，先)与圆。一。)2+(〉一6)2=r2的位置关系有三种

22

若d=y](a-x0)+(/?-y0),贝|J

d>rQ点P在圆夕卜；d=r<=>点P在圆上；d<rQ点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线Ax+力+C=0与圆(X-a)2+(y-。)2=产的位置关系有三种:

d>广仁>相图<=>A<0;

d=r=相切=△=();

d<r<^>相交<=>A>0.

|A。+Bb+(?|

其中d=

4A2+B-

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为01,02,半径分别为n,r2,\0102\=d

d〉八+G=夕卜离=4条公切线；

d=r}+r2<=>外切Q3条公切线；

,-々I<"<八+G=相交=2条公切线；

d=|八-臼=内切o1条公切线；

0cdeh-4=内含=无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆f+>2+£)x+Ey+/?=0.

①若已知切点(x°,%)在圆上，则切线只有一条，其方程是

D(x+x)E(y+y)

v+y())'+■~0+—Q~-+F=0.

当(x°,九)圆外时，x°x+%y+2竽生F»+P=0表示过两个切点的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为y-%=左(%-%)，再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不

要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为y=H+b,再利用相切条件求b,必有两条切线.

(2)已知圆V+y?=/.

①过圆上的外(入0，%))点的切线方程为々/+为'=r2;

②斜率为人的圆的切线方程为y^kx±rVl+F.

22[—a

92.椭圆「+q=1(。>b>0)的参数方程是"="a"

ah[y=hsm0

22

93.椭圆「+斗=1(。>b>0)焦半径公式

ab

22

\PFi\^e(x+—),|PF,|=-x).

cc

94.椭圆的的内外部

2

222

%<

(1)点P(X,%)在椭圆—+=1(。>6>0)的内部Q—Y+F

Oaha

2222

%>

(2)点F(x0,y0)在椭圆一+±~=1(〃>/?>0)的外部<=>—y+F

aba

95.椭圆的切线方程

22

(1)椭圆5+4=1(。>b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是誓+誓=1.

aba"b~

22

(2)过椭圆・+二=\(a>b>0)外一点P(x„,先)所引两条切线的切点弦方程是

ab

(3)椭圆=+与=l(a＞/?＞0)与直线Ax+8y+C=0相切的条件是A2a2+1尸=。2.

ab

X2y2

96,双曲线三―与=1(。＞0,6＞0)的焦半径公式

ab~

22

\PF'lITe(xH---)I,|PQ|Te(----x)I.

cc

97.双曲线的内外部

2222

(1)点尸(%,%)在双曲线一■—=1(。＞0,。＞0)的内部0—T---^7＞1.

ahab

2222

(2)点P(x0,%)在双曲线马—二=1(。＞0/〉0)的外部=§_q＜1.

ab"ab"

98.双